Σχετική Ταχύτητα σε Αδρανειακά Συστήματα 🚂

Η ταχύτητα ενός κινούμενου σώματος δεν γίνεται αντιληπτή με τον ίδιο τρόπο από όλους τους παρατηρητές. Ένας επιβάτης που περπατά μέσα σε ένα τρένο έχει μια ταχύτητα ως προς το βαγόνι, μια διαφορετική ως προς τις ράγες και μια ακόμη διαφορετική ως προς έναν παρατηρητή που τρέχει στην αποβάθρα. Η ταχύτητα, δηλαδή, είναι μέγεθος σχετικό: εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο τη μετράμε.

Στην ενότητα αυτή μελετάμε πώς συνδέονται οι μετρήσεις ταχύτητας δύο διαφορετικών παρατηρητών, όταν αυτοί κινούνται με σταθερή ταχύτητα ο ένας ως προς τον άλλον.

Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου 📐

Θεωρούμε δύο αδρανειακά συστήματα αναφοράς, το $\Sigma$ (που το θεωρούμε «ακίνητο») και το $\Sigma'$, τα οποία κινούνται το ένα ως προς το άλλο με σταθερή ταχύτητα $\vec{u}$. Για απλότητα παίρνουμε τη φορά της $\vec{u}$ κατά μήκος του κοινού άξονα $x \equiv x'$, και υποθέτουμε ότι τη χρονική στιγμή $t=0$ οι αρχές $O$ και $O'$ των δύο συστημάτων συμπίπτουν.

Ένα σημείο $P$ του χώρου περιγράφεται:

• στο $\Sigma$ με συντεταγμένες $(x, y)$,
• στο $\Sigma'$ με συντεταγμένες $(x', y')$.

Επειδή η αρχή $O'$ έχει μετατοπιστεί κατά $u\,t$ ως προς την $O$, οι συντεταγμένες του ίδιου σημείου $P$ στα δύο συστήματα συνδέονται με τις σχέσεις:

Οι σχέσεις αυτές ονομάζονται μετασχηματισμοί Γαλιλαίου (ή μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου) και εκφράζουν πώς «μεταφράζονται» οι μετρήσεις θέσης από το ένα αδρανειακό σύστημα στο άλλο.

Σχέση των Ταχυτήτων ➕

Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο τις σχέσεις των θέσεων (με $u$ σταθερή), βρίσκουμε πώς συνδέονται οι ταχύτητες ενός σώματος όπως τις μετρούν οι δύο παρατηρητές.

Από $x = x' + u\,t$ προκύπτει για τις συνιστώσες κατά τους άξονες:

και συνολικά, σε διανυσματική μορφή, η θεμελιώδης σχέση:

Ειδικές περιπτώσεις πρόσθεσης και αφαίρεσης

Ανάλογα με τη σχετική διεύθυνση των $\vec{\upsilon}\,'$ και $\vec{u}$, το μέτρο της $\vec{\upsilon}$ προκύπτει διαφορετικά. Έστω $\varphi$ η γωνία μεταξύ των $\vec{\upsilon}\,'$ και $\vec{u}$.

Ο γενικός τύπος (νόμος συνημιτόνων για τη σύνθεση διανυσμάτων) είναι:

και περιέχει ως ειδικές περιπτώσεις όλες τις παραπάνω γραμμές του πίνακα.

Αναλλοίωτα Μεγέθη και Αρχή της Σχετικότητας του Γαλιλαίου 🌍

Παρότι η ταχύτητα ενός σώματος διαφέρει από σύστημα σε σύστημα, υπάρχουν μεγέθη που παραμένουν τα ίδια σε όλα τα αδρανειακά συστήματα. Παραγωγίζοντας ξανά ως προς τον χρόνο τη σχέση $\vec{\upsilon} = \vec{\upsilon}\,' + \vec{u}$, και επειδή $\vec{u}$ σταθερό ($\dfrac{d\vec{u}}{dt} = \vec 0$):

Η επιτάχυνση ενός σώματος είναι ίδια σε όλα τα αδρανειακά συστήματα. Συνεπώς, αφού η μάζα είναι αναλλοίωτη, και η συνισταμένη δύναμη:

Επειδή $\vec{F} = \vec{F}\,'$, οι θεμελιώδεις αρχές διατήρησης ισχύουν σε κάθε αδρανειακό σύστημα:

Σχετική Ταχύτητα Δύο Σωμάτων 🎯

Πολύ συχνά μας ενδιαφέρει η ταχύτητα ενός σώματος Α ως προς ένα άλλο σώμα Β, δηλαδή η ταχύτητα του Α όπως θα τη μετρούσε ένας παρατηρητής «κολλημένος» στο Β.

Έστω $\vec{\upsilon}_A$ και $\vec{\upsilon}_B$ οι ταχύτητες των σωμάτων Α και Β ως προς το ίδιο (ακίνητο) σύστημα αναφοράς $\Sigma$. Αν θεωρήσουμε το Β ως κινούμενο σύστημα $\Sigma'$ (οπότε $\vec{u} = \vec{\upsilon}_B$), τότε από τη σχέση $\vec{\upsilon}_A = \vec{\upsilon}_{AB} + \vec{u}$ προκύπτει:

Υπολογισμός του μέτρου της σχετικής ταχύτητας

Επειδή η $\vec{\upsilon}_{AB} = \vec{\upsilon}_A - \vec{\upsilon}_B$ είναι διανυσματική αφαίρεση, το μέτρο της εξαρτάται από τη γωνία $\theta$ μεταξύ των $\vec{\upsilon}_A$ και $\vec{\upsilon}_B$:

Χαρακτηριστικές περιπτώσεις:

Χαρακτηριστικές Εφαρμογές 🚗

Σώμα μέσα σε κινούμενο όχημα (συγγραμμικές ταχύτητες)

Έστω σώμα που κινείται με ταχύτητα $\vec{\upsilon}\,'$ μέσα σε όχημα (σύστημα $\Sigma'$) που κινείται με $\vec{u}$ ως προς το έδαφος.

• Αν η $\vec{\upsilon}\,'$ έχει ίδια φορά με τη $\vec{u}$: $\upsilon = \upsilon' + u$. Π.χ. επιβάτης που περπατά προς την κατεύθυνση κίνησης του τρένου φαίνεται από την αποβάθρα γρηγορότερος.
• Αν η $\vec{\upsilon}\,'$ έχει αντίθετη φορά από τη $\vec{u}$: $\upsilon = \lvert\upsilon' - u\rvert$. Π.χ. επιβάτης που περπατά προς την ουρά του τρένου φαίνεται από την αποβάθρα πιο αργός: αν $\upsilon' < u$ εξακολουθεί να κινείται προς τα εμπρός, απλώς με μικρότερη ταχύτητα, ενώ αν $\upsilon' > u$ φαίνεται να κινείται προς τα πίσω.

Βάρκα σε ποτάμι (μη συγγραμμικές ταχύτητες) 🚣

Κλασική εφαρμογή διανυσματικής σύνθεσης: μια βάρκα έχει ταχύτητα $\vec{\upsilon}\,'$ ως προς το νερό, ενώ το νερό (ρεύμα) έχει ταχύτητα $\vec{u}$ ως προς τη στεριά. Η ταχύτητα της βάρκας ως προς τη στεριά είναι:

Αν ο πλοίαρχος στρέφει τη βάρκα κάθετα προς το ρεύμα ($\vec{\upsilon}\,' \perp \vec{u}$), η πραγματική κατεύθυνση κίνησης ως προς τη στεριά είναι λοξή και το μέτρο:

ενώ η βάρκα παρασύρεται από το ρεύμα προς τα κατάντη.

Δύο οχήματα στον δρόμο 🚗🚗

• Δύο αυτοκίνητα που κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση με ταχύτητες $\upsilon_A$ και $\upsilon_B$: η σχετική ταχύτητα πλησιάσματος/απομάκρυνσης έχει μέτρο $\lvert\upsilon_A - \upsilon_B\rvert$. Γι' αυτό το προσπέρασμα φαίνεται «αργό».
• Δύο αυτοκίνητα που κινούνται αντίθετα (κατά μέτωπο): η σχετική ταχύτητα έχει μέτρο $\upsilon_A + \upsilon_B$. Γι' αυτό μια μετωπική προσέγγιση είναι πολύ πιο «βίαιη».