Η Τριβή στα Ρευστά 🌊

Μέχρι τώρα, στη μελέτη της ροής των ρευστών (εξίσωση συνέχειας, εξίσωση Bernoulli), θεωρήσαμε τα ρευστά ιδανικά: ρέουν χωρίς να αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής στο εσωτερικό τους, δηλαδή χωρίς δυνάμεις που να αντιτίθενται στην κίνηση ενός τμήματος του ρευστού ως προς ένα άλλο.

Στα πραγματικά ρευστά όμως οι δυνάμεις αυτές υπάρχουν και έχουν πολύ σημαντικές πρακτικές εφαρμογές. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η λίπανση των τμημάτων μιας μηχανής, η οποία θα ήταν αδύνατη αν το λιπαντικό δεν παρουσίαζε κατά τη ροή του τέτοιες δυνάμεις. 🛢️

Ορισμός: Ιξώδες

Η εσωτερική τριβή μέσα σ' ένα ρευστό ονομάζεται ιξώδες (viscosity).

Είναι το «μέτρο» της αντίστασης που προβάλλει ένα ρευστό στη σχετική ολίσθηση των στρωμάτων του. Όσο πιο «παχύρρευστο» (π.χ. μέλι, γλυκερίνη) τόσο μεγαλύτερο το ιξώδες· όσο πιο «λεπτόρρευστο» (π.χ. νερό, αιθέρας) τόσο μικρότερο.

Το πείραμα των δύο πλακών — Νόμος του ιξώδους

Ας θεωρήσουμε δύο γυάλινες οριζόντιες πλάκες, εμβαδού $A$ η καθεμία. Σταθεροποιούμε την κάτω πλάκα και απλώνουμε πάνω της ένα στρώμα από μέλι πάχους $l$ . Στη συνέχεια τοποθετούμε τη δεύτερη πλάκα πάνω στο μέλι και τη μετακινούμε με σταθερή ταχύτητα $υ$ σε σχέση με την κάτω ακίνητη πλάκα. 🍯

Διαπιστώνουμε ότι, για να συνεχιστεί η κίνηση με σταθερή ταχύτητα, απαιτείται να ασκείται διαρκώς μια δύναμη $F$ . Η δύναμη αυτή χρειάζεται για να αντισταθμίσει τις τριβές (το ιξώδες) που αναπτύσσονται μεταξύ των στρωμάτων του μελιού που κινούνται το ένα ως προς το άλλο.

Η κατανομή των ταχυτήτων στα στρώματα

Το ανώτερο στρώμα του ρευστού έχει προσκολληθεί στην πάνω πλάκα και κινείται με ταχύτητα $υ$ .
Το κατώτερο στρώμα έχει προσκολληθεί στην κάτω πλάκα και παραμένει ακίνητο.
Όλα τα ενδιάμεσα στρώματα έχουν διαφορετικές ταχύτητες μεταξύ τους, που αυξάνουν σταδιακά από $0$ έως $υ$ καθώς πηγαίνουμε από την κάτω πλάκα προς την πάνω.

Από τι εξαρτάται η δύναμη

Πειραματικά παρατηρούμε ότι:

🔻 Αν αντικαταστήσουμε το μέλι με ρευστό που ρέει ευκολότερα (π.χ. λάδι), η απαιτούμενη δύναμη είναι μικρότερη → εξαρτάται από τη φύση του ρευστού.
🔻 Για το ίδιο ρευστό, αν αυξήσουμε το πάχος $l$ του στρώματος, η δύναμη γίνεται μικρότερη → $F \propto 1/l$ .
🔺 Η δύναμη γίνεται μεγαλύτερη αν αυξήσουμε το εμβαδόν $A$ των πλακών → $F \propto A$ .
🔺 Η δύναμη γίνεται μεγαλύτερη αν μετακινήσουμε την πάνω πλάκα με μεγαλύτερη ταχύτητα $υ$ → $F \propto υ$ .

Συνδυάζοντας τις παραπάνω αναλογίες, αποδεικνύεται ότι το μέτρο της δύναμης $F$ δίνεται από τη σχέση:

F = η\,\frac{A\,υ}{l}

όπου $η$ (το ελληνικό «ήτα») είναι ένας συντελεστής αναλογίας χαρακτηριστικός για κάθε ρευστό.

Ορισμός: Συντελεστής ιξώδους

Ο συντελεστής $η$ είναι χαρακτηριστικός κάθε ρευστού και ονομάζεται συντελεστής ιξώδους (ή απλώς ιξώδες). Όσο μεγαλύτερος είναι, τόσο πιο «παχύρρευστο» το ρευστό.

Λύνοντας ως προς αυτόν:

η = \frac{F\,l}{A\,υ}

Μονάδες του συντελεστή ιξώδους 📏

Από τη σχέση αυτή, η μονάδα του $η$ στο S.I. προκύπτει από τις διαστάσεις των μεγεθών:

\frac{1\,\mathrm{N} \cdot 1\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{m}^2 \cdot 1\,\mathrm{m/s}} = 1\,\frac{\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}}{\mathrm{m}^2}

Άρα, στο S.I. ο συντελεστής ιξώδους μετριέται σε $\mathrm{N\cdot s/m^2}$ (που ισοδυναμεί με $\mathrm{Pa\cdot s}$ ).

Στην πράξη, ο συντελεστής ιξώδους μετριέται συχνά σε poise (πουάζ), με σύμβολο $\mathrm{P}$ :

1\,\mathrm{P} = 1\,\frac{\mathrm{dyn}\cdot \mathrm{s}}{\mathrm{cm}^2}

Μετατροπή μονάδων

Επειδή $1\,\mathrm{N} = 10^5\,\mathrm{dyn}$ και $1\,\mathrm{m}^2 = 10^4\,\mathrm{cm}^2$ :

1\,\frac{\mathrm{N\cdot s}}{\mathrm{m}^2} = \frac{10^5\,\mathrm{dyn\cdot s}}{10^4\,\mathrm{cm}^2} = 10\,\mathrm{P}

δηλαδή $1\,\mathrm{P} = 0{,}1\,\mathrm{N\cdot s/m^2}$ .

Πίνακας συντελεστή ιξώδους διαφόρων ρευστών

Ρευστό	θ (°C)	Συντελεστής ιξώδους η (N·s/m²)
Νερό	20	$1{,}0\times10^{-3}$
Νερό	100	$0{,}3\times10^{-3}$
Αίμα	37	$2{,}7\times10^{-3}$
Γλυκερίνη	20	$830\times10^{-3}$
Μηχανέλαιο (δεκάρι)	30	$250\times10^{-3}$

Προσοχή — Ιξώδες και πυκνότητα δεν είναι το ίδιο

«Παχύρρευστο» δεν σημαίνει «βαρύ». Το λάδι έχει μικρότερη πυκνότητα από το νερό (γι' αυτό επιπλέει σε αυτό) αλλά πολύ μεγαλύτερο ιξώδες. Η πυκνότητα μετρά μάζα ανά όγκο, το ιξώδες μετρά αντίσταση στη σχετική ολίσθηση των στρωμάτων. 🛢️

Προσοχή: εξάρτηση από τη θερμοκρασία 🌡️

Ο συντελεστής ιξώδους εξαρτάται έντονα από τη θερμοκρασία. Όπως φαίνεται στον πίνακα, το νερό στους $100\,°C$ έχει περίπου το ένα τρίτο του ιξώδους που έχει στους $20\,°C$ .

Γενικά, στα υγρά το ιξώδες μειώνεται όταν αυξάνεται η θερμοκρασία (γι' αυτό το λάδι γίνεται «πιο λεπτόρρευστο» όταν ζεσταίνεται), ενώ στα αέρια συμβαίνει το αντίθετο: αυξάνεται με τη θερμοκρασία.

Νευτώνεια και μη-νευτώνεια ρευστά

Δεν υπακούουν όλα τα ρευστά στη σχέση $F = ηAυ/l$ . Σε ορισμένα ρευστά δεν υπάρχει γραμμική αναλογία ανάμεσα στην εσωτερική τριβή που παρουσιάζουν κατά τη ροή τους και την ταχύτητα ροής.

Ορισμός: Νευτώνεια ρευστά

Νευτώνεια ονομάζονται τα ρευστά που υπακούουν στη σχέση $F = ηAυ/l$ , δηλαδή αυτά για τα οποία η εσωτερική τριβή είναι ανάλογη της ταχύτητας ροής (ο συντελεστής $η$ παραμένει σταθερός).

Τα ρευστά που δεν υπακούουν σε αυτήν τη γραμμική σχέση ονομάζονται μη-νευτώνεια.

Η ιδιαιτερότητα του αίματος 🩸

Το αίμα παρουσιάζει ενδιαφέρουσα ιδιαιτερότητα: είναι ένα αιώρημα στερεών σωματιδίων (κυρίως ερυθρών αιμοσφαιρίων) μέσα σε υγρό (πλάσμα). Καθώς αυξάνει η ταχύτητα ροής, για να μην αυξηθούν υπέρμετρα οι εσωτερικές τριβές, τα σωματίδια παραμορφώνονται και προσανατολίζονται με τέτοιο τρόπο ώστε να διευκολύνουν τη ροή. Έτσι το αίμα συμπεριφέρεται ως μη-νευτώνειο ρευστό.

Ροή σε κυλινδρικό σωλήνα

Λόγω του ιξώδους, όταν ένα πραγματικό ρευστό ρέει μέσα σε κυλινδρικό σωλήνα ακτίνας $R$ , τα διάφορα στρώματά του δεν έχουν την ίδια ταχύτητα (όπως υποθέτουμε στο ιδανικό ρευστό).

Προφίλ ταχυτήτων στον σωλήνα

Το ρευστό που εφάπτεται στα τοιχώματα του σωλήνα είναι πρακτικά ακίνητο (έχει προσκολληθεί σε αυτά).
Η ταχύτητα αυξάνεται καθώς πλησιάζουμε προς τον άξονα του σωλήνα.
Η ταχύτητα είναι μέγιστη στο κέντρο (στον άξονα).

Αν σχεδιάσουμε την ταχύτητα κάθε στρώματος συναρτήσει της απόστασής του από τον άξονα, το διάγραμμα έχει παραβολικό σχήμα: μηδέν στα τοιχώματα και μέγιστο στο κέντρο.

Αντίσταση ρευστού — Νόμος του Stokes

Όταν ένα σώμα κινείται μέσα σ' ένα ρευστό (ή, ισοδύναμα, όταν ένα ρευστό ρέει γύρω από ακίνητο σώμα), λόγω του ιξώδους το ρευστό ασκεί στο σώμα μια δύναμη αντίστασης, που έχει αντίθετη φορά από την ταχύτητα του σώματος και τείνει να επιβραδύνει την κίνησή του.

Νόμος του Stokes ⚙️

Για μια μικρή σφαίρα ακτίνας $r$ που κινείται με ταχύτητα $υ$ μέσα σε ρευστό συντελεστή ιξώδους $η$ (σε αργή, ομαλή ροή), το μέτρο της δύναμης αντίστασης δίνεται από τον νόμο του Stokes:

F = 6\,π\,η\,r\,υ

Η δύναμη αυτή είναι ανάλογη της ακτίνας $r$ , του συντελεστή ιξώδους $η$ και της ταχύτητας $υ$ του σώματος.

Παρατήρηση

Η δύναμη αντίστασης του Stokes είναι ανάλογη της ταχύτητας ( $F \propto υ$ ). Αυτό ισχύει σε χαμηλές ταχύτητες / αργή («στρωτή») ροή γύρω από μικρά σώματα. Σε μεγαλύτερες ταχύτητες η αντίσταση γίνεται ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας.

Οριακή ταχύτητα 🪂

Ας θεωρήσουμε μια μικρή σφαίρα μάζας $m$ , πυκνότητας $ρ_{σ}$ και ακτίνας $r$ , που αφήνεται να πέσει μέσα σ' ένα ρευστό πυκνότητας $ρ_{ρ}$ και συντελεστή ιξώδους $η$ . Στη σφαίρα ασκούνται:

\begin{cases} \text{το βάρος } & w = m\,g \quad (\text{προς τα κάτω})\\ \text{η άνωση } & A_{ν} = ρ_{ρ}\,V\,g \quad (\text{προς τα πάνω})\\ \text{η αντίσταση } & F = 6\,π\,η\,r\,υ \quad (\text{προς τα πάνω, αντίθετη της κίνησης}) \end{cases}

Καθώς η σφαίρα επιταχύνεται, η ταχύτητά της $υ$ μεγαλώνει, οπότε μεγαλώνει και η αντίσταση $F = 6πηrυ$ . Κάποια στιγμή η συνισταμένη δύναμη μηδενίζεται· τότε η σφαίρα συνεχίζει να κινείται με σταθερή ταχύτητα.

Ορισμός: Οριακή (τελική) ταχύτητα

Οριακή ταχύτητα $υ_{ορ}$ ονομάζεται η μέγιστη, σταθερή ταχύτητα που αποκτά ένα σώμα κινούμενο μέσα σε ρευστό, όταν η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται πάνω του γίνει μηδέν (άρα μηδενική επιτάχυνση).

Απόδειξη του τύπου της οριακής ταχύτητας

Στην οριακή ταχύτητα ισχύει $α = 0$ , οπότε οι δυνάμεις ισορροπούν. Το βάρος (προς τα κάτω) εξισορροπείται από την άνωση και την αντίσταση (προς τα πάνω):

w = A_{ν} + F

m\,g = ρ_{ρ}\,V\,g + 6\,π\,η\,r\,υ_{ορ}

Λύνοντας ως προς την οριακή ταχύτητα:

υ_{ορ} = \frac{m\,g - ρ_{ρ}\,V\,g}{6\,π\,η\,r}

Αν εκφράσουμε τη μάζα μέσω της πυκνότητας της σφαίρας, $m = ρ_{σ}\,V$ , και χρησιμοποιήσουμε τον όγκο σφαίρας $V = \dfrac{4}{3}π r^{3}$ , παίρνουμε:

υ_{ορ} = \frac{(ρ_{σ} - ρ_{ρ})\,V\,g}{6\,π\,η\,r} = \frac{2\,r^{2}\,g\,(ρ_{σ} - ρ_{ρ})}{9\,η}

Πόρισμα — Τύπος οριακής ταχύτητας σφαίρας

υ_{ορ} = \frac{2\,r^{2}\,g\,(ρ_{σ} - ρ_{ρ})}{9\,η}

Συμπεράσματα:

Η οριακή ταχύτητα είναι ανάλογη του τετραγώνου της ακτίνας ( $υ_{ορ} \propto r^{2}$ ) — οι μεγαλύτεροι κόκκοι καθιζάνουν ταχύτερα.
Είναι αντιστρόφως ανάλογη του συντελεστή ιξώδους ( $υ_{ορ} \propto 1/η$ ) — στα παχύρρευστα ρευστά η πτώση είναι πιο αργή.
Εξαρτάται από τη διαφορά πυκνοτήτων $ρ_{σ} - ρ_{ρ}$ .

Πότε δεν υπάρχει πτώση

Αν $ρ_{σ} = ρ_{ρ}$ (σώμα και ρευστό ίδιας πυκνότητας), τότε $υ_{ορ} = 0$ : το σώμα αιωρείται στο ρευστό. Αν $ρ_{σ} < ρ_{ρ}$ , το σώμα ανέρχεται (π.χ. φυσαλίδα αέρα σε νερό).

Σύνοψη βασικών τύπων 🧮

Μέγεθος / Νόμος	Σχέση	Παρατήρηση
Δύναμη ιξώδους (δύο πλάκες)	$F = η\,\dfrac{A\,υ}{l}$	Ισχύει για νευτώνεια ρευστά
Συντελεστής ιξώδους	$η = \dfrac{F\,l}{A\,υ}$	Μονάδες: N·s/m² ή poise
Νόμος του Stokes	$F = 6\,π\,η\,r\,υ$	Αντίσταση σε μικρή σφαίρα
Οριακή ταχύτητα	$υ_{ορ} = \dfrac{2\,r^{2}\,g\,(ρ_{σ}-ρ_{ρ})}{9\,η}$	Όταν $\Sigma F = 0$

Να θυμάμαι ✅

Ιξώδες = η εσωτερική τριβή του ρευστού.
Στα νευτώνεια ρευστά: $F = ηAυ/l$ , με $η$ σταθερό.
Το αίμα είναι μη-νευτώνειο ρευστό.
Στον σωλήνα, η ταχύτητα είναι μηδέν στα τοιχώματα και μέγιστη στον άξονα (παραβολικό προφίλ).
Stokes: $F = 6πηrυ$ , η αντίσταση είναι ανάλογη της ταχύτητας.
Οριακή ταχύτητα: σταθερή ταχύτητα όταν μηδενιστεί η συνισταμένη δύναμη.