Υγρά σε Ισορροπία 💧

Στην ενότητα αυτή μελετάμε τα υγρά όταν ηρεμούν, δηλαδή όταν βρίσκονται σε κατάσταση ισορροπίας. Θα δούμε πώς ορίζονται η πυκνότητα και η πίεση, πώς υπολογίζεται η πίεση μέσα σε ένα υγρό λόγω του βάρους του (υδροστατική πίεση), πώς μεταδίδεται μια εξωτερική πίεση (αρχή του Pascal) και γιατί τα σώματα δέχονται άνωση όταν βυθίζονται (αρχή του Αρχιμήδη).

Τα υγρά, μαζί με τα αέρια, ανήκουν στα ρευστά. Σε αντίθεση με τα αέρια, τα υγρά θεωρούνται πρακτικά ασυμπίεστα: ο όγκος τους δεν μεταβάλλεται αισθητά όταν ασκούμε πάνω τους πίεση.

Πυκνότητα 🧱

Ορισμός — Πυκνότητα

Πυκνότητα $\rho$ ενός υλικού ονομάζουμε το πηλίκο της μάζας $m$ ενός σώματος προς τον όγκο $V$ που αυτό καταλαμβάνει:

\rho = \frac{m}{V}

Η πυκνότητα εκφράζει πόση μάζα περιέχεται στη μονάδα του όγκου ενός υλικού. Στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) μετριέται σε:

[\rho] = 1\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}

Για ένα ομογενές υλικό η πυκνότητα είναι σταθερή και χαρακτηριστική του υλικού. Από τον ορισμό προκύπτει άμεσα η σχέση για τη μάζα:

m = \rho \, V

Παρατήρηση — Η πυκνότητα του νερού

Η πυκνότητα του νερού είναι περίπου $\rho_{\text{νερού}} = 1000\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} = 1\ \dfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}$ . Υλικά με μικρότερη πυκνότητα (π.χ. λάδι, ξύλο) επιπλέουν στο νερό, ενώ υλικά με μεγαλύτερη (π.χ. σίδηρος) βυθίζονται. 🪵🚢

Πίεση 📐

Όταν μια δύναμη ασκείται κάθετα πάνω σε μια επιφάνεια, το αποτέλεσμά της δεν εξαρτάται μόνο από το μέτρο της δύναμης αλλά και από το εμβαδόν της επιφάνειας στην οποία κατανέμεται. Το μέγεθος που συνδυάζει αυτά τα δύο είναι η πίεση.

Ορισμός — Πίεση

Πίεση $p$ ονομάζουμε το πηλίκο του μέτρου της δύναμης $F$ που ασκείται κάθετα σε μια επιφάνεια προς το εμβαδόν $A$ της επιφάνειας αυτής:

p = \frac{F}{A}

Η πίεση είναι μονόμετρο (βαθμωτό) μέγεθος. Στο S.I. μετριέται σε Pascal (Pa):

1\ \mathrm{Pa} = 1\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^2}}

Παρατήρηση — Ίδια δύναμη, διαφορετική πίεση

Για σταθερή δύναμη $F$ , όσο μικρότερο είναι το εμβαδόν $A$ τόσο μεγαλύτερη είναι η πίεση. Γι' αυτό ένα αιχμηρό μαχαίρι (μικρό $A$ ) κόβει εύκολα, ενώ τα φαρδιά πέλματα ενός χιονοπέδιλου (μεγάλο $A$ ) μας εμποδίζουν να βουλιάξουμε στο χιόνι. ❄️

Προσοχή — Κάθετη δύναμη

Στον τύπο $p = \dfrac{F}{A}$ η δύναμη $F$ είναι η κάθετη συνιστώσα της δύναμης ως προς την επιφάνεια. Συνιστώσα παράλληλη στην επιφάνεια δεν συνεισφέρει στην πίεση.

Υδροστατική Πίεση 🌊

Κάθε στρώμα υγρού πιέζεται από το βάρος του υγρού που βρίσκεται από πάνω του. Επομένως, μέσα σε ένα υγρό που ηρεμεί υπάρχει πίεση που οφείλεται στο βάρος του.

Ορισμός — Υδροστατική πίεση

Υδροστατική πίεση ονομάζουμε την πίεση που οφείλεται στο βάρος του υγρού. Σε βάθος $h$ κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια ενός υγρού πυκνότητας $\rho$ δίνεται από τον θεμελιώδη νόμο της υδροστατικής:

p = \rho \, g \, h

όπου $g$ η επιτάχυνση της βαρύτητας. Η σχέση αυτή ισχύει όταν το υγρό βρίσκεται μέσα σε πεδίο βαρύτητας.

Απόδειξη — Ο νόμος p = ρgh

Θεωρούμε ένα υγρό πυκνότητας $\rho$ που ηρεμεί. Φανταζόμαστε μια νοητή κατακόρυφη στήλη υγρού με εμβαδόν βάσης $A$ που εκτείνεται από την ελεύθερη επιφάνεια μέχρι βάθος $h$ .

Ο όγκος της στήλης είναι:

V = A \, h

Άρα η μάζα του υγρού της στήλης είναι:

m = \rho \, V = \rho \, A \, h

και το βάρος της:

w = m \, g = \rho \, A \, h \, g

Το βάρος αυτό πιέζει κάθετα τη βάση εμβαδού $A$ . Επομένως η υδροστατική πίεση στο βάθος $h$ είναι:

p = \frac{w}{A} = \frac{\rho \, A \, h \, g}{A} = \rho \, g \, h

που είναι το ζητούμενο. ✅

Προσοχή — Το βάθος μετριέται από την ελεύθερη επιφάνεια

Στον τύπο $p = \rho g h$ το $h$ είναι η κατακόρυφη απόσταση του σημείου από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού, όχι η απόσταση που διανύει κανείς μέσα σε έναν πλάγιο ή στριφογυριστό σωλήνα. Δύο σημεία στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο έχουν την ίδια πίεση, όσο διαφορετικά κι αν είναι τα κομμάτια του δοχείου στα οποία βρίσκονται.

Ιδιότητες της υδροστατικής πίεσης

Η υδροστατική πίεση εξαρτάται μόνο από το βάθος $h$ , την πυκνότητα $\rho$ του υγρού και την $g$ . 📏
Δεν εξαρτάται από το σχήμα του δοχείου ούτε από τη συνολική ποσότητα του υγρού.
Σε όλα τα σημεία που βρίσκονται στο ίδιο βάθος (ίδιο οριζόντιο επίπεδο) η πίεση είναι ίδια.
Η πίεση αυξάνεται όσο κατεβαίνουμε βαθύτερα στο υγρό.

Παρατήρηση — Ανοιχτό δοχείο και ατμοσφαιρική πίεση

Όταν το υγρό βρίσκεται σε ανοιχτό δοχείο, η ελεύθερη επιφάνειά του δέχεται και την ατμοσφαιρική πίεση $p_{\text{ατμ}}$ . Τότε η ολική πίεση σε βάθος $h$ είναι:

p = p_{\text{ατμ}} + \rho \, g \, h

Αρχή του Pascal 🔧

Ας δούμε τώρα τι συμβαίνει όταν η πίεση δεν οφείλεται στο βάρος του υγρού, αλλά σε ένα εξωτερικό αίτιο (για παράδειγμα ένα έμβολο που σπρώχνει το υγρό).

Αρχή του Pascal

Η πίεση που δημιουργεί ένα εξωτερικό αίτιο σε κάποιο σημείο ενός υγρού μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία του υγρού.

Αυτό σημαίνει ότι αν με ένα έμβολο εμβαδού $A$ αυξήσουμε τη δύναμη κατά $\Delta F$ , τότε σε κάθε σημείο του υγρού η πίεση αυξάνεται κατά την ίδια ποσότητα:

\Delta p = \frac{\Delta F}{A}

Παρατήρηση — Εκτός και εντός πεδίου βαρύτητας

Αν ένα υγρό βρισκόταν εκτός πεδίου βαρύτητας, δεν θα υπήρχε υδροστατική πίεση και η πίεση θα ήταν η ίδια σε όλο τον όγκο του. Η αρχή του Pascal περιγράφει ακριβώς τη μετάδοση της εξωτερικά επιβαλλόμενης πίεσης, ανεξάρτητα από την υδροστατική.

Ο υδραυλικός ανυψωτήρας (πιεστήριο) 🚗

Η πιο σημαντική εφαρμογή της αρχής του Pascal είναι ο υδραυλικός ανυψωτήρας. Δύο έμβολα με διαφορετικά εμβαδά $A_1$ (μικρό) και $A_2$ (μεγάλο) επικοινωνούν μέσω υγρού. Επειδή η πίεση μεταδίδεται αναλλοίωτη, η πίεση στα δύο έμβολα είναι ίδια:

\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}

Άρα με μικρή δύναμη $F_1$ στο μικρό έμβολο μπορούμε να σηκώσουμε μεγάλο βάρος $F_2$ στο μεγάλο έμβολο. Το κέρδος δύναμης είναι:

\frac{F_2}{F_1} = \frac{A_2}{A_1}

Προσοχή — Κερδίζουμε δύναμη, όχι ενέργεια

Ο ανυψωτήρας πολλαπλασιάζει τη δύναμη, όχι το έργο. Επειδή το υγρό είναι ασυμπίεστο, ο όγκος που κατεβαίνει στο μικρό έμβολο ισούται με τον όγκο που ανεβαίνει στο μεγάλο, δηλαδή $A_1 x_1 = A_2 x_2$ . Έτσι το μικρό έμβολο διανύει μεγαλύτερη μετατόπιση $x_1$ και τα έργα $F_1 x_1$ και $F_2 x_2$ βγαίνουν ίσα. 💡

Λυμένο Παράδειγμα 3-1 — Υδραυλικός ανυψωτήρας αυτοκινήτου

Ένας υδραυλικός ανυψωτήρας έχει έμβολα με ακτίνες $r_1 = 4\ \mathrm{cm}$ (μικρό) και $r_2 = 20\ \mathrm{cm}$ (μεγάλο). Πόση δύναμη $F_1$ πρέπει να ασκήσουμε στο μικρό έμβολο για να ανυψώσουμε αυτοκίνητο βάρους $w = 18000\ \mathrm{N}$ ;

Τα έμβολα είναι κυκλικά, άρα $A = \pi r^2$ . Από την αρχή του Pascal:

\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} \;\Rightarrow\; \frac{F_1}{\pi r_1^2} = \frac{w}{\pi r_2^2}

F_1 = w \, \frac{r_1^2}{r_2^2} = 18000 \cdot \frac{(0{,}04)^2}{(0{,}20)^2} = 18000 \cdot \frac{16}{400}

F_1 = 720\ \mathrm{N}

Με δύναμη μόλις $720\ \mathrm{N}$ ανυψώνουμε αυτοκίνητο βάρους $18000\ \mathrm{N}$ ! 💪

Αρχή του Αρχιμήδη — Άνωση ⚓

Όταν ένα σώμα βυθίζεται (ολικά ή μερικά) μέσα σε ένα υγρό, το υγρό ασκεί πάνω του μια ανοδική δύναμη που το «σπρώχνει» προς τα πάνω. Αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι η υδροστατική πίεση στο κάτω μέρος του σώματος είναι μεγαλύτερη από αυτήν στο πάνω μέρος (γιατί το κάτω μέρος βρίσκεται σε μεγαλύτερο βάθος).

Ορισμός — Άνωση

Άνωση $A$ ονομάζουμε τη συνισταμένη (ανοδική) δύναμη που ασκεί ένα υγρό σε ένα σώμα το οποίο βρίσκεται μέσα σε αυτό.

Αρχή του Αρχιμήδη

Κάθε σώμα βυθισμένο (ολικά ή μερικά) μέσα σε υγρό δέχεται άνωση με φορά προς τα πάνω, της οποίας το μέτρο ισούται με το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται από το σώμα:

A = \rho_{\text{υγρού}} \cdot g \cdot V_{\text{βυθισμένου}}

όπου $\rho_{\text{υγρού}}$ η πυκνότητα του υγρού και $V_{\text{βυθισμένου}}$ ο όγκος του βυθισμένου μέρους του σώματος (ίσος με τον όγκο του υγρού που εκτοπίζεται).

Παρατήρηση — Η άνωση ισούται με το βάρος του εκτοπιζόμενου υγρού

Το γινόμενο $\rho_{\text{υγρού}} \cdot V_{\text{βυθισμένου}}$ είναι η μάζα του εκτοπιζόμενου υγρού. Πολλαπλασιάζοντας με $g$ παίρνουμε το βάρος του εκτοπιζόμενου υγρού:

A = m_{\text{εκτοπ}} \cdot g = w_{\text{εκτοπ}}

Προσοχή — Ποια πυκνότητα και ποιος όγκος;

Στον τύπο της άνωσης χρησιμοποιούμε:

την πυκνότητα του υγρού (όχι του σώματος),
τον όγκο του βυθισμένου τμήματος του σώματος (όχι όλο τον όγκο, αν το σώμα επιπλέει).

Πλεύση και βύθιση 🛟

Ένα σώμα μέσα σε υγρό δέχεται το βάρος του $w = \rho_{\text{σώματος}} \cdot g \cdot V_{\text{σώματος}}$ (προς τα κάτω) και την άνωση $A$ (προς τα πάνω). Συγκρίνοντάς τα:

Πόρισμα — Κριτήριο πλεύσης

Για ένα πλήρως βυθισμένο σώμα όγκου $V$ , συγκρίνουμε την πυκνότητα του σώματος με την πυκνότητα του υγρού:

Αν $\rho_{\text{σώματος}} > \rho_{\text{υγρού}}$ : $w > A$ , το σώμα βυθίζεται (καταβυθίζεται). ⬇️
Αν $\rho_{\text{σώματος}} < \rho_{\text{υγρού}}$ : $w < A$ , το σώμα ανεβαίνει και τελικά επιπλέει. ⬆️
Αν $\rho_{\text{σώματος}} = \rho_{\text{υγρού}}$ : $w = A$ , το σώμα ισορροπεί βυθισμένο σε οποιοδήποτε σημείο. ⚖️

Συνθήκη ισορροπίας σώματος που επιπλέει

Όταν ένα σώμα επιπλέει ισορροπώντας, η άνωση εξισορροπεί ακριβώς το βάρος του:

A = w \;\Rightarrow\; \rho_{\text{υγρού}} \cdot g \cdot V_{\text{βυθ}} = \rho_{\text{σώματος}} \cdot g \cdot V_{\text{σώματος}}

Από όπου προκύπτει το κλάσμα του όγκου που βυθίζεται:

\frac{V_{\text{βυθ}}}{V_{\text{σώματος}}} = \frac{\rho_{\text{σώματος}}}{\rho_{\text{υγρού}}}

Σύνοψη Τύπων 📋

Μέγεθος	Τύπος	Μονάδα (S.I.)
Πυκνότητα	$\rho = \dfrac{m}{V}$	$\mathrm{kg/m^3}$
Πίεση	$p = \dfrac{F}{A}$	$\mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^2}$
Υδροστατική πίεση	$p = \rho g h$	$\mathrm{Pa}$
Ολική πίεση (ανοιχτό δοχείο)	$p = p_{\text{ατμ}} + \rho g h$	$\mathrm{Pa}$
Αρχή Pascal (πιεστήριο)	$\dfrac{F_1}{A_1} = \dfrac{F_2}{A_2}$	—
Άνωση (Αρχιμήδης)	$A = \rho_{\text{υγρού}}\, g\, V_{\text{βυθ}}$	$\mathrm{N}$

Να θυμάσαι

Η υδροστατική πίεση $p = \rho g h$ εξαρτάται μόνο από το βάθος, την πυκνότητα και την $g$ — όχι από το σχήμα του δοχείου. 🌊
Η αρχή του Pascal εξηγεί πώς μια εξωτερική πίεση μεταδίδεται αναλλοίωτη παντού στο υγρό. 🔧
Η άνωση ισούται με το βάρος του υγρού που εκτοπίζει το σώμα. ⚓