Σχήμα Horner (Χόρνερ) 🤓

Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου, π.χ. του $P(x) = 3x^3 - 8x^2 + 7x + 2$ , με ένα πολυώνυμο της μορφής $x - \rho$ .

Η παραπάνω διαίρεση μπορεί να παρουσιαστεί εποπτικά με έναν πίνακα που είναι γνωστός ως σχήμα του Horner — έναν γρήγορο τρόπο να βρίσκουμε πηλίκο και υπόλοιπο χωρίς να κάνουμε ολόκληρη την ευκλείδεια διαίρεση με το χέρι.

Κατασκευή του πίνακα 🏗️

Για την κατασκευή του πίνακα του σχήματος Horner εργαζόμαστε ως εξής:

Πρώτη γραμμή: Γράφουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου $P(x)$ , με τη σειρά των φθινουσών δυνάμεων του $x$ . Στο παράδειγμα $P(x) = 3x^3 - 8x^2 + 7x + 2$ , οι συντελεστές είναι 3, -8, 7, 2.
Θέση του $\rho$ : Στην πρώτη θέση της τρίτης γραμμής γράφουμε τον αριθμό $\rho$ από τον διαιρέτη $x - \rho$ .
Συμπλήρωση του πίνακα:
- Κατεβάζουμε τον πρώτο συντελεστή (3) στην τρίτη γραμμή.
- Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό αυτό (3) με το $\rho$ και το γινόμενο ( $3\rho$ ) το γράφουμε στη δεύτερη γραμμή, κάτω από τον επόμενο συντελεστή (-8).
- Προσθέτουμε τον συντελεστή (-8) με το γινόμενο ( $3\rho$ ) και το άθροισμα ( $3\rho - 8$ ) το γράφουμε στην τρίτη γραμμή.
- Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία: πολλαπλασιάζουμε το άθροισμα ( $3\rho - 8$ ) με το $\rho$ , γράφουμε το γινόμενο ( $\rho(3\rho - 8)$ ) κάτω από τον επόμενο συντελεστή (7), προσθέτουμε ( $7 + \rho(3\rho - 8)$ ) και γράφουμε το αποτέλεσμα στην τρίτη γραμμή.
- Επαναλαμβάνουμε μέχρι να τελειώσουν οι συντελεστές.

Αποτέλεσμα:

Το τελευταίο στοιχείο της τρίτης γραμμής είναι το υπόλοιπο $υ = P(\rho)$ .
Τα άλλα στοιχεία της τρίτης γραμμής είναι οι συντελεστές του πηλίκου $π(x)$ , με βαθμό κατά ένα μικρότερο από τον βαθμό του $P(x)$ .

Μην ξεχνάς τους μηδενικούς συντελεστές

Αν κάποια δύναμη του $x$ λείπει από το πολυώνυμο (π.χ. δεν υπάρχει όρος με $x^2$ ), στην πρώτη γραμμή του πίνακα πρέπει να γράψεις 0 στη θέση της. Αν το παραλείψεις, όλοι οι επόμενοι υπολογισμοί μετατοπίζονται και βγαίνουν λάθος πηλίκο και υπόλοιπο.

Παράδειγμα εφαρμογής ⚙️

Ας εργαστούμε με το σχήμα Horner για να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του $P(x) = 3x^4 + 6x - 13$ με το $x - 2$ .

Εδώ είναι $\rho = 2$ . Επειδή λείπουν οι δυνάμεις $x^3$ και $x^2$ , οι αντίστοιχοι συντελεστές είναι 0. Οι συντελεστές του $P(x)$ είναι 3, 0, 0, 6, -13.

Ο πίνακας Horner:

3	0	0	6	-13	$\rho = 2$
	6	12	24	60
3	6	12	30	47

Τα βήματα:

Κατεβάζουμε το 3.
$3 \times 2 = 6$ . Γράφουμε το 6 κάτω από το 0.
$0 + 6 = 6$ . Γράφουμε το 6 στην τρίτη γραμμή.
$6 \times 2 = 12$ . Γράφουμε το 12 κάτω από το 0.
$0 + 12 = 12$ . Γράφουμε το 12 στην τρίτη γραμμή.
$12 \times 2 = 24$ . Γράφουμε το 24 κάτω από το 6.
$6 + 24 = 30$ . Γράφουμε το 30 στην τρίτη γραμμή.
$30 \times 2 = 60$ . Γράφουμε το 60 κάτω από το -13.
$-13 + 60 = 47$ . Γράφουμε το 47 στην τρίτη γραμμή.

Αποτέλεσμα:

Οι συντελεστές του πηλίκου είναι 3, 6, 12, 30.
Το υπόλοιπο είναι 47.

Επομένως, το πηλίκο της διαίρεσης είναι $π(x) = 3x^3 + 6x^2 + 12x + 30$ και το υπόλοιπο είναι $υ = P(2) = 47$ .

Γιατί προτιμάμε το σχήμα Horner 🤔

Στο παράδειγμα της διαίρεσης $P(x) = 3x^4 + 6x - 13$ με το $x - 2$ , αντί για το σχήμα Horner, θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε απευθείας το $P(2)$ για να βρούμε το υπόλοιπο:

P(2) = 3 \cdot 2^4 + 6 \cdot 2 - 13 = 3 \cdot 16 + 12 - 13 = 48 + 12 - 13 = 47

Το αποτέλεσμα ταυτίζεται με το υπόλοιπο που βρήκαμε πιο πάνω, όπως αναμενόταν αφού $υ = P(\rho)$ .

Ένας υπολογισμός με λιγότερες πράξεις

Το σχήμα Horner είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν το $\rho$ ή ο βαθμός του $P(x)$ είναι μεγάλος αριθμός. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ο απευθείας υπολογισμός του $P(\rho)$ απαιτεί υψώσεις σε δύναμη και πράξεις που μπορεί να είναι δύσκολες και επιρρεπείς σε λάθη. Το σχήμα Horner φτάνει στο ίδιο αποτέλεσμα μόνο με διαδοχικούς πολλαπλασιασμούς και προσθέσεις, γι' αυτό και το προτιμάμε στην πράξη. 📉

Γι' αυτόν τον λόγο, όταν θέλουμε να βρούμε την τιμή $P(\rho)$ —δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης με το $x - \rho$ — χρησιμοποιούμε συνήθως το σχήμα Horner αντί για τον απευθείας υπολογισμό. 👍