Το δρομολόγιο ξεκινά με τις ευθείες. Θα μάθεις να τις σχεδιάζεις και να βρίσκεις σημεία τομής. Στη συνέχεια, θα ταξιδέψεις στην πόλη των συναρτήσεων, αναζητώντας μονοτονίες και συμμετρίες. Ύστερα μια σύντομη στάση στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τα πολυώνυμα. Τελικός προορισμός, οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις. Δέσε ζώνη, κάθισε στο βαγόνι σου και ταξίδεψε μαζί μας 🚂

Άλγεβρα Β' Λυκείου

# Αλγοριθμική Διαίρεση 🔢

Θυμόμαστε από το Γυμνάσιο την έννοια της Ευκλείδειας ή αλγοριθμικής διαίρεσης μεταξύ θετικών ακεραίων αριθμών.

Για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών \(Δ\) και \(δ\) με \(δ \neq 0\), υπάρχουν δύο μοναδικοί φυσικοί αριθμοί \(π\) και \(υ\), τέτοιοι ώστε:

\(Δ = δ \cdot π + υ\),   \(0 \leq υ < δ\)   (1)

Η ισότητα αυτή είναι γνωστή ως **ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης**.

Ο \(Δ\) λέγεται **διαιρετέος**, ο \(δ\) **διαιρέτης**, ο \(π\) **πηλίκο** και ο \(υ\) **υπόλοιπο** της διαίρεσης.

Η έννοια της διαίρεσης των πολυωνύμων είναι ανάλογη.

# Θεώρημα Διαίρεσης Πολυωνύμων 📝

Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων \(Δ(x)\) και \(δ(x)\) με \(δ(x) \neq 0\) υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα \(π(x)\) και \(υ(x)\), τέτοια ώστε:

\(Δ(x) = δ(x) \cdot π(x) + υ(x)\)   (2)

όπου το \(υ(x)\) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του \(δ(x)\).

Όπως και στη διαίρεση ακεραίων:
*   \(Δ(x)\) λέγεται **διαιρετέος**.
*   \(δ(x)\) λέγεται **διαιρέτης**.
*   \(π(x)\) λέγεται **πηλίκο**.
*   \(υ(x)\) λέγεται **υπόλοιπο**.

# Τέλεια Διαίρεση ✅

Παρατηρούμε ότι η διαίρεση τελειώνει όταν το υπόλοιπο γίνει μηδέν ή ο βαθμός του γίνει μικρότερος από το βαθμό του διαιρέτη.

Στην περίπτωση που το υπόλοιπο της διαίρεσης \(Δ(x)\) με \(δ(x)\) είναι \(υ(x) = 0\), τότε η διαίρεση λέγεται **τέλεια** και η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται:

\(Δ(x) = δ(x) \cdot π(x)\)

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το \(δ(x)\) **διαιρεί** το \(Δ(x)\) ή ότι το \(δ(x)\) είναι **παράγοντας** του \(Δ(x)\) ή ότι το \(Δ(x)\) **διαιρείται** με το \(δ(x)\) ή ακόμη ότι το \(δ(x)\) είναι **διαιρέτης** του \(Δ(x)\).



# Διαίρεση με \(x - ρ\) 🤔

Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου \(P(x)\) με το πολυώνυμο \(x - ρ\) γράφεται:
\(P(x) = (x - ρ)π(x) + υ(x)\)

Επειδή ο διαιρέτης \(x - ρ\) είναι πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο \(υ\). Έτσι έχουμε:
\(P(x) = (x - ρ)π(x) + υ\)

Αν θέσουμε \(x = ρ\), παίρνουμε:
\(P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) + υ = 0 \cdot π(ρ) + υ = 0 + υ = υ\)

Επομένως,
\(P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ)\)

**Αποδείξαμε λοιπόν ότι:**

  **ΘΕΩΡΗΜΑ** 💡
 
  Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου \(P(x)\) με το \(x - ρ\) είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για \(x = ρ\). Είναι δηλαδή \(υ = P(ρ)\).


# Υπόλοιπο Διαίρεσης με \(x - ρ\) (Παράδειγμα) 🧮

**Παράδειγμα:** Για το πολυώνυμο \(P(x) = x^3 + 3x^2 - 13x - 15\), το υπόλοιπο της διαίρεσης με το \(x - 2\) είναι \(υ = P(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 - 13 \cdot 2 - 15 = 8 + 12 - 26 - 15 = -21\).

Ενώ το υπόλοιπο της διαίρεσης με το \(x + 1\) (δηλαδή \(x - (-1)\)) είναι \(υ = P(-1) = (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 - 13 \cdot (-1) - 15 = -1 + 3 + 13 - 15 = 0\).

**Παρατήρηση:**
*   Επειδή \(P(-1) = 0\), δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης \(P(x) : (x + 1)\) είναι 0, η διαίρεση είναι τέλεια.
*   Αυτό σημαίνει ότι \(P(x) = (x + 1)π(x)\).
*   Άρα, το \(x + 1\) είναι **παράγοντας** του \(P(x)\).
*   Επίσης, το \(-1\) είναι **ρίζα** του \(P(x)\).

Γενικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα:

## Θεώρημα Παραγόντων και Ριζών 🔗

  **ΘΕΩΡΗΜΑ** 💡

  Ένα πολυώνυμο \(P(x)\) έχει παράγοντα το \(x - ρ\) αν και μόνο αν το \(ρ\) είναι ρίζα του \(P(x)\), δηλαδή αν και μόνο αν \(P(ρ) = 0\).


**ΑΠΟΔΕΙΞΗ**

*   **Ευθύ:** Έστω ότι το \(x - ρ\) είναι παράγοντας του \(P(x)\). Τότε \(P(x) = (x - ρ)π(x)\).


  Από την ισότητα αυτή για \(x = ρ\) παίρνουμε \(P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) = 0\), που σημαίνει ότι το \(ρ\) είναι ρίζα του \(P(x)\).

*   **Αντίστροφο:** Έστω ότι το \(ρ\) είναι ρίζα του \(P(x)\), δηλαδή ισχύει \(P(ρ) = 0\).


  Τότε από τη σχέση \(P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ)\) παίρνουμε \(P(x) = (x - ρ)π(x) + 0\), δηλαδή \(P(x) = (x - ρ)π(x)\).


  Αυτό σημαίνει ότι το \(x - ρ\) είναι παράγοντας του \(P(x)\).

# Εφαρμογή 1: Έλεγχος Παραγόντων 🧐

**Ερώτηση:** Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα \(x+2\) και \(x-1\) είναι παράγοντες του πολυωνύμου \(P(x) = x^3 + x^2 - x + 2\).

##**Λύση:**

 **Για το \(x+2\):**

 Γράφεται ως \(x - (-2)\). Σύμφωνα με το θεώρημα, το \(x+2\) είναι παράγοντας του \(P(x)\) αν και μόνο αν \(P(-2) = 0\).
 
 Υπολογίζουμε:
 
 \(P(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - (-2) + 2 = -8 + 4 + 2 + 2 = 0\)

Επομένως, το \(x+2\) **είναι** παράγοντας του \(P(x)\). ✅

   **Για το \(x-1\):**
    
  Σύμφωνα με το θεώρημα, το \(x-1\) είναι παράγοντας του \(P(x)\) αν και μόνο αν \(P(1) = 0\).
    
  Υπολογίζουμε:
    
  \(P(1) = 1^3 + 1^2 - 1 + 2 = 1 + 1 - 1 + 2 = 3\)
    
  Επειδή \(P(1) = 3 \neq 0\), το \(x-1\) **δεν είναι** παράγοντας του \(P(x)\). ❌

# Εφαρμογή 2: Υπόλοιπο Διαίρεσης (Μέρος i) ⚙️

**Ερώτηση:** Για ποιες τιμές του \(λ \in \mathbb{R}\):

i) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\) με το \(x + λ\) είναι μηδέν.

**Λύση (i):**

Επειδή \(x + λ = x - (-λ)\), το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(P(x)\) με το \(x + λ\) είναι \(υ = P(-λ)\).

Επομένως, για να είναι \(υ = 0\), πρέπει \(P(-λ) = 0\).

\(P(-λ) = (-λ)^3 - 3(-λ)^2 + 3(-λ) - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow -λ^3 - 3λ^2 - 3λ - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow λ^3 + 3λ^2 + 3λ + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow (λ + 1)^3 = 0\)

\(\Leftrightarrow λ + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow λ = -1\)

Άρα, το υπόλοιπο είναι μηδέν όταν \(λ = -1\).

# Εφαρμογή 2: Υπόλοιπο Διαίρεσης (Μέρος ii) ⚙️

**Ερώτηση:** Για ποιες τιμές του \(λ \in \mathbb{R}\):

ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(Q(x) = λ^2x^4 + 3λx^2 - 3\) με το \(x - 1\) είναι 1.

**Λύση (ii):**

Το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(Q(x)\) με το \(x - 1\) είναι \(υ = Q(1)\).

Επομένως, για να είναι \(υ = 1\), πρέπει \(Q(1) = 1\).

\(Q(1) = λ^2(1)^4 + 3λ(1)^2 - 3 = 1\)

\(\Leftrightarrow λ^2 + 3λ - 3 = 1\)

\(\Leftrightarrow λ^2 + 3λ - 4 = 0\)

Αυτή είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς \(λ\). Η διακρίνουσα είναι \(Δ = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25\).

Οι ρίζες είναι:

\(λ = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2}\)

Άρα, οι ζητούμενες τιμές του \(λ\) είναι \(λ = \frac{-3 + 5}{2} = 1\) ή \(λ = \frac{-3 - 5}{2} = -4\).

01. Ευκλείδεια Διαίρεση

Πώς επεκτείνεται η γνωστή Ευκλείδεια διαίρεση ακεραίων στα πολυώνυμα, με πηλίκο και υπόλοιπο μοναδικά καθορισμένα.

Η Ταυτότητα της Διαίρεσης

Πότε το υπόλοιπο μιας διαίρεσης πολυωνύμων μηδενίζεται, και τι σημαίνει αυτό για τους όρους παράγοντας και πολλαπλάσιο.

Τέλεια Διαίρεση

Γιατί η διαίρεση με πρωτοβάθμιο διαιρέτη δίνει πάντα σταθερό υπόλοιπο και πώς αυτό οδηγεί στο θεώρημα του υπολοίπου.

Διαίρεση Πολυωνύμου με x μείον ρ

Πώς συνδέονται οι ρίζες ενός πολυωνύμου με τους πρωτοβάθμιους παράγοντές του, και πώς αποδεικνύεται η ισοδυναμία τους.

Θεώρημα Παραγόντων

Λυμένα παραδείγματα ελέγχου παραγόντων και εύρεσης παραμέτρων από τις συνθήκες που θέτει το υπόλοιπο μιας διαίρεσης.

Εφαρμογές

# Ευκλείδεια Διαίρεση Πολυωνύμων 📝

Όπως στη διαίρεση φυσικών αριθμών ισχύει \(Δ = δπ + υ\) με \(0 \leq υ < δ\), έτσι και για δύο πολυώνυμα \(Δ(x)\) και \(δ(x) \neq 0\) υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα \(π(x)\) (πηλίκο) και \(υ(x)\) (υπόλοιπο), τέτοια ώστε \(Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x)\), όπου το \(υ(x)\) είναι είτε το μηδενικό πολυώνυμο είτε έχει βαθμό μικρότερο από τον βαθμό του \(δ(x)\). Όταν \(υ(x) = 0\), η διαίρεση λέγεται **τέλεια**: γράφουμε \(Δ(x) = δ(x) \cdot π(x)\) και λέμε ότι το \(δ(x)\) είναι παράγοντας (διαιρέτης) του \(Δ(x)\), ενώ το \(Δ(x)\) είναι πολλαπλάσιο του \(δ(x)\).

Ειδική περίπτωση με μεγάλη πρακτική αξία είναι η διαίρεση ενός πολυωνύμου \(P(x)\) με ένα πρωτοβάθμιο \(x - ρ\): επειδή ο διαιρέτης έχει βαθμό 1, το υπόλοιπο είναι πάντα σταθερό, και θέτοντας \(x = ρ\) στην ταυτότητα \(P(x) = (x - ρ)π(x) + υ\) προκύπτει το **θεώρημα του υπολοίπου**: \(υ = P(ρ)\). Δηλαδή, το υπόλοιπο της διαίρεσης ισούται με την τιμή του πολυωνύμου στο \(x = ρ\), χωρίς να χρειάζεται να εκτελέσουμε τη διαίρεση.

<fact title="Το θεώρημα παραγόντων">

Συνδυάζοντας το θεώρημα του υπολοίπου με την έννοια της τέλειας διαίρεσης προκύπτει το **θεώρημα παραγόντων**: το \(x - ρ\) είναι παράγοντας του \(P(x)\) αν και μόνο αν το \(ρ\) είναι ρίζα του \(P(x)\), δηλαδή \(P(ρ) = 0\). Αυτό επιτρέπει να ελέγχουμε αν ένα πρωτοβάθμιο πολυώνυμο διαιρεί ένα άλλο απλώς υπολογίζοντας μια τιμή, χωρίς καμία διαίρεση.

</fact>

<alert title="Προσοχή στο πρόσημο της ρίζας">

Ο διαιρέτης \(x + λ\) γράφεται \(x - (-λ)\), άρα η ρίζα που πρέπει να αντικαταστήσεις είναι \(-λ\) και όχι \(λ\). Αυτό το λάθος πρόσημο είναι από τα πιο συχνά σε ασκήσεις με το θεώρημα του υπολοίπου.

</alert>
