Το δρομολόγιο ξεκινά με τις ευθείες. Θα μάθεις να τις σχεδιάζεις και να βρίσκεις σημεία τομής. Στη συνέχεια, θα ταξιδέψεις στην πόλη των συναρτήσεων, αναζητώντας μονοτονίες και συμμετρίες. Ύστερα μια σύντομη στάση στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τα πολυώνυμα. Τελικός προορισμός, οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις. Δέσε ζώνη, κάθισε στο βαγόνι σου και ταξίδεψε μαζί μας 🚂

Άλγεβρα Β' Λυκείου

# Σχήμα Horner (Χόρνερ) 🤓

Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου, 

π.χ. του \(P(x) = 3x^3 - 8x^2 + 7x + 2\), με ένα πολυώνυμο της μορφής \(x - \rho\).


Η παραπάνω διαίρεση μπορεί να παρουσιασθεί εποπτικά με τον ακόλουθο πίνακα που είναι γνωστός ως **σχήμα του Horner**.

## Κατασκευή Πίνακα 🏗️

Για την κατασκευή του πίνακα του σχήματος Horner εργαζόμαστε ως εξής:

1.  **Πρώτη γραμμή:** Γράφουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου \(P(x)\).

    (Στο παράδειγμα \(P(x) = 3x^3 - 8x^2 + 7x + 2\), οι συντελεστές είναι 3, -8, 7, 2).
3.  **Θέση του \(\rho\):** Στην πρώτη θέση της τρίτης γραμμής γράφουμε τον αριθμό \(\rho\) από τον διαιρέτη \(x - \rho\).
4.  **Συμπλήρωση πίνακα:**
    *   Κατεβάζουμε τον πρώτο συντελεστή (3) στην τρίτη γραμμή.
    *   Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό αυτό (3) με το \(\rho\) και το γινόμενο (\(3\rho\)) το γράφουμε στη δεύτερη γραμμή, κάτω από τον επόμενο συντελεστή (-8).
    *   Προσθέτουμε τον συντελεστή (-8) με το γινόμενο (\(3\rho\)) και το άθροισμα (\(3\rho - 8\)) το γράφουμε στην τρίτη γραμμή.
    *   Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία: πολλαπλασιάζουμε το άθροισμα (\(3\rho - 8\)) με το \(\rho\), γράφουμε το γινόμενο (\(\rho(3\rho - 8)\)) κάτω από τον επόμενο συντελεστή (7), προσθέτουμε (\(7 + \rho(3\rho - 8)\)) και γράφουμε το αποτέλεσμα στην τρίτη γραμμή.
    *   Επαναλαμβάνουμε μέχρι να τελειώσουν οι συντελεστές.

**Αποτέλεσμα:**
*   Το **τελευταίο στοιχείο** της τρίτης γραμμής είναι το **υπόλοιπο** \(υ = P(\rho)\).
*   Τα **άλλα στοιχεία** της τρίτης γραμμής είναι οι **συντελεστές του πηλίκου** \(π(x)\).

*(Δείτε τον πίνακα στο βιβλίο για την οπτική αναπαράσταση)*

# Σχήμα Horner - Παράδειγμα Εφαρμογής ⚙️

Ας εργαστούμε με το σχήμα Horner για να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του 

\(P(x) = 3x^4 + 6x - 13\) με το \(x - 2\).

Εδώ είναι \(\rho = 2\). 

Επειδή λείπουν οι δυνάμεις \(x^3\) και \(x^2\), οι αντίστοιχοι συντελεστές είναι 0. Οι συντελεστές του \(P(x)\) είναι 3, 0, 0, 6, -13.

**Στήνουμε τον πίνακα Horner:**

| 3    | 0     | 0     | 6      | -13    |   \(\rho = 2\) |
| :--- | :---- | :---- | :----- | :----- | :------------- |
|      | 6     | 12    | 24     | 60     |                |
| **3**| **6** | **12**| **30** | **47** |                |

**Βήματα:**
1. Κατεβάζουμε το 3.
2. \(3 \times 2 = 6\). Γράφουμε το 6 κάτω από το 0.
3. \(0 + 6 = 6\). Γράφουμε το 6 στην τρίτη γραμμή.
4. \(6 \times 2 = 12\). Γράφουμε το 12 κάτω από το 0.
5. \(0 + 12 = 12\). Γράφουμε το 12 στην τρίτη γραμμή.
6. \(12 \times 2 = 24\). Γράφουμε το 24 κάτω από το 6.
7. \(6 + 24 = 30\). Γράφουμε το 30 στην τρίτη γραμμή.
8. \(30 \times 2 = 60\). Γράφουμε το 60 κάτω από το -13.
9. \(-13 + 60 = 47\). Γράφουμε το 47 στην τρίτη γραμμή.

**Αποτέλεσμα:**
*   Οι συντελεστές του πηλίκου είναι 3, 6, 12, 30.
*   Το υπόλοιπο είναι 47.

Επομένως, το πηλίκο της διαίρεσης είναι \(π(x) = 3x^3 + 6x^2 + 12x + 30\) και το υπόλοιπο είναι \(υ = P(2) = 47\).

# Σχόλιο για το Σχήμα Horner 🤔

Στο παράδειγμα της διαίρεσης \(P(x) = 3x^4 + 6x - 13\) με το \(x - 2\), αντί για το σχήμα Horner, θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε απευθείας το \(P(2)\) για να βρούμε το υπόλοιπο.

\(P(2) = 3 \cdot 2^4 + 6 \cdot 2 - 13 = 3 \cdot 16 + 12 - 13 = 48 + 12 - 13 = 47\).

Ωστόσο, το σχήμα Horner είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν το \(\rho\) ή ο βαθμός του \(P(x)\) είναι μεγάλος αριθμός. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ο υπολογισμός του \(P(\rho)\) απαιτεί πράξεις που μπορεί να είναι δύσκολες και επιρρεπείς σε λάθη. 📉

Το σχήμα Horner μας επιτρέπει να βρούμε το \(P(\rho)\) (το υπόλοιπο) και τους συντελεστές του πηλίκου με απλούστερες πράξεις. 👍

Γι' αυτό τον λόγο, όταν θέλουμε να βρούμε την τιμή \(P(\rho)\), χρησιμοποιούμε συνήθως το σχήμα Horner.

02. Σχήμα Horner

Πώς στήνεται βήμα-βήμα ο πίνακας του σχήματος Horner από τους συντελεστές ενός πολυωνύμου και τη ρίζα ρ του διαιρέτη.

Κατασκευή του πίνακα Horner

Ένα πλήρως λυμένο παράδειγμα διαίρεσης πολυωνύμου με το σχήμα Horner, βήμα προς βήμα, με εύρεση πηλίκου και υπολοίπου.

Παράδειγμα εφαρμογής

Σύγκριση του σχήματος Horner με τον απευθείας υπολογισμό της τιμής ενός πολυωνύμου, και πότε συμφέρει περισσότερο η χρήση του.

Γιατί προτιμάμε το σχήμα Horner

# Σχήμα Horner 🤓

Το **σχήμα Horner** είναι ένας πρακτικός πίνακας που μας επιτρέπει να βρίσκουμε γρήγορα το πηλίκο \(π(x)\) και το υπόλοιπο \(υ\) της διαίρεσης ενός πολυωνύμου \(P(x)\) με ένα διώνυμο της μορφής \(x - \rho\). Στην πρώτη γραμμή γράφουμε τους συντελεστές του \(P(x)\) κατά φθίνουσες δυνάμεις του \(x\) —συμπληρώνοντας με 0 κάθε δύναμη που λείπει— και στην τρίτη γραμμή ξεκινάμε κατεβάζοντας τον πρώτο συντελεστή. Κάθε επόμενο στοιχείο προκύπτει πολλαπλασιάζοντας το προηγούμενο στοιχείο της τρίτης γραμμής με το \(\rho\) και προσθέτοντάς το στον επόμενο συντελεστή. Το τελευταίο στοιχείο της τρίτης γραμμής είναι το υπόλοιπο \(υ = P(\rho)\), ενώ τα υπόλοιπα στοιχεία είναι οι συντελεστές του πηλίκου \(π(x)\), που έχει βαθμό κατά ένα μικρότερο από τον βαθμό του \(P(x)\).

:::alert{title="Μην ξεχνάς τους μηδενικούς συντελεστές"}
Όταν κάποια δύναμη του \(x\) λείπει από το πολυώνυμο, πρέπει να τη συμπληρώσεις με συντελεστή 0 στην πρώτη γραμμή του πίνακα· διαφορετικά όλοι οι επόμενοι υπολογισμοί μετατοπίζονται και το αποτέλεσμα βγαίνει λάθος.
:::

Το σχήμα Horner δίνει ακριβώς το ίδιο υπόλοιπο με τον απευθείας υπολογισμό της τιμής \(P(\rho)\), όμως το πετυχαίνει με διαδοχικούς πολλαπλασιασμούς και προσθέσεις αντί για υψώσεις σε δύναμη. Γι' αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν το \(\rho\) ή ο βαθμός του \(P(x)\) είναι μεγάλος αριθμός, καθώς μειώνει σημαντικά την πιθανότητα λάθους στις πράξεις.


Άλγεβρα Β' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Σχήμα Horner