Ευκλείδεια Διαίρεση Πολυωνύμων 📚

Η Ταυτότητα της Διαίρεσης

Θυμόμαστε από το Γυμνάσιο την Ευκλείδεια διαίρεση μεταξύ θετικών ακεραίων αριθμών. Για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών Δ και δ με $δ \neq 0$, υπάρχουν μοναδικοί φυσικοί αριθμοί π και υ, τέτοιοι ώστε:

Αυτή η ισότητα είναι γνωστή ως ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. Ο Δ λέγεται διαιρετέος, ο δ διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαίρεσης.

Η έννοια της διαίρεσης των πολυωνύμων είναι ανάλογη. Συγκεκριμένα ισχύει:

Όπως και στη διαίρεση ακεραίων, το $Δ(x)$ λέγεται διαιρετέος, το $δ(x)$ διαιρέτης, το $π(x)$ πηλίκο και το $υ(x)$ υπόλοιπο της διαίρεσης.

Τέλεια Διαίρεση ✅

Γενικά, αν σε μια διαίρεση είναι $υ(x) = 0$, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια διαίρεση και η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται:

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το $δ(x)$ διαιρεί το $Δ(x)$ ή ότι το $δ(x)$ είναι παράγοντας του $Δ(x)$ ή ότι το $Δ(x)$ είναι πολλαπλάσιο του $δ(x)$.

Διαίρεση Πολυωνύμου με $x - ρ$ 🤔

Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου $P(x)$ με το πολυώνυμο $x - ρ$ γράφεται:

Επειδή ο διαιρέτης $x - ρ$ είναι πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης $υ(x)$ θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο $υ$. Έτσι έχουμε:

Αν θέσουμε $x = ρ$, παίρνουμε:

Επομένως:

Παράδειγμα: Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $P(x) = x^3 + 3x^2 - 13x - 15$ με το $x + 1$ (δηλαδή $x - (-1)$) είναι $υ = P(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 13(-1) - 15 = -1 + 3 + 13 - 15 = 0$.

Παρατηρούμε ότι $P(-1) = 0$, δηλαδή το $-1$ είναι ρίζα του $P(x)$ και το $x + 1$ είναι παράγοντας του $P(x)$.

Θεώρημα Παραγόντων ✳️

Γενικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα:

Απόδειξη:

• (Ευθύ) Έστω ότι το $x - ρ$ είναι παράγοντας του $P(x)$. Τότε $P(x) = (x - ρ)π(x)$. Από την ισότητα αυτή για $x = ρ$ παίρνουμε $P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) = 0$, που σημαίνει ότι το $ρ$ είναι ρίζα του $P(x)$.
• (Αντίστροφο) Έστω ότι το $ρ$ είναι ρίζα του $P(x)$, δηλαδή ισχύει $P(ρ) = 0$. Τότε από τη σχέση $P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ)$ παίρνουμε $P(x) = (x - ρ)π(x) + 0$, που σημαίνει ότι το $x - ρ$ είναι παράγοντας του $P(x)$.

Εφαρμογές 🔢

1η Εφαρμογή. Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα $x + 2$ και $x - 1$ είναι παράγοντες του πολυωνύμου $P(x) = x^3 + x^2 - x + 2$.

Λύση:

Το $x + 2$ γράφεται $x - (-2)$. Επειδή $P(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - (-2) + 2 = -8 + 4 + 2 + 2 = 0$, το $-2$ είναι ρίζα του $P(x)$. Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, το $x + 2$ είναι παράγοντας του $P(x)$. ✅

Επειδή $P(1) = 1^3 + 1^2 - 1 + 2 = 1 + 1 - 1 + 2 = 3 \neq 0$, το $1$ δεν είναι ρίζα του $P(x)$. Επομένως, το $x - 1$ δεν είναι παράγοντας του $P(x)$. ❌

2η Εφαρμογή. Για ποιες τιμές του $λ \in \mathbb{R}$:

i) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ με το $x + λ$ είναι μηδέν.

ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $Q(x) = λ^2x^4 + 3λx^2 - 3$ με το $x - 1$ είναι 1.

Λύση:

i) Επειδή $x + λ = x - (-λ)$, το υπόλοιπο της διαίρεσης του $P(x)$ με το $x + λ$ είναι $υ = P(-λ)$. Επομένως, για να είναι $υ = 0$ αρκεί:

ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $Q(x)$ με το $x - 1$ είναι $υ = Q(1)$. Επομένως, για να είναι $υ = 1$ αρκεί:

Η εξίσωση αυτή είναι δευτέρου βαθμού ως προς λ. Οι ρίζες είναι:

Άρα, $λ = 1$ ή $λ = -4$.