Αλγεβρική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος 📐

Η γραμμική εξίσωση $αx + βy = γ$

Στο Γυμνάσιο μάθαμε ότι η εξίσωση $αx + βy = γ$, με $α ≠ 0$ ή $β ≠ 0$, λέγεται γραμμική εξίσωση και παριστάνει μια ευθεία γραμμή 📈.

Ας δούμε τις περιπτώσεις:

Αν $β ≠ 0$:

Τότε η εξίσωση γράφεται:

Αυτή η εξίσωση παριστάνει μια ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης $λ = -\frac{α}{β}$ και τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $\frac{γ}{β}$.

Ειδικότερα:

• Αν $α ≠ 0$, τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες.
• Αν $α = 0$, τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή $y = \frac{γ}{β}$. Αυτή παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα $x'x$ και τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $\frac{γ}{β}$.

Αν $β = 0$ (οπότε $α ≠ 0$):

Τότε η εξίσωση γράφεται:

Αυτή η εξίσωση παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα $y'y$ και τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο $\frac{γ}{α}$.

Παραδείγματα 💡

• Η εξίσωση $x - 2y = 2$ παίρνει τη μορφή $y = \frac{1}{2}x - 1$. Παριστάνει ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης $λ = \frac{1}{2}$ και τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $-1$.
• Η εξίσωση $y = 2$ παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα $x'x$ και τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $2$.
• Η εξίσωση $x = 2$ παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα $y'y$ και τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο $2$.

Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει μια γραμμική εξίσωση λέγεται λύση της γραμμικής εξίσωσης.

Γραμμικό σύστημα 2×2 🧩

Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις $αx + βy = γ$ και $α'x + β'y = γ'$ και ψάχνουμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα 2×2 και γράφουμε:

Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος λέγεται λύση του συστήματος.

Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος γίνεται με κατάλληλη μετατροπή του σε άλλο ισοδύναμο σύστημα, το οποίο έχει ακριβώς τις ίδιες λύσεις με το αρχικό.

Η μετατροπή ενός συστήματος στο ισοδύναμό του γίνεται συνήθως με έναν από τους εξής δύο τρόπους:

1. Μέθοδος της αντικατάστασης: Λύνουμε τη μια εξίσωση του συστήματος ως προς έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση.
2. Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών: Αντικαθιστούμε μια από τις εξισώσεις (ε) ή (ε') του συστήματος, π.χ. την (ε), με την εξίσωση «$λ \cdot (ε) + λ' \cdot (ε')$» που προκύπτει αν στα μέλη της (ε), πολλαπλασιασμένα με $λ ≠ 0$, προσθέσουμε τα μέλη της (ε') πολλαπλασιασμένα με $λ'$. Η εξίσωση $λ \cdot (ε) + λ' \cdot (ε')$ λέγεται γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων (ε) και (ε').

Μέθοδος της αντικατάστασης 🔄

Ας λύσουμε το σύστημα:

1. Λύνουμε την (1) ως προς $x$: $x = 2y + 6$.

2. Αντικαθιστούμε στην (2) το $x$ με την παράσταση που βρήκαμε:

   $$3(2y + 6) + 4y = 8$$

3. Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει:

   $$6y + 18 + 4y = 8 \Leftrightarrow 10y = -10 \Leftrightarrow y = -1$$

4. Αντικαθιστούμε την τιμή του $y$ στην πρώτη εξίσωση $x = 2y + 6$ και υπολογίζουμε τον άλλο άγνωστο:

   $$x = 2(-1) + 6 = -2 + 6 = 4$$

Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος $(4, -1)$. ✅

Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών (ή της απαλοιφής) ➕➖

Ας λύσουμε το ίδιο σύστημα:

1. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με $-3$, ώστε οι συντελεστές του $x$ στις δύο εξισώσεις να γίνουν αντίθετοι:

   $$\begin{cases} -3x + 6y = -18 \\ 3x + 4y = 8 \end{cases}$$

2. Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε:

   $$-3x + 6y + 3x + 4y = -18 + 8 \Leftrightarrow 10y = -10 \Leftrightarrow y = -1$$

3. Αντικαθιστούμε την τιμή του $y$ που βρήκαμε σε μια από τις αρχικές εξισώσεις (π.χ. την (1)):

   $$x - 2(-1) = 6 \Leftrightarrow x + 2 = 6 \Leftrightarrow x = 4$$

Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος $(4, -1)$. ✅

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος 2×2 📉

Κάθε εξίσωση του γραμμικού συστήματος

παριστάνει μια ευθεία γραμμή. Το σημείο τομής των ευθειών αυτών προσδιορίζει τη λύση του συστήματος, αφού οι συντεταγμένες του επαληθεύουν συγχρόνως τις δύο εξισώσεις του συστήματος.

Γενικά, μπορούμε να επιλύσουμε γραφικά ένα γραμμικό σύστημα σχεδιάζοντας τις δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του και βρίσκοντας, εφόσον υπάρχει, το σημείο τομής τους.

Οι δύο εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος 2×2 παριστάνουν δύο ευθείες, οι οποίες μπορεί:

Παράδειγμα τεμνόμενων ευθειών

Το σύστημα $\begin{cases} 2x + 3y = 3 \\ 4x - 9y = 1 \end{cases}$ γράφεται $\begin{cases} y = -\frac{2}{3}x + 1 \\ y = \frac{4}{9}x - \frac{1}{9} \end{cases}$. Οι ευθείες τέμνονται, αφού έχουν διαφορετικούς συντελεστές διεύθυνσης. Η αλγεβρική λύση δίνει το ζεύγος $(1, \frac{1}{3})$.

Παράδειγμα παράλληλων ευθειών (αδύνατο σύστημα)

Το σύστημα $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = -5 \end{cases}$ γράφεται $\begin{cases} y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \\ y = -\frac{2}{4}x - \frac{5}{4} \end{cases}$, δηλαδή $\begin{cases} y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \\ y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{4} \end{cases}$. Οι ευθείες είναι παράλληλες, άρα το σύστημα είναι αδύνατο.

Παράδειγμα ταυτόσημων ευθειών (αόριστο σύστημα)

Το σύστημα $\begin{cases} y + 1 = 2x \\ 4x - 2y = 2 \end{cases}$ γράφεται $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = 2x - 1 \end{cases}$. Οι ευθείες συμπίπτουν, άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής $(k, 2k - 1)$, $k \in \mathbb{R}$.