Το δρομολόγιο ξεκινά με τις ευθείες. Θα μάθεις να τις σχεδιάζεις και να βρίσκεις σημεία τομής. Στη συνέχεια, θα ταξιδέψεις στην πόλη των συναρτήσεων, αναζητώντας μονοτονίες και συμμετρίες. Ύστερα μια σύντομη στάση στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τα πολυώνυμα. Τελικός προορισμός, οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις. Δέσε ζώνη, κάθισε στο βαγόνι σου και ταξίδεψε μαζί μας 🚂

Άλγεβρα Β' Λυκείου

# Παραδείγματα Γραμμικών Εξισώσεων 

1.  **Η εξίσωση \(x - 2y = 2\)** παίρνει τη μορφή \(y = \frac{1}{2}x - 1\).
    *   Παριστάνει ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης \(λ = \frac{1}{2}\).
    *   Τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(-1\).

2.  **Η εξίσωση \(y = 2\)** παριστάνει ευθεία:
    *   Παράλληλη στον άξονα \(x'x\).
    *   Τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(2\).

3.  **Η εξίσωση \(x = 2\)** παριστάνει ευθεία:
    *   Παράλληλη στον άξονα \(y'y\).
    *   Τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(2\).

# Λύση Γραμμικής Εξίσωσης 🔑

Κάθε ζεύγος αριθμών \((x, y)\) που **επαληθεύει** μια γραμμική εξίσωση \(αx + βy = γ\) λέγεται **λύση της γραμμικής εξίσωσης**.

**Παράδειγμα:**
Το ζεύγος \((4, -1)\) είναι λύση της εξίσωσης \(x - 2y = 6\), αφού \(4 - 2(-1) = 4 + 2 = 6\).

Επίσης, τα ζεύγη \((16, 5)\), \((-10, -8)\) είναι λύσεις της ίδιας εξίσωσης. Γενικά, κάθε ζεύγος της μορφής \((k, \frac{1}{2}k - 3)\), \(k \in ℝ\) είναι λύση της εξίσωσης.

# Γραμμικό Σύστημα 2 x 2 🧩

Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις \(αx + βy = γ\) και \(α'x + β'y = γ'\) και ζητάμε τις **κοινές λύσεις** τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα **γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους** ή, πιο σύντομα, ένα **γραμμικό σύστημα 2 x 2**.

Γράφουμε:
\(\begin{cases} αx + βy = γ \\ α'x + β'y = γ' \end{cases}\)

Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει **και τις δύο** εξισώσεις του συστήματος λέγεται **λύση του συστήματος**.

# Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος 2 x 2 📉📈

Κάθε εξίσωση του γραμμικού συστήματος
\(\begin{cases} x - 2y = 6 \\ 3x + 4y = 8 \end{cases}\)
παριστάνει μια ευθεία γραμμή.

Η λύση του συστήματος είναι οι συντεταγμένες του **σημείου τομής** των δύο αυτών ευθειών, αφού οι συντεταγμένες του σημείου τομής επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις.

Γενικά, μπορούμε να επιλύσουμε γραφικά ένα γραμμικό σύστημα

\(\begin{cases} αx + βy = γ \\ α'x + β'y = γ' \end{cases}\)

σχεδιάζοντας τις δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του και βρίσκοντας, εφόσον υπάρχει, το σημείο τομής τους.

Η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 δίνει λύσεις που μπορεί να είναι **προσεγγιστικές**. Παρά την αδυναμία αυτή, η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 διευκολύνει πάρα πολύ σε περιπτώσεις, όπου μας ενδιαφέρουν μόνο προσεγγιστικές λύσεις του συστήματος ή, ακόμη, όταν η αλγεβρική του επίλυση είναι δυσχερής.

# Γραφική Διερεύνηση Συστήματος 2x2 📊

Οι δύο εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 παριστάνουν δύο ευθείες οι οποίες μπορεί:
*   Να **τέμνονται** ✂️
*   Να είναι **παράλληλες** ⏸️
*   Να **συμπίπτουν** ☰

**Ανάλογα με τη σχετική θέση των ευθειών, το σύστημα έχει:**

1.  **Μοναδική Λύση:** Αν οι ευθείες τέμνονται. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής είναι η λύση.


   *   *Παράδειγμα:* \(\begin{cases} 2x + 3y = 3 \\ 4x - 9y = 1 \end{cases}\) γράφεται \(\begin{cases} y = -\frac{2}{3}x + 1 \\ y = \frac{4}{9}x - \frac{1}{9} \end{cases}\). Οι ευθείες έχουν διαφορετικούς συντελεστές διεύθυνσης (\(-\frac{2}{3} \neq \frac{4}{9}\)), άρα τέμνονται. Η λύση είναι \((1, \frac{1}{3})\).

3.  **Καμία Λύση (Αδύνατο):** Αν οι ευθείες είναι παράλληλες και διακριτές.
   
   *   *Παράδειγμα:* \(\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = -5 \end{cases}\) γράφεται \(\begin{cases} y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \\ y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{4} \end{cases}\). Οι ευθείες έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης (\(-\frac{1}{2}\)) αλλά τέμνουν τον άξονα \(y'y\) σε διαφορετικά σημεία (\(\frac{3}{2} \neq -\frac{5}{4}\)), άρα είναι παράλληλες.

4.  **Άπειρο Πλήθος Λύσεων:** Αν οι ευθείες συμπίπτουν.

   *   *Παράδειγμα:* \(\begin{cases} y + 1 = 2x \\ 4x - 2y = 2 \end{cases}\) γράφεται \(\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = 2x - 1 \end{cases}\). Οι ευθείες συμπίπτουν. Οι λύσεις είναι της μορφής \((k, 2k - 1)\), \(k \in ℝ\).

01. Γραφική Επίλυση

Πώς κάθε γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους παριστάνει μια ευθεία, και πώς βρίσκουμε τον συντελεστή διεύθυνσής της.

Η γραμμική εξίσωση ax + βy = γ

Εφαρμογή σε συγκεκριμένες εξισώσεις για να δούμε πρακτικά ποια ευθεία παριστάνει η καθεμία και πού τέμνει τους άξονες.

Παραδείγματα γραμμικής εξίσωσης

Τι σημαίνει να λύνουμε δύο γραμμικές εξισώσεις μαζί, τι είναι λύση συστήματος και πώς μετατρέπεται σε ισοδύναμο.

Γραμμικό σύστημα 2 x 2

Πώς η θέση δύο ευθειών, αν τέμνονται, είναι παράλληλες ή συμπίπτουν, καθορίζει αν το σύστημα έχει μία, καμία ή άπειρες λύσεις.

Οι τρεις περιπτώσεις σχετικής θέσης ευθειών

# Γραφική Επίλυση Συστήματος 📉

Κάθε γραμμική εξίσωση \(ax + βy = γ\) (με \(α ≠ 0\) ή \(β ≠ 0\)) παριστάνει μια ευθεία: αν \(β ≠ 0\), γράφεται \(y = -\frac{α}{β}x + \frac{γ}{β}\) με συντελεστή διεύθυνσης \(λ = -\frac{α}{β}\)· αν \(β = 0\), παίρνει τη μορφή \(x = \frac{γ}{α}\), δηλαδή ευθεία παράλληλη στον \(y'y\). Ένα γραμμικό σύστημα 2×2 αποτελείται από δύο τέτοιες εξισώσεις, και κάθε ζεύγος \((x, y)\) που τις επαληθεύει και τις δύο λέγεται λύση του συστήματος. Η γραφική επίλυση ενός συστήματος σχεδιάζει τις δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του και εντοπίζει το κοινό τους σημείο.

Η σχετική θέση των δύο ευθειών καθορίζει πλήρως το πλήθος των λύσεων. Αν οι ευθείες έχουν διαφορετικούς συντελεστές διεύθυνσης, τέμνονται σε ένα ακριβώς σημείο και το σύστημα έχει **μοναδική λύση**. Αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης αλλά τέμνουν τον \(y'y\) σε διαφορετικά σημεία, είναι παράλληλες και το σύστημα είναι **αδύνατο** (καμία λύση). Αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης και τέμνουν τον \(y'y\) στο ίδιο σημείο, οι ευθείες συμπίπτουν και το σύστημα είναι **αόριστο**, με άπειρες λύσεις της μορφής \((k, λk + β_0)\), \(k \in \mathbb{R}\).

:::alert{title="Προσοχή στην ακρίβεια"}
Η γραφική επίλυση δίνει συνήθως **προσεγγιστικές** λύσεις, αφού βασίζεται σε σχέδιο. Είναι όμως πολύ χρήσιμη όταν μας ενδιαφέρει μια γρήγορη εκτίμηση ή όταν η αλγεβρική επίλυση είναι δυσχερής.
:::


Άλγεβρα Β' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Γραφική Επίλυση