Το δρομολόγιο ξεκινά με τις ευθείες. Θα μάθεις να τις σχεδιάζεις και να βρίσκεις σημεία τομής. Στη συνέχεια, θα ταξιδέψεις στην πόλη των συναρτήσεων, αναζητώντας μονοτονίες και συμμετρίες. Ύστερα μια σύντομη στάση στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τα πολυώνυμα. Τελικός προορισμός, οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις. Δέσε ζώνη, κάθισε στο βαγόνι σου και ταξίδεψε μαζί μας 🚂

Άλγεβρα Β' Λυκείου

# Η Εξίσωση \(αx + βy = γ\) 📈

Στο Γυμνάσιο είδαμε ότι η εξίσωση \(ax + βy = γ\), με \(α \neq 0\) ή \(β \neq 0\), λέγεται **γραμμική εξίσωση** και παριστάνει ευθεία γραμμή.

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

1️⃣ **Αν \(β \neq 0\)**:
Η εξίσωση γράφεται:
\(ax + βy = γ \Leftrightarrow βy = -αx + γ \Leftrightarrow y = -\frac{α}{β}x + \frac{γ}{β}\)

Αυτή παριστάνει ευθεία που έχει:
*   :tooltip[Συντελεστή διεύθυνσης]{content="Η κλίση της ευθείας, που δείχνει πόσο απότομα ανεβαίνει ή κατεβαίνει."} (κλίση) \(λ = -\frac{α}{β}\)
*   Τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(\frac{γ}{β}\)

*Ειδικότερα:*
*   Αν \(α \neq 0\), τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες.

# Η Εξίσωση \(αx + βy = γ\) (Συνέχεια) 📉

*   **Αν \(α = 0\)** (και \(β \neq 0\)):
    Η εξίσωση παίρνει τη μορφή \(y = \frac{γ}{β}\).
    Παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα \(x'x\) και τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(\frac{γ}{β}\).

*   **Αν \(β = 0\)** (και \(α \neq 0\)):
    Η εξίσωση γράφεται \(ax = γ \Leftrightarrow x = \frac{γ}{α}\).
    Παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα \(y'y\) και τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(\frac{γ}{α}\).

**Παραδείγματα:** ✨

*   Η εξίσωση \(x - 2y = 2\) παίρνει τη μορφή \(y = \frac{1}{2}x - 1\). Παριστάνει ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης \(λ = \frac{1}{2}\) και τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(-1\).
*   Η εξίσωση \(y = 2\) παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα \(x'x\) και τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(2\).
*   Η εξίσωση \(x = 2\) παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα \(y'y\) και τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(2\).

# Λύση Γραμμικής Εξίσωσης 🔑

Κάθε ζεύγος αριθμών \((x, y)\) που επαληθεύει μια γραμμική εξίσωση λέγεται **λύση** της γραμμικής εξίσωσης.

**Παράδειγμα:**
Για την εξίσωση \(x - 2y = 6\):
*   Το ζεύγος \((4, -1)\) είναι λύση, αφού \(4 - 2(-1) = 4 + 2 = 6\).
*   Τα ζεύγη \((16, 5)\) και \((-10, -8)\) είναι επίσης λύσεις.
*   Γενικά, κάθε ζεύγος της μορφής \((k, \frac{1}{2}k - 3)\), \(k \in \mathbb{R}\) είναι λύση της εξίσωσης.

# Γραμμικό Σύστημα 2 x 2 🧩

Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις \(ax + βy = γ\) και \(a'x + β'y = γ'\) και ζητάμε τις **κοινές λύσεις** αυτών, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα **γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους** ή, πιο σύντομα, ένα **γραμμικό σύστημα 2 x 2**.

Γράφουμε:
\( \begin{cases} ax + βy = γ \\ a'x + β'y = γ' \end{cases} \)

Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει **και τις δύο** εξισώσεις του συστήματος λέγεται **λύση του συστήματος**.

# Μέθοδος της Αντικατάστασης 🔄

Λύνουμε τη μία από τις δύο εξισώσεις ως προς έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε στην άλλη.

**Παράδειγμα:**
Έστω το σύστημα:
\( \begin{cases} x - 2y = 6 \quad (1) \\ 3x + 4y = 8 \quad (2) \end{cases} \)

1.  Λύνουμε την (1) ως προς \(x\):
    \(x = 2y + 6\)

2.  Αντικαθιστούμε στην (2):
    \(3(2y + 6) + 4y = 8\)
    \( \Leftrightarrow 6y + 18 + 4y = 8 \)
    \( \Leftrightarrow 10y = -10 \)
    \( \Leftrightarrow y = -1 \)

3.  Αντικαθιστούμε την τιμή του \(y\) στην \(x = 2y + 6\):
    \(x = 2(-1) + 6 = -2 + 6 = 4\)

Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος \((4, -1)\). ✅

**Επαλήθευση:** Είναι καλό να ελέγχουμε αν οι τιμές που βρήκαμε επαληθεύουν τις αρχικές εξισώσεις:
*   1η εξίσωση: \(4 - 2(-1) = 4 + 2 = 6\) ✔️
*   2η εξίσωση: \(3 \cdot 4 + 4(-1) = 12 - 4 = 8\) ✔️

# Μέθοδος των Αντίθετων Συντελεστών (ή της Απαλοιφής) ➕➖

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς, ώστε οι συντελεστές του ενός αγνώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι **αντίθετοι**.

**Παράδειγμα:**
Έστω το σύστημα:
\( \begin{cases} x - 2y = 6 \quad (1) \\ 3x + 4y = 8 \quad (2) \end{cases} \)

1.  Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με \(-3\), ώστε οι συντελεστές του \(x\) να γίνουν αντίθετοι (\(-3\) και \(3\)):
    \( \begin{cases} -3(x - 2y) = -3 \cdot 6 \\ 3x + 4y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -3x + 6y = -18 \\ 3x + 4y = 8 \end{cases} \)

2.  Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που προκύπτουν:
    \( (-3x + 6y) + (3x + 4y) = -18 + 8 \)
    \( \Leftrightarrow 10y = -10 \)
    \( \Leftrightarrow y = -1 \)

3.  Αντικαθιστούμε την τιμή του \(y\) σε μία από τις αρχικές εξισώσεις (π.χ., την (1)):
    \( x - 2(-1) = 6 \)
    \( \Leftrightarrow x + 2 = 6 \)
    \( \Leftrightarrow x = 4 \)

Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος \((4, -1)\) (η ίδια φυσικά που βρέθηκε και με την προηγούμενη μέθοδο). ✅

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 - Σύστημα με Παράμετρο 📝

Να λυθεί το σύστημα:
\( \begin{cases} λx - y = λ - 1 \quad (1) \\ λ^2x - 2y = λ \quad (2) \end{cases} \)
για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου \(λ \in \mathbb{R}\).

**Λύση:**

Από την εξίσωση (1) έχουμε: \( y = λx - (λ - 1) \quad (3) \)

Αντικαθιστούμε την (3) στην (2):

\( λ^2x - 2(λx - λ + 1) = λ \)

\( \Leftrightarrow λ^2x - 2λx + 2λ - 2 = λ \)

\( \Leftrightarrow (λ^2 - 2λ)x = -λ + 2 \)

\( \Leftrightarrow λ(λ - 2)x = -(λ - 2) \quad (4) \)

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις για το \(λ\):

1️⃣ **Αν \( λ(λ - 2) \neq 0 \)**, δηλαδή \( λ \neq 0 \) και \( λ \neq 2 \):

Τότε από την (4) έχουμε:

\( x = \frac{-(λ - 2)}{λ(λ - 2)} = -\frac{1}{λ} \)

Και από την (3):

\( y = λ(-\frac{1}{λ}) - (λ - 1) = -1 - λ + 1 = -λ \)

Άρα, το σύστημα έχει **μοναδική λύση** το ζεύγος \((-\frac{1}{λ}, -λ)\).

2️⃣ **Αν \( λ = 0 \)**:

Η εξίσωση (4) γίνεται \( 0x = 2 \), η οποία είναι **αδύνατη**.

Άρα, το σύστημα είναι **αδύνατο**.


3️⃣ **Αν \( λ = 2 \)**:

Η εξίσωση (4) γίνεται \( 0x = 0 \), η οποία είναι **ταυτότητα** (αληθεύει για κάθε \(x \in \mathbb{R}\)).

Από την (3) για \( λ = 2 \) παίρνουμε: \( y = 2x - (2 - 1) = 2x - 1 \).

Άρα, το σύστημα έχει **άπειρες λύσεις** της μορφής \((k, 2k - 1)\), όπου \(k \in \mathbb{R}\).

02. Αλγεβρική Επίλυση

Τι είναι μια γραμμική εξίσωση, ποια ευθεία παριστάνει και πώς βρίσκουμε τον συντελεστή διεύθυνσής της στις διάφορες περιπτώσεις.

Η γραμμική εξίσωση αx + βy = γ

Τι σημαίνει να λύνουμε δύο γραμμικές εξισώσεις μαζί, τι είναι λύση συστήματος και τι σημαίνει ισοδύναμο σύστημα.

Γραμμικό σύστημα 2x2

Πώς λύνουμε ένα σύστημα λύνοντας τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο και αντικαθιστώντας τον στην άλλη εξίσωση.

Μέθοδος της αντικατάστασης

Πώς απαλείφουμε έναν άγνωστο κάνοντας τους συντελεστές του αντίθετους και προσθέτοντας τις εξισώσεις κατά μέλη.

Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών

Πώς οι δύο ευθείες ενός συστήματος καθορίζουν αν αυτό έχει μοναδική λύση, καμία λύση ή άπειρες λύσεις.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος

# Αλγεβρική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος 📝

Η εξίσωση \(αx + βy = γ\), με \(α ≠ 0\) ή \(β ≠ 0\), λέγεται **γραμμική εξίσωση** και παριστάνει μια ευθεία γραμμή· κάθε ζεύγος \((x, y)\) που την επαληθεύει είναι μια **λύση** της. Όταν έχουμε δύο τέτοιες εξισώσεις και ζητάμε τις κοινές τους λύσεις, προκύπτει ένα **γραμμικό σύστημα 2×2**: \(\begin{cases} αx + βy = γ \\ α'x + β'y = γ' \end{cases}\). Το λύνουμε μετατρέποντάς το σε ισοδύναμο σύστημα, είτε με τη **μέθοδο της αντικατάστασης** (λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στην άλλη) είτε με τη **μέθοδο των αντίθετων συντελεστών** (πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις με κατάλληλους αριθμούς ώστε οι συντελεστές ενός αγνώστου να γίνουν αντίθετοι και τις προσθέτουμε κατά μέλη).

:::alert{title="Μην ξεχνάς την επαλήθευση"}
Μετά την επίλυση, αντικατέστησε πάντα τις τιμές που βρήκες στις αρχικές εξισώσεις για να βεβαιωθείς ότι τις επαληθεύουν και τις δύο.
:::

Κάθε εξίσωση ενός γραμμικού συστήματος 2×2 παριστάνει μια ευθεία, οπότε το σύστημα μπορεί να λυθεί και **γραφικά**, βρίσκοντας το σημείο τομής των δύο ευθειών. Ανάλογα με τη σχετική θέση των ευθειών προκύπτουν τρεις περιπτώσεις: αν **τέμνονται** (διαφορετικοί συντελεστές διεύθυνσης), το σύστημα έχει **μοναδική λύση**· αν είναι **παράλληλες** (ίδιος συντελεστής διεύθυνσης, διαφορετικό σημείο τομής με τον \(y'y\)), το σύστημα είναι **αδύνατο**· αν **συμπίπτουν** (ίδιος συντελεστής διεύθυνσης και ίδιο σημείο τομής με τον \(y'y\)), το σύστημα είναι **αόριστο** με άπειρες λύσεις.

:::fact{title="Πότε προτιμάμε τη γραφική λύση"}
Η γραφική επίλυση δίνει συχνά μόνο προσεγγιστικές λύσεις, όμως είναι πολύ χρήσιμη όταν μας ενδιαφέρει μια γρήγορη εκτίμηση ή όταν η αλγεβρική επίλυση είναι δύσκολη.
:::


Άλγεβρα Β' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Αλγεβρική Επίλυση