Γραμμικά Συστήματα 📐

Η Εξίσωση $ax + βy = γ$

Στο Γυμνάσιο μάθαμε ότι η εξίσωση $ax + βy = γ$ , με $α ≠ 0$ ή $β ≠ 0$ , λέγεται γραμμική εξίσωση και παριστάνει μια ευθεία γραμμή 📈.

Ας δούμε τις περιπτώσεις:

Αν $β ≠ 0$ :
Τότε η εξίσωση γράφεται:

$ax + βy = γ \Leftrightarrow βy = -ax + γ \Leftrightarrow y = -\frac{α}{β}x + \frac{γ}{β}$

Αυτή η εξίσωση παριστάνει μια ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης $λ = -\frac{α}{β}$ και τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $\frac{γ}{β}$ .
- Ειδικότερα:
  - Αν $α ≠ 0$ , τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες.
  - Αν $α = 0$ , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή $y = \frac{γ}{β}$ . Αυτή παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα $x'x$ και τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $\frac{γ}{β}$ .
Αν $β = 0$ (οπότε $α ≠ 0$ ):
Τότε η εξίσωση γράφεται:

$ax = γ \Leftrightarrow x = \frac{γ}{α}$

Αυτή η εξίσωση παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα $y'y$ και τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο $\frac{γ}{α}$ .

Παραδείγματα Γραμμικής Εξίσωσης 💡

Εξίσωση	Ισοδύναμη μορφή	Χαρακτηριστικά
$x - 2y = 2$	$y = \frac{1}{2}x - 1$	Συντελεστής διεύθυνσης $λ = \frac{1}{2}$ , τέμνει τον $y'y$ στο $-1$
$y = 2$	—	Ευθεία παράλληλη στον $x'x$ , τέμνει τον $y'y$ στο $2$
$x = 2$	—	Ευθεία παράλληλη στον $y'y$ , τέμνει τον $x'x$ στο $2$

Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει μια γραμμική εξίσωση λέγεται λύση της γραμμικής εξίσωσης.

Παράδειγμα Λύσης

Το ζεύγος $(4, -1)$ είναι λύση της εξίσωσης $x - 2y = 6$ , αφού $4 - 2(-1) = 4 + 2 = 6$ . Γενικά, κάθε ζεύγος της μορφής $(k, \frac{1}{2}k - 3)$ , $k \in \mathbb{R}$ είναι λύση της εξίσωσης.

Γραμμικό Σύστημα 2 x 2 🧩

Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις $ax + βy = γ$ και $α'x + β'y = γ'$ και ψάχνουμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα 2 x 2 και γράφουμε:

\begin{cases} αx + βy = γ \\ α'x + β'y = γ' \end{cases}

Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος λέγεται λύση του συστήματος.

Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος γίνεται με κατάλληλη μετατροπή του σε άλλο ισοδύναμο σύστημα, το οποίο έχει ακριβώς τις ίδιες λύσεις με το αρχικό.

Η μετατροπή ενός συστήματος σε ισοδύναμό του γίνεται συνήθως με έναν από τους εξής δύο τρόπους:

Μέθοδος της αντικατάστασης: Λύνουμε τη μια εξίσωση του συστήματος ως προς έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση.
Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών: Αντικαθιστούμε μια από τις εξισώσεις (ε) ή (ε') του συστήματος, π.χ. την (ε), με την εξίσωση « $λ \cdot (ε) + λ' \cdot (ε')$ » που προκύπτει, αν στα μέλη της (ε) πολλαπλασιασμένα με $λ ≠ 0$ , προσθέσουμε τα μέλη της (ε') πολλαπλασιασμένα με $λ'$ . Η εξίσωση $λ \cdot (ε) + λ' \cdot (ε')$ λέγεται γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων (ε) και (ε').

Βασική Ιδιότητα

Αν $α = β$ και $γ = δ$ , τότε $α + γ = β + δ$ .

Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος 2 x 2 📉📈

Κάθε εξίσωση του γραμμικού συστήματος

\begin{cases} αx + βy = γ \\ α'x + β'y = γ' \end{cases}

παριστάνει μια ευθεία γραμμή. Το σημείο τομής των ευθειών αυτών προσδιορίζει τη λύση του συστήματος, αφού οι συντεταγμένες του επαληθεύουν συγχρόνως τις δύο εξισώσεις του συστήματος.

Γενικά, μπορούμε να επιλύσουμε γραφικά ένα γραμμικό σύστημα σχεδιάζοντας τις δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του και βρίσκοντας, εφόσον υπάρχει, το σημείο τομής τους.

Οι Τρεις Περιπτώσεις Σχετικής Θέσης 🔍

Οι δύο εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 παριστάνουν δύο ευθείες οι οποίες μπορεί:

Να τέμνονται: Οι ευθείες έχουν διαφορετικούς συντελεστές διεύθυνσης. Το σύστημα έχει μοναδική λύση, τις συντεταγμένες του σημείου τομής.
- Παράδειγμα: Το σύστημα
  
  $\begin{cases} 2x + 3y = 3 \\ 4x - 9y = 1 \end{cases}$
  
  γράφεται
  
  $\begin{cases} y = -\frac{2}{3}x + 1 \\ y = \frac{4}{9}x - \frac{1}{9} \end{cases}$
  
  Οι ευθείες τέμνονται (διαφορετικοί συντελεστές διεύθυνσης). Η αλγεβρική λύση δίνει το ζεύγος $(1, \frac{1}{3})$ .
Να είναι παράλληλες: Οι ευθείες έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης αλλά τέμνουν τον άξονα $y'y$ σε διαφορετικά σημεία. Το σύστημα δεν έχει λύση (είναι αδύνατο).
- Παράδειγμα: Το σύστημα
  
  $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = -5 \end{cases}$
  
  γράφεται
  
  $\begin{cases} y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \\ y = -\frac{2}{4}x - \frac{5}{4} \end{cases}$
  
  ή
  
  $\begin{cases} y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \\ y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{4} \end{cases}$
  
  Οι ευθείες είναι παράλληλες. Το σύστημα είναι αδύνατο.
Να συμπίπτουν: Οι ευθείες έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης και τέμνουν τον άξονα $y'y$ στο ίδιο σημείο. Το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων (είναι αόριστο). Οι λύσεις είναι οι συντεταγμένες των σημείων της κοινής ευθείας.
- Παράδειγμα: Το σύστημα
  
  $\begin{cases} y + 1 = 2x \\ 4x - 2y = 2 \end{cases}$
  
  γράφεται
  
  $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = 2x - 1 \end{cases}$
  
  Οι ευθείες συμπίπτουν. Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής $(k, 2k - 1)$ , $k \in \mathbb{R}$ .

Προσοχή!

Η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 δίνει λύσεις που μπορεί να είναι προσεγγιστικές. Παρά την αδυναμία αυτή, η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 διευκολύνει πάρα πολύ σε περιπτώσεις, όπου μας ενδιαφέρουν μόνο προσεγγιστικές λύσεις του συστήματος ή, ακόμη, όταν η αλγεβρική του επίλυση είναι δυσχερής. 🤔