Βιβλίο και Λύσεις

## Δυνάμεις του 10 🔢 Κάθε **δύναμη του 10** είναι ίση με έναν αριθμό που ξεκινάει με το ψηφίο **1** και έχει τόσα μηδενικά όσος είναι ο εκθέτης. ### Πώς να γράφουμε αριθμούς με βάση το 10 ✍️ Μπορούμε να γράψουμε αριθμούς όπως **10, 100, 1000, 10.000, ...** ως **δυνάμεις του 10** βάζοντας ως εκθέτη τον αριθμό που δείχνει πόσα μηδενικά έχουν. - **10² = 100** - **10⁴ = 10.000** - **1.000 = 10³** - **1.000.000 = 10⁶** ### Πώς γράφουμε μεγάλους αριθμούς με δυνάμεις του 10? 🚀 Για να γράψουμε έναν πολυψήφιο αριθμό με τη βοήθεια των δυνάμεων του 10, ακολουθούμε τα εξής βήματα: 1. **Μετατρέπουμε** το γινόμενο σε 10, 100, 1000, ... ανάλογα με τον αριθμό των μηδενικών που υπάρχουν. 2. **Μετατρέπουμε** τον αριθμό σε δύναμη του 10. 3. Ο πολυψήφιος αριθμός τώρα έχει τη μορφή γινομένου, όπου ο δεύτερος παράγοντας είναι δύναμη του 10. ### Παράδειγμα 🌟 Οι αστροφυσικοί έχουν ανακαλύψει περίπου **500.000.000** γαλαξίες στο διάστημα. - Αυτό μπορεί να γραφτεί ως: **5 × 100.000.000** - **100.000.000** είναι **10⁸** - Άρα, **500.000.000** γράφεται ως **5 × 10⁸** --- ## Δραστηριότητα 1η 📝 - **Ερώτηση 1:** **Να εκφράσεις το γινόμενο 10 × 10 με δύναμη και να το υπολογίσεις:** \[ 10^2 = 100 \] - **Ερώτηση 2:** **Έχοντας εκφράσει την εκατοντάδα με δύναμη, πώς μπορούμε να εκφράσουμε γρήγορα τις 2, 3, 4,... εκατοντάδες;** \[ 2 \times 10^2,\ 3 \times 10^2,\ 4 \times 10^2,\ ... \] - **Ερώτηση 3:** **Να εκφράσεις το 1000 με δύναμη του 10:** \[ 10 \times 10 \times 10 = 10^3 \] - **Ερώτηση 4:** **Πώς μπορούμε τώρα να εκφράσουμε τις 2, 3, 4,... χιλιάδες με δύναμη;** \[ 2 \times 10^3,\ 3 \times 10^3,\ 4 \times 10^3,\ ... \] - **Ερώτηση 5:** **Συμπλήρωσε τον πίνακα με τις δυνάμεις του 10:** | 10² | 10³ | 10⁴ | 10⁵ | |-----|-----|-----|-----| | 100 | 1.000 | 10.000 | 100.000 | - **Ερώτηση 6:** **Βρες τον κανόνα για να υπολογίζεις από τη δύναμη το γινόμενο, χωρίς να κάνεις πολλαπλασιασμούς:** *Για να υπολογίσουμε τις δυνάμεις του 10, αρκεί να γράψουμε το 1 και δεξιά του τόσα μηδενικά όσα δείχνει ο εκθέτης.* --- ## Δραστηριότητα 2η 🌌 - **Περιγραφή:** Ο Άρης είναι περίπου 1.000.000.000.000 μέτρα μακριά από τη Γη. Το μήκος του γαλαξία μας είναι 1.000.000.000.000.000.000.000 μέτρα. - Το μήκος του γαλαξία μας είναι: \[ 10^{21} \text{ μέτρα} \] - Η απόσταση από τη Γη ως τον Άρη είναι: \[ 10^{12} \text{ μέτρα} \] - **Σύγκριση με δυνάμεις του 10:** \[ \text{Το μήκος του γαλαξία μας είναι } 10^9 \text{ φορές μεγαλύτερο!} \] --- ## Εφαρμογή 1η 🦠 - **Περιγραφή:** Οι επιστήμονες υπολογίζουν ότι, όταν το βακτήριο της φυματίωσης προσβάλλει έναν άνθρωπο, μέσα σε 12 ώρες δημιουργείται αποικία 1.500.000.000 από αυτά στον οργανισμό. Μετά από 2 μέρες, αφού πολλαπλασιαστεί 4 φορές, θα υπάρχουν: \[ 1.500.000.000 \times 4 = 6.000.000.000 \text{ μονάδες} \] - Μετατρέπουμε το γινόμενο σε δύναμη του 10: \[ 6.000.000.000 = 6 \times 10^9 \] - **Απάντηση:** Σε 2 μέρες θα υπάρχουν περίπου **6 × 10⁹** μονάδες του ιού. --- ## Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση 🤔 - **Ερώτηση 1:** *Σε μια δύναμη του 10 ο εκθέτης είναι πάντα το 10;* **Λάθος**, η βάση είναι πάντα το 10 και όχι ο εκθέτης. - **Ερώτηση 2:** *Οι αριθμοί εκφράζονται με δύναμη του 10 μόνο για μεγάλες αποστάσεις;* **Λάθος**, όλοι οι αριθμοί μπορούν να εκφραστούν με δύναμη του 10 ανεξάρτητα από το τι εκφράζουν. - **Ερώτηση 3:** *Η ισότητα 10¹ = 10 είναι σωστή;* **Σωστό**. 10¹ σημαίνει 1 φορά το 10.