Βιβλίο και Λύσεις

# Πρώτοι και Σύνθετοι Αριθμοί 🔢 ## Πρώτοι Αριθμοί 🌟 Ένας αριθμός, μεγαλύτερος από το 1, που έχει **μόνο δύο διαιρέτες** (το 1 και τον εαυτό του), λέγεται **πρώτος**. ### Παράδειγμα: Ο αριθμός **2** ✌️ έχει για διαιρέτες μόνο το **1** και το **2**. ## Σύνθετοι Αριθμοί 🧩 Ένας αριθμός που έχει **τουλάχιστον τρεις διαιρέτες** λέγεται **σύνθετος**. ### Παράδειγμα: Ο αριθμός **4** ✋ έχει για διαιρέτες το **1**, το **2** και το **4**. **Συνοψίζοντας**: - **Πρώτος αριθμός** ➡️ Έχει **μόνο δύο διαιρέτες**. - **Σύνθετος αριθμός** ➡️ Έχει **τουλάχιστον τρεις διαιρέτες**. 💡 *Οι πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί είναι πολύ σημαντικοί στα μαθηματικά και μας βοηθούν να κατανοήσουμε καλύτερα την αριθμητική!* --- ## Δραστηριότητα 1η 🎯 Στο Δημοτικό Σχολείο Σύμης, τα παιδιά της ΣΤ' τάξης, μετά το μάθημα για τους διαιρέτες των αριθμών και τα κριτήρια διαιρετότητας, αποφάσισαν να παίξουν ένα παιχνίδι. Το ονόμασαν «δεν μπαίνουν σε σειρές» και αναρωτήθηκαν: *«Πόσα παιδιά πρέπει να έχει μια τάξη ώστε να μην μπορούν να παραταχθούν σε σειρές χωρίς να περισσέψει έστω και ένα παιδί;»* Ποιο κριτήριο δεν πρέπει να ικανοποιεί ο αριθμός που ψάχνουν για να μην μπορούν να παραταχθούν σε: - **Δυάδες**: ................................................... - **Τριάδες**: ................................................... - **Τετράδες**: ................................................... - **Πεντάδες**: ................................................... **Μπορείς τώρα να βρεις τους πιθανούς αριθμούς μαθητών που φαντάστηκαν τα παιδιά;** (Μια τάξη έχει μέχρι 30 μαθητές.) **❓ Τι παρατηρείς για τους διαιρέτες αυτών των αριθμών;** ### Λύση ✨ - **Δυάδες**: _Δεν πρέπει να τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, 8._ - **Τριάδες**: _Δεν πρέπει το άθροισμα των ψηφίων του να διαιρείται με το 3._ - **Τετράδες**: _Δεν πρέπει τα 2 τελευταία ψηφία να σχηματίζουν αριθμό που να διαιρείται με το 4._ - **Πεντάδες**: _Δεν πρέπει να τελειώνει σε 0 ή 5._ Πιθανοί αριθμοί μαθητών: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. **Οι διαιρέτες αυτών των αριθμών είναι μόνο το 1 και ο εαυτός τους.** --- ## Δραστηριότητα 2η «Το κόσκινο του Ερατοσθένη» 🕸️ Ο **Ερατοσθένης** ήταν ένας σπουδαίος Έλληνας μαθηματικός και φιλόσοφος, που γεννήθηκε περίπου το 275 π.Χ. Έγινε γνωστός για πολλές ανακαλύψεις του, όπως ο ακριβής υπολογισμός της διαμέτρου της Γης. Ένας από τους πιο διάσημους τρόπους που επινόησε για να βρει τους πρώτους αριθμούς είναι το **κόσκινο του Ερατοσθένη**. ### Τι είναι το κόσκινο του Ερατοσθένη; 🧮 Το κόσκινο του Ερατοσθένη είναι ένας έξυπνος τρόπος για να βρίσκουμε τους **πρώτους αριθμούς**. Θυμήσου, πρώτοι αριθμοί είναι αυτοί που έχουν μόνο δύο διαιρέτες: το 1 και τον εαυτό τους. Η διαδικασία αυτή γίνεται με την εξής μέθοδο: ### Βήματα για να βρεις τους πρώτους αριθμούς: 1. **Ξεκίνα με όλους τους αριθμούς από το 1 έως το 100** (όπως στον πίνακα). 2. **Διαγράφεις τον αριθμό 1**, γιατί δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος. 3. **Κύκλωσε τον αριθμό 2** (τον πρώτο πρώτο αριθμό) και διέγραψε όλα τα πολλαπλάσιά του (4, 6, 8, κλπ.), εκτός από το ίδιο το 2. 4. **Κύκλωσε τον αριθμό 3** και διέγραψε όλα τα πολλαπλάσιά του (6, 9, 12, κλπ.), εκτός από το ίδιο το 3. 5. **Κύκλωσε τον αριθμό 5** και διέγραψε όλα τα πολλαπλάσιά του (10, 15, 20, κλπ.), εκτός από το ίδιο το 5. 6. **Κύκλωσε τον αριθμό 7** και διέγραψε όλα τα πολλαπλάσιά του (14, 21, 28, κλπ.), εκτός από το ίδιο το 7. **Όσοι αριθμοί έχουν απομείνει και δεν έχουν διαγραφεί είναι οι πρώτοι αριθμοί**! ### Παράδειγμα με τους αριθμούς από το 1 έως το 100: Ας δούμε πώς γίνεται αυτό στον πίνακα που σου δίνεται: 1. **Ξεκινάς με τον αριθμό 1**. Το διαγράφεις, γιατί δεν είναι πρώτος αριθμός. 2. **Προχωράς στον αριθμό 2**. Τον κυκλώνεις γιατί είναι ο πρώτος πρώτος αριθμός και μετά διαγράφεις όλα τα πολλαπλάσιά του (4, 6, 8, 10, κλπ.). 3. **Στη συνέχεια πας στον αριθμό 3**. Τον κυκλώνεις και διαγράφεις όλα τα πολλαπλάσιά του (6, 9, 12, 15, κλπ.). 4. **Μετά, κάνεις το ίδιο με το 5**: κυκλώνεις το 5 και διαγράφεις τα πολλαπλάσιά του (10, 15, 20, κλπ.). 5. **Το ίδιο κάνεις και με το 7**: κυκλώνεις το 7 και διαγράφεις τα πολλαπλάσιά του (14, 21, 28, κλπ.). ### Τι μένει στο τέλος; 🧐 Μετά από αυτά τα βήματα, όλοι οι αριθμοί που δεν έχουν διαγραφεί είναι οι πρώτοι αριθμοί. Σύμφωνα με το κόσκινο του Ερατοσθένη, από το 1 έως το 100, θα πρέπει να έχουν απομείνει **25 πρώτοι αριθμοί**. ### Αυτοί οι αριθμοί είναι: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. **Αυτή η μέθοδος** είναι πολύ χρήσιμη και απλή για να βρίσκεις τους πρώτους αριθμούς σε μεγαλύτερα σύνολα αριθμών. Ελπίζω να σε βοήθησε να καταλάβεις πώς λειτουργεί το κόσκινο του Ερατοσθένη και πώς βρίσκουμε τους πρώτους αριθμούς! --- ## Εφαρμογή 2η 💡 Το Στ'1 έχει 23 μαθητές και το Στ'2 έχει 24. Ο γυμναστής θέλει να χωρίσει κάθε τμήμα σε ίσες ομάδες. Σε ποιο τμήμα θα δυσκολευτεί και γιατί; Στο άλλο τμήμα πόσοι είναι οι πιθανοί συνδυασμοί που μπορεί να κάνει; ### Λύση-Απάντηση ✨ - Το **Στ'1** δεν μπορεί να χωριστεί σε ομάδες χωρίς να περισσεύει κανένα παιδί, γιατί το 23 δεν έχει άλλους διαιρέτες εκτός από το 1 και το 23 (είναι πρώτος αριθμός). Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορούμε να το «σπάσουμε» παρά μόνο με τον πολλαπλασιασμό 1x23. - Το **Στ'2** μπορεί να χωριστεί σε πολλούς τρόπους, γιατί το 24 έχει πολλούς διαιρέτες (είναι σύνθετος αριθμός). Πιθανοί συνδυασμοί είναι: - **2 ομάδες από 12 παιδιά** - **3 ομάδες από 8 παιδιά** - **4 ομάδες από 6 παιδιά** - **6 ομάδες από 4 παιδιά** - **8 ομάδες από 3 παιδιά** - **12 ομάδες από 2 παιδιά** - **24 ομάδες από 1 παιδί** --- ## Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση 💭 **Σωστό ή Λάθος**: 1. Ο αριθμός 2 είναι ο μοναδικός ζυγός αριθμός που είναι πρώτος. 2. Με το «κόσκινο του Ερατοσθένη» βρίσκουμε όλους τους πρώτους αριθμούς. ### Λύση ✨ **α)** _Σωστό_, αφού όλοι οι υπόλοιποι εκτός από το 1 και τον εαυτό τους θα διαιρούνται και με το 2. **β)** _Λάθος_, γιατί ναι μεν βρίσκουμε τους πρώτους αριθμούς αλλά είναι μέχρι το 100.