Τετράδιο Εργασιών

<AccordionRoot> <AccordionItem value='Άσκηση 1η'> <AccordionTrigger> ## Άσκηση 1η </AccordionTrigger> <AccordionContent> ## Τοποθέτηση Κλασμάτων σε Αύξουσα Σειρά 🎯 ### Ερώτηση: Να τοποθετήσεις κατά αύξουσα σειρά τα κλάσματα \(\frac{3}{2}\), \(\frac{3}{25}\), \(\frac{3}{10}\), \(\frac{3}{7}\), \(\frac{3}{5}\), \(\frac{3}{16}\), \(\frac{3}{4}\) και \(\frac{3}{30}\). ### Λύση: Αφού όλα τα κλάσματα έχουν **τον ίδιο αριθμητή** (το 3), αυτό που πρέπει να κοιτάξουμε είναι οι **παρονομαστές**. Μεταξύ των κλασμάτων με τον ίδιο αριθμητή, **μεγαλύτερο** είναι εκείνο που έχει τον **μικρότερο παρονομαστή**. ### Τοποθέτηση σε Αύξουσα Σειρά: \[ \frac{3}{30}, \frac{3}{25}, \frac{3}{16}, \frac{3}{10}, \frac{3}{7}, \frac{3}{5}, \frac{3}{4}, \frac{3}{2} \] ### Συμπέρασμα: 📏 **Ανάμεσα σε κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή**, **μεγαλύτερο** είναι αυτό που έχει τον **μικρότερο παρονομαστή**! 🎉 </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='Άσκηση 2η'> <AccordionTrigger> ## Άσκηση 2η </AccordionTrigger> <AccordionContent> ## Σύγκριση Κλασμάτων 🧮 ### Ερώτηση: Συμπλήρωσε το σύμβολο της ισότητας ή της ανισότητας ανάμεσα στα παρακάτω ζευγάρια κλασμάτων, υπολογίζοντας με το νου. ### Λύση: 1. **\(\frac{3}{100}\) και \(\frac{3}{50}\):** - Τα δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή, άρα κοιτάμε τον παρονομαστή. - \(\frac{3}{50}\) είναι μεγαλύτερο, γιατί ο παρονομαστής είναι μικρότερος από τον 100. - **Σύμβολο:** \(\frac{3}{100} < \frac{3}{50}\) 2. **\(\frac{14}{36}\) και \(\frac{30}{36}\):** - Τα δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή, άρα κοιτάμε τον αριθμητή. - \(\frac{30}{36}\) είναι μεγαλύτερο, γιατί ο αριθμητής του είναι μεγαλύτερος. - **Σύμβολο:** \(\frac{14}{36} < \frac{30}{36}\) 3. **\(\frac{3}{7}\) και \(\frac{24}{56}\):** - Για να τα συγκρίνουμε, μετατρέπουμε το \(\frac{3}{7}\) ώστε να έχει τον ίδιο παρονομαστή με το \(\frac{24}{56}\). - \(\frac{3}{7} = \frac{24}{56}\), άρα τα δύο κλάσματα είναι ίσα. - **Σύμβολο:** \(\frac{3}{7} = \frac{24}{56}\) 4. **\(\frac{2}{50}\) και \(\frac{26}{27}\):** - Το \(\frac{2}{50}\) είναι πολύ μικρότερο γιατί είναι κοντά στο 0, ενώ το \(\frac{26}{27}\) είναι κοντά στο 1. - **Σύμβολο:** \(\frac{2}{50} < \frac{26}{27}\) 5. **\(\frac{1}{2}\) και \(\frac{48}{50}\):** - Μετατρέπουμε το \(\frac{1}{2}\) σε \(\frac{25}{50}\) για να συγκρίνουμε. - \(\frac{48}{50}\) είναι μεγαλύτερο, γιατί έχει μεγαλύτερο αριθμητή. - **Σύμβολο:** \(\frac{1}{2} < \frac{48}{50}\) --- ### Συμπεράσματα 📊: - Στο 1ο ζευγάρι, το \(\frac{3}{50}\) είναι μεγαλύτερο, γιατί έχει **μικρότερο παρονομαστή**. - Στο 2ο ζευγάρι, το \(\frac{30}{36}\) είναι μεγαλύτερο, γιατί έχει **μεγαλύτερο αριθμητή**. - Στο 3ο ζευγάρι, τα δύο κλάσματα είναι **ίσα**. - Στο 4ο ζευγάρι, το \(\frac{26}{27}\) είναι μεγαλύτερο γιατί είναι **πιο κοντά στο 1**. - Στο 5ο ζευγάρι, το \(\frac{48}{50}\) είναι μεγαλύτερο, γιατί έχει **μεγαλύτερο αριθμητή**. 🎉 Με αυτά τα απλά βήματα, μπορείς να συγκρίνεις εύκολα τα κλάσματα! </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='Άσκηση 3η'> <AccordionTrigger> ## Άσκηση 3η </AccordionTrigger> <AccordionContent> ## Τοποθέτηση Κλασμάτων σε Κατηγορίες 🎯 ### Ερώτηση: Υπολογίζοντας κατά προσέγγιση με τον νου, τοποθέτησε κάθε κλάσμα σε μία από τις τρεις κατηγορίες: 1. **Κοντά στο 0** 🟢 2. **Κοντά στο \(\frac{1}{2}\)** 🟡 3. **Κοντά στο 1** 🔴 ### Λύση: - **Κοντά στο 0** 🟢: - Κλάσματα με πολύ μικρό αριθμητή σε σχέση με τον παρονομαστή. - Παραδείγματα: - \(\frac{2}{47}\) - \(\frac{1}{19}\) - \(\frac{3}{250}\) - **Κοντά στο \(\frac{1}{2}\)** 🟡: - Κλάσματα όπου ο αριθμητής είναι περίπου το μισό του παρονομαστή. - Παραδείγματα: - \(\frac{14}{30}\) - \(\frac{12}{25}\) - \(\frac{4}{9}\) - **Κοντά στο 1** 🔴: - Κλάσματα με αριθμητή κοντά ή ίσο με τον παρονομαστή. - Παραδείγματα: - \(\frac{49}{50}\) - \(\frac{89}{100}\) - \(\frac{13}{15}\) ### Τελική Κατηγοριοποίηση: 1. **Κοντά στο 0** 🟢: - \(\frac{2}{47}\), \(\frac{1}{19}\), \(\frac{3}{250}\) 2. **Κοντά στο \(\frac{1}{2}\)** 🟡: - \(\frac{14}{30}\), \(\frac{12}{25}\), \(\frac{4}{9}\) 3. **Κοντά στο 1** 🔴: - \(\frac{49}{50}\), \(\frac{13}{15}\), \(\frac{89}{100}\) --- 🎉 Έτσι, τα κλάσματα ταξινομούνται ανάλογα με το πόσο κοντά βρίσκονται στο 0, στο \(\frac{1}{2}\), ή στο 1! </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='Άσκηση 4η'> <AccordionTrigger> ## Άσκηση 4η </AccordionTrigger> <AccordionContent> ## Ταξινόμηση Κλασμάτων σε Φθίνουσα Σειρά 📉 ### Ερώτηση: Να διατάξεις κατά φθίνουσα σειρά τα κλάσματα: \[ \text{α) } \frac{3}{12}, \, \frac{6}{15}, \, \frac{1}{10} \quad \text{β) } \frac{9}{20}, \, \frac{5}{12}, \, \frac{4}{15} \quad \text{γ) } \frac{1}{8}, \, \frac{20}{56}, \, \frac{7}{28} \] ### Λύση: ### Α) Πρώτη Ομάδα Κλασμάτων 1. **Μετατροπή σε ομώνυμα κλάσματα:** - Βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των παρονομαστών 12, 15, και 10. - ΕΚΠ(12, 15, 10) = 60 2. **Υπολογίζουμε τα νέα κλάσματα:** - \(\frac{3}{12} = \frac{3 \times 5}{12 \times 5} = \frac{15}{60}\) - \(\frac{6}{15} = \frac{6 \times 4}{15 \times 4} = \frac{24}{60}\) - \(\frac{1}{10} = \frac{1 \times 6}{10 \times 6} = \frac{6}{60}\) 3. **Σύγκριση και Ταξινόμηση:** - Τα κλάσματα ταξινομούνται από το μεγαλύτερο στο μικρότερο: - \(\frac{24}{60} > \frac{15}{60} > \frac{6}{60}\) - Άρα: **\(\frac{6}{15} > \frac{3}{12} > \frac{1}{10}\)** --- ### Συμπέρασμα: 🎉 Το κλάσμα \(\frac{6}{15}\) είναι το μεγαλύτερο, ακολουθούμενο από το \(\frac{3}{12}\), και τέλος το \(\frac{1}{10}\) είναι το μικρότερο. Αυτή είναι η σωστή φθίνουσα σειρά! </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='Πρόβλημα 1ο'> <AccordionTrigger> ## Πρόβλημα 1ο </AccordionTrigger> <AccordionContent> ## Επιλογή Μεγαλύτερου Κομματιού Σοκολάτας 🍫 ### Ερώτηση: Θα προτιμούσες τα \(\frac{4}{8}\) ή τα \(\frac{4}{10}\) μιας σοκολάτας; Γιατί; Μπορείς να το εξηγήσεις με κάποιο σχέδιο; ### Λύση: Φυσικά, θα προτιμούσα να φάω το **μεγαλύτερο κομμάτι** σοκολάτας! 🍫 - **Σύγκριση Κλασμάτων:** - Στα δύο κλάσματα \(\frac{4}{8}\) και \(\frac{4}{10}\), ο αριθμητής (το 4) είναι ο ίδιος και στα δύο. - Κοιτάμε λοιπόν τον **παρονομαστή**: Το \(\frac{4}{8}\) έχει μικρότερο παρονομαστή (το 8) σε σχέση με το \(\frac{4}{10}\) που έχει τον 10. - **Άρα, το \(\frac{4}{8}\) είναι μεγαλύτερο** γιατί μοιράζει τη σοκολάτα σε λιγότερα κομμάτια. - **Σκέψου το με Σχέδιο:** - Αν χωρίσουμε μια σοκολάτα σε 8 κομμάτια και πάρουμε τα 4, έχουμε το **μισό** της σοκολάτας. - Αν τη χωρίσουμε σε 10 κομμάτια και πάρουμε τα 4, παίρνουμε λιγότερο από το μισό. ### Απάντηση: Θα προτιμούσα τα \(\frac{4}{8}\) της σοκολάτας, γιατί είναι **μεγαλύτερο κομμάτι** από τα \(\frac{4}{10}\)! 🎉 </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='Πρόβλημα 2ο'> <AccordionTrigger> ## Πρόβλημα 2ο </AccordionTrigger> <AccordionContent> ## Ποιο Παιδί Ξόδεψε Περισσότερα Χρήματα? 💰 ### Ερώτηση: Η Όλγα έδωσε στα δύο παιδιά της το ίδιο ποσό για την εκδρομή του σχολείου. Το ένα παιδί ξόδεψε τα \(\frac{2}{5}\) των χρημάτων του και το άλλο τα \(\frac{3}{5}\). Ποιο παιδί ξόδεψε περισσότερα χρήματα; ### Λύση: Τα κλάσματα \(\frac{2}{5}\) και \(\frac{3}{5}\) είναι **ομώνυμα**. Αυτό σημαίνει ότι έχουν τον ίδιο παρονομαστή (το 5). Όταν συγκρίνουμε ομώνυμα κλάσματα, το μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει τον **μεγαλύτερο αριθμητή**. - Συγκρίνουμε λοιπόν τους αριθμητές: - \(2 < 3\) - Άρα, **μεγαλύτερο** είναι το κλάσμα \(\frac{3}{5}\). ### Απάντηση: Το παιδί που ξόδεψε τα **περισσότερα** χρήματα είναι αυτό που ξόδεψε τα \(\frac{3}{5}\) των χρημάτων του. 🎉 </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='Πρόβλημα 3ο'> <AccordionTrigger> ## Πρόβλημα 3ο </AccordionTrigger> <AccordionContent> ## Σύγκριση Επιτυχίας Σχολείων 🏫 ### Ερώτηση: Το σχολείο Α ανακοίνωσε ότι τα \(\frac{10}{12}\) των μαθητών του είχαν επιτυχία στην απόκτηση του πτυχίου των αγγλικών, το σχολείο Β ότι τα \(\frac{14}{18}\) των μαθητών του είχαν επιτυχία, ενώ το σχολείο Γ ανακοίνωσε ότι τα \(\frac{19}{24}\) των μαθητών του είχαν επιτυχία. Ποιο από τα τρία σχολεία είχε τη μεγαλύτερη επιτυχία στις εξετάσεις; ### Λύση: Για να συγκρίνουμε τα κλάσματα, πρέπει να τα κάνουμε **ομώνυμα**. 1. **Βρίσκουμε το ΕΚΠ (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο)** των παρονομαστών 12, 18, και 24: - ΕΚΠ(12, 18, 24) = 72 2. **Μετατροπή των κλασμάτων σε ομώνυμα:** - \(\frac{10}{12} = \frac{10 \times 6}{12 \times 6} = \frac{60}{72}\) - \(\frac{14}{18} = \frac{14 \times 4}{18 \times 4} = \frac{56}{72}\) - \(\frac{19}{24} = \frac{19 \times 3}{24 \times 3} = \frac{57}{72}\) 3. **Σύγκριση των κλασμάτων:** - \(\frac{60}{72} > \frac{57}{72} > \frac{56}{72}\) ### Απάντηση: Το σχολείο Α είχε τη **μεγαλύτερη επιτυχία** με \(\frac{10}{12}\) των μαθητών του να επιτυγχάνουν στις εξετάσεις! 🎉 </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='Πρόβλημα 4ο'> <AccordionTrigger> ## Πρόβλημα 4ο </AccordionTrigger> <AccordionContent> ## Οικιακή Κατανάλωση Ρεύματος 🏠💡 ### Ερώτηση: Σε μια έρευνα για την οικιακή κατανάλωση ρεύματος στην Ελλάδα, διαβάζουμε τα εξής: το \(\frac{1}{5}\) της ηλεκτρικής ενέργειας καταναλώνεται για φωτισμό, το \(\frac{1}{10}\) για ζεστό νερό, τα \(\frac{2}{5}\) για μαγείρεμα, τα \(\frac{6}{30}\) για κλιματισμό και θέρμανση και τα \(\frac{2}{20}\) καταναλώνονται από όλες τις άλλες συσκευές. Να μετατρέψετε τα κλάσματα σε ισοδύναμα, ισοδύναμά τους και να τα παρουσιάσετε στον κυκλικό δίσκο, που παρουσιάζεται το σύνολο της κατανάλωσης, κάθε κατηγορία με άλλο χρώμα. ### Λύση: Για να συγκρίνουμε και να σχεδιάσουμε σωστά τον κυκλικό δίσκο, πρέπει να μετατρέψουμε όλα τα κλάσματα έτσι ώστε να έχουν **κοινό παρονομαστή**. 1. **Μετατροπή σε ισοδύναμα κλάσματα με κοινό παρονομαστή το 10:** - \(\frac{1}{5} = \frac{2}{10}\) - \(\frac{1}{10} = \frac{1}{10}\) - \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10}\) - \(\frac{6}{30} = \frac{2}{10}\) - \(\frac{2}{20} = \frac{1}{10}\) 2. **Αναπαράσταση στον κυκλικό δίσκο:** - **Φωτισμός:** \(\frac{2}{10}\) - **Ζεστό νερό:** \(\frac{1}{10}\) - **Μαγείρεμα:** \(\frac{4}{10}\) - **Κλιματισμός και θέρμανση:** \(\frac{2}{10}\) - **Άλλες συσκευές:** \(\frac{1}{10}\) ### Απάντηση: Στον κυκλικό δίσκο κάθε τμήμα έχει χρωματιστεί ανάλογα με την κατανάλωση σε κάθε κατηγορία! 🎨 </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='Δραστηριότητα με προεκτάσεις'> <AccordionTrigger> ## Δραστηριότητα με προεκτάσεις </AccordionTrigger> <AccordionContent> ## Λέων Τολστόι και Κλάσματα 📖 Ο Τολστόι έκανε μια παρομοίωση χρησιμοποιώντας τα **κλάσματα** για να εξηγήσει πώς βλέπει την **αξία** και την **αυτοεκτίμηση** ενός ανθρώπου. ### Λύση: 👉 **Τι εννοεί ο Τολστόι:** - **Άνθρωπος με μικρή αξία και μεγάλη ιδέα για τον εαυτό του:** Είναι σαν ένα κλάσμα με **μικρό αριθμητή** (μικρή αξία) και **μεγάλο παρονομαστή** (μεγάλη ιδέα για τον εαυτό του). Τέτοιο κλάσμα έχει **μικρή συνολική αξία**. - **Άνθρωπος με μεγάλη αξία και μικρή ιδέα για τον εαυτό του:** Είναι σαν ένα κλάσμα με **μεγάλο αριθμητή** (μεγάλη αξία) και **μικρό παρονομαστή** (μικρή ιδέα για τον εαυτό του). Τέτοιο κλάσμα έχει **μεγάλη συνολική αξία**. 🔍 **Συμπέρασμα:** Όσο μεγαλύτερος είναι ο παρονομαστής (δηλαδή, όσο μεγαλύτερη είναι η ιδέα για τον εαυτό σου), τόσο μικρότερο γίνεται το κλάσμα, και άρα η πραγματική σου αξία φαίνεται μικρότερη. Αντίθετα, αν ο παρονομαστής είναι μικρός (δηλαδή, έχεις μικρή ιδέα για τον εαυτό σου), τότε η αξία σου φαίνεται μεγαλύτερη. **Με λίγα λόγια:** Είναι καλύτερα να έχεις **μεγάλη αξία** και **ταπεινή** αυτοεκτίμηση, παρά το αντίθετο! </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='Θέματα για διερεύνηση και συζήτηση'> <AccordionTrigger> ## Θέματα για διερεύνηση και συζήτηση </AccordionTrigger> <AccordionContent> ## Η Αντίληψη του Τολστόι και η Εκπαίδευση 🎓 ### Λύση: 🔸 **Αποδέκτες του μηνύματος του Τολστόι:** - Το μήνυμα του Τολστόι απευθύνεται κυρίως στους **μορφωμένους ανθρώπους** της εποχής του. Αυτοί οι άνθρωποι μπορεί να είχαν **μικρή αξία** αλλά είχαν **μεγάλη ιδέα για τον εαυτό τους**. Πιθανότατα, το μήνυμα αυτό δεν θα μπορούσαν να το καταλάβουν όλοι οι άνθρωποι, ειδικά τα παιδιά. 🔸 **Πεποίθηση για τη μόρφωση και την καλλιέργεια:** - Ο Τολστόι πίστευε ότι οι άνθρωποι πρέπει να έχουν **μόρφωση** και **καλλιέργεια**, αλλά ταυτόχρονα να είναι **σεμνοί** και να γνωρίζουν **Μαθηματικά**. 🔸 **Αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος με παρόμοια άποψη:** - Ο **Πλάτωνας** πίστευε ότι η γνώση των **Μαθηματικών** και ειδικά της **Γεωμετρίας** είναι απαραίτητη για κάθε άνθρωπο. Αυτή η άποψη συνδέεται με τη σημασία που δίνει ο Τολστόι στη **σεμνότητα** και την **καλλιέργεια**. Το μήνυμα του Τολστόι μας θυμίζει τη σημασία της **ταπεινότητας** και της **αληθινής αξίας**, πέρα από το τι πιστεύουμε για τον εαυτό μας! 😊 </AccordionContent> </AccordionItem> </AccordionRoot>