Βιβλίο και Λύσεις

## Σύγκριση Κλασμάτων 🎲 ### Πώς Συγκρίνουμε Ομώνυμα Κλάσματα? 🔢 Όταν συγκρίνουμε δύο **ομώνυμα κλάσματα** (κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή), **μεγαλύτερο** είναι το κλάσμα που έχει τον **μεγαλύτερο αριθμητή**. ### Παράδειγμα: Ας συγκρίνουμε τα κλάσματα \(\frac{9}{24}\) και \(\frac{6}{24}\): \[ \frac{9}{24} > \frac{6}{24} \] 👉 Επειδή τα δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή (24), κοιτάμε μόνο τους αριθμητές. Εδώ, το 9 είναι μεγαλύτερο από το 6, άρα \(\frac{9}{24}\) είναι μεγαλύτερο! --- ### Πώς Συγκρίνουμε Ετερώνυμα Κλάσματα? 🔄 Όταν συγκρίνουμε **ετερώνυμα κλάσματα** (κλάσματα που έχουν διαφορετικό παρονομαστή), πρέπει πρώτα να τα μετατρέψουμε σε **ομώνυμα**. Δηλαδή, να τα κάνουμε να έχουν τον ίδιο παρονομαστή. ### Παράδειγμα: Ας συγκρίνουμε τα κλάσματα \(\frac{2}{15}\) και \(\frac{8}{24}\): 1. Βρίσκουμε έναν κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το 120. \[ \frac{2}{15} = \frac{2 \times 8}{15 \times 8} = \frac{16}{120} \] \[ \frac{8}{24} = \frac{8 \times 5}{24 \times 5} = \frac{40}{120} \] 2. Τώρα που τα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή (120), συγκρίνουμε τους αριθμητές: \[ \frac{16}{120} < \frac{40}{120} \] 👉 Άρα, \(\frac{2}{15}\) είναι μικρότερο από \(\frac{8}{24}\)! 🎉 --- ### Ειδική Περίπτωση: Όταν Έχουν τον Ίδιο Αριθμητή 🎯 Όταν τα ετερώνυμα κλάσματα έχουν **τον ίδιο αριθμητή**, τότε **μεγαλύτερο** είναι το κλάσμα με τον **μικρότερο παρονομαστή**. ### Παράδειγμα: Ας συγκρίνουμε τα κλάσματα \(\frac{3}{4}\) και \(\frac{3}{12}\): - Επειδή οι αριθμητές είναι ίσοι (και οι δύο είναι 3), κοιτάμε τους παρονομαστές. Το κλάσμα με τον μικρότερο παρονομαστή (4) είναι μεγαλύτερο. \[ \frac{3}{4} > \frac{3}{12} \] --- ### Μετατροπή Ετερώνυμων Κλασμάτων σε Ομώνυμα 🔄 Τα **ετερώνυμα κλάσματα** μπορούν να μετατραπούν σε **ομώνυμα** αν πολλαπλασιάσουμε τους όρους τους (δηλαδή τον αριθμητή και τον παρονομαστή) με τον ίδιο αριθμό. ### Παράδειγμα: Ας συγκρίνουμε τα κλάσματα \(\frac{3}{5}\) και \(\frac{2}{2}\): 1. Βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των παρονομαστών 5 και 2. Εδώ, το Ε.Κ.Π. είναι το 10. 2. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων για να έχουν τον ίδιο παρονομαστή: \[ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10} \] \[ \frac{2}{2} = \frac{2 \times 5}{2 \times 5} = \frac{10}{10} \] 3. Τώρα που τα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή (10), συγκρίνουμε τους αριθμητές: \[ \frac{6}{10} < \frac{10}{10} \] 👉 Άρα, \(\frac{3}{5}\) είναι μικρότερο από \(\frac{2}{2}\)! 🎉 ### Συμπέρασμα: - Τα **ομώνυμα κλάσματα** συγκρίνονται εύκολα κοιτάζοντας τους αριθμητές. - Τα **ετερώνυμα κλάσματα** πρέπει να μετατραπούν σε ομώνυμα πριν τα συγκρίνουμε. 🚀 --- ## Δραστηριότητα 1η: Σύγκριση Κλασμάτων 🍕 ### Ερώτηση: Πέντε φίλοι παρήγγειλαν δύο ίδιες πίτες που φαίνονται στο σχήμα. Η μία πίτα (α) ήταν χωρισμένη σε 8 κομμάτια και η άλλη (β) σε 6 κομμάτια. 1. **Από την πρώτη πίτα έφαγαν:** Ο Βασίλης, ο Γιώργος και η Μαργαρίτα τα \(\frac{4}{8}\), \(\frac{3}{8}\) και \(\frac{1}{8}\) αντίστοιχα. Να συγκρίνεις τα μερίδιά τους και να τα γράψεις σε αύξουσα σειρά χρησιμοποιώντας το σύμβολο < (μικρότερο από). 2. **Ο Γιώργος έφαγε τα** \(\frac{3}{8}\) **από την πρώτη πίτα και ο Σωτήρης τα** \(\frac{3}{6}\) **από τη δεύτερη. Ποιος έφαγε περισσότερο;** 3. **Αν συγκρίνουμε τα μερίδια του Γιώργου, που έφαγε τα** \(\frac{3}{8}\) **από την πρώτη πίτα, και του Λευτέρη, που έφαγε τα** \(\frac{2}{6}\) **από τη δεύτερη, μπορούμε εύκολα να βρούμε ποιο είναι το μεγαλύτερο;** ### Λύση: 1. **Σύγκριση μεριδίων από την πρώτη πίτα:** - \(\frac{1}{8} < \frac{3}{8} < \frac{4}{8}\) 👉 Άρα, το μικρότερο μερίδιο έφαγε η Μαργαρίτα, ακολουθεί ο Γιώργος, και ο Βασίλης έφαγε το μεγαλύτερο κομμάτι. 2. **Σύγκριση μεριδίων μεταξύ Γιώργου και Σωτήρη:** - Η 1η πίτα είναι χωρισμένη σε 8 κομμάτια, ενώ η 2η πίτα σε 6 κομμάτια. Κάθε κομμάτι της 1ης πίτας είναι **μικρότερο** από κάθε κομμάτι της 2ης πίτας. - Συγκρίνουμε \(\frac{3}{8}\) με \(\frac{3}{6}\): \[ \frac{3}{8} < \frac{3}{6} \] 👉 Ο Σωτήρης έφαγε περισσότερο από τον Γιώργο. 3. **Σύγκριση μεριδίων μεταξύ Γιώργου και Λευτέρη:** - Για να συγκρίνουμε \(\frac{3}{8}\) με \(\frac{2}{6}\), μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα με κοινό παρονομαστή: \[ \frac{3}{8} = \frac{9}{24}, \quad \frac{2}{6} = \frac{8}{24} \] 👉 Το \(\frac{3}{8}\) είναι μεγαλύτερο από το \(\frac{2}{6}\). --- ## Δραστηριότητα 2η: Τοποθέτηση Κλασμάτων σε Αριθμογραμμή 📏 ### Ερώτηση: Αφού πρώτα διατάξεις τα κλάσματα \(\frac{3}{12}\), \(\frac{8}{12}\), \(\frac{13}{12}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{11}{12}\) κατά αύξουσα σειρά, τοποθέτησέ τα στα σημεία Α και Β στην αριθμογραμμή. ### Λύση: Τα κλάσματα σε αύξουσα σειρά είναι: - \(\frac{1}{12}, \frac{3}{12}, \frac{8}{12}, \frac{11}{12}, \frac{13}{12}\) --- ### Ποια διαδικασία μας επιτρέπει να βρούμε ποιο κλάσμα παρεμβάλλεται ανάμεσα σε δύο άλλα; - **Απάντηση:** Η σύγκριση των αριθμητών εάν τα κλάσματα είναι **ομώνυμα**. Αν τα κλάσματα είναι ετερώνυμα, τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα και μετά συγκρίνουμε τους αριθμητές τους. 📊 --- ## Εφαρμογή 2η: Μετατροπή Ετερώνυμων Κλασμάτων σε Ομώνυμα 🔄 ### Ερώτηση: Να διατάξετε κατά φθίνουσα σειρά τα κλάσματα \(\frac{1}{2}\), \(\frac{5}{9}\), \(\frac{6}{15}\) αφού τα κάνετε ομώνυμα. ### Λύση: 1. Βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των παρονομαστών \(2\), \(9\), \(15\): - Το Ε.Κ.Π. είναι το \(90\). 2. Μετατρέπουμε τα κλάσματα: - \(\frac{1}{2} = \frac{45}{90}\) - \(\frac{5}{9} = \frac{50}{90}\) - \(\frac{6}{15} = \frac{36}{90}\) 3. Διατάσσουμε τα κλάσματα: - \(\frac{50}{90}\), \(\frac{45}{90}\), \(\frac{36}{90}\) 👉 Άρα, τα κλάσματα κατά φθίνουσα σειρά είναι \(\frac{5}{9} > \frac{1}{2} > \frac{6}{15}\). --- ## Ερωτήσεις για Αυτοέλεγχο και Συζήτηση 🧠 ### Ερώτηση: Στο κεφάλαιο αυτό μελετήσαμε τη σύγκριση και διάταξη ομώνυμων και ετερώνυμων κλασμάτων. Δώσε ένα δικό σου παράδειγμα για κάθε περίπτωση. ### Λύση: - **Το (β) είναι λάθος** γιατί για να τα κάνουμε ομώνυμα, πολλαπλασιάζουμε τους όρους με τον αριθμό που προκύπτει αν διαιρέσουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος.