Βιβλίο και Λύσεις

| **Στρατηγικές σύγκρισης** | **Εξήγηση των στρατηγικών** | |----------------------------|------------------------------| | Στα κλάσματα που έχουν **ίσους παρανομαστές**, μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει μεγαλύτερο αριθμητή. | \(\frac{5}{7} > \frac{4}{7}\) <br> | | Στα κλάσματα που έχουν **ίσους αριθμητές**, μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει μικρότερο παρανομαστή. | \(\frac{9}{5} > \frac{9}{6}\) <br> | | Ένα κλάσμα που έχει **μεγαλύτερο αριθμητή και μικρότερο παρανομαστή** από ένα άλλο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από αυτό. | \(\frac{18}{24} > \frac{16}{27}\) | ## Διερεύνηση 🔍 ### Τα παιδιά έχουν χωριστεί σε ζευγάρια και παίζουν ένα ηλεκτρονικό παιχνίδι 🎮: ### α. Ο ήρωας του Νίκου έχει καλύψει τα \( \frac{4}{7} \) της πίστας-διαδρομής και του Αντρέα τα \( \frac{5}{7} \). ### β. Ο ήρωας της Αγγελικής έχει καλύψει τα \( \frac{2}{17} \) της πίστας-διαδρομής και της Δανάης τα \( \frac{3}{19} \). ### γ. Ο ήρωας του Ορέστη έχει καλύψει τα \( \frac{1}{2} \) της πίστας-διαδρομής και της Κέλλυ τα \( \frac{17}{31} \). ### δ. Ο ήρωας του Σπύρου έχει καλύψει τα \( \frac{16}{27} \) της πίστας-διαδρομής και της Λίας τα \( \frac{18}{24} \). ### Ποιος ήρωας έχει καλύψει τη μεγαλύτερη διαδρομή σε κάθε ζευγάρι; Για να απαντήσουμε πρέπει να συγκρίνουμε τα κλάσματα όπως κάνουμε παρακάτω: Οι ήρωες που κάλυψαν τη μεγαλύτερη διαδρομή σε κάθε ζευγάρι είναι: * ο ήρωας του Αντρέα 🏆, * ο ήρωας της Αγγελικής 🏆, * ο ήρωας της Κέλλυ 🏆, * ο ήρωας της Λίας 🏆. --- ## Συγκρίνουμε τα κλάσματα \( (>, =, <) \) και περιγράφουμε τη στρατηγική που χρησιμοποιήσαμε σε κάθε περίπτωση. ### α' Ζευγάρι \[ \frac{4}{7} \quad \textcolor{red}{<} \quad \frac{5}{7} \] **Στα ομώνυμα κλάσματα** (με ίδιο παρονομαστή), **μεγαλύτερο** είναι αυτό που έχει **μεγαλύτερο αριθμητή**. --- ### β' Ζευγάρι \[ \frac{2}{17} \quad \textcolor{red}{<} \quad \frac{3}{19} \] **Στα κλάσματα με ίδιο αριθμητή**, **μεγαλύτερο** είναι αυτό που έχει **μικρότερο παρονομαστή**. --- ### γ' Ζευγάρι \[ \frac{1}{2} \quad \textcolor{red}{<} \quad \frac{17}{31} \] Μπορούμε τα ετερώνυμα να τα κάνουμε ομώνυμα κλάσματα βρίσκοντας το Ε.Κ.Π του παρονομαστή τους. Ε.Κ.Π \( (2, 31) = 62 \) Συνεπώς: \[ \frac{31}{62} \quad \textcolor{red}{<} \quad \frac{34}{62} \] --- ### δ' Ζευγάρι \[ \frac{16}{27} \quad \textcolor{red}{<} \quad \frac{18}{24} \] Κλάσμα με **μεγαλύτερο αριθμητή** και **μικρότερο παρονομαστή** από ένα άλλο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από αυτό. --- ## Εφαρμογή 💡 **Να συγκρίνετε τα κλάσματα** \( \frac{3}{7} \) **και** \( \frac{5}{8} \) ### α’ τρόπος: Μετατρέπουμε σε ισοδύναμα κλάσματα που έχουν ίδιο παρονομαστή. * Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών: \( Ε.Κ.Π. (7,8) = 56 \) * Δημιουργούμε κλάσματα ισοδύναμα με τα αρχικά με παρονομαστή ίδιο με το Ε.Κ.Π. \( (7,8) \): \[ \frac{3}{7} \times \frac{8}{8} = \frac{24}{56} \quad \text{και} \quad \frac{5}{8} \times \frac{7}{7} = \frac{35}{56} \] * Συγκρίνουμε τους αριθμητές των δύο νέων κλασμάτων, άρα: \[ \frac{24}{56} \quad \textcolor{red}{<} \quad \frac{35}{56} \] --- ### β’ τρόπος: Συγκρίνουμε ως προς ένα κοινό σημείο αναφοράς. * Επιλέγουμε το \( \frac{1}{2} \) ως σημείο αναφοράς, για να συγκρίνουμε τα δύο κλάσματα. * Συγκρίνουμε το \( \frac{3}{7} \) με το \( \frac{1}{2} \): \[ \frac{3}{7} \quad \textcolor{red}{<} \quad \frac{1}{2} \] * Συγκρίνουμε το \( \frac{5}{8} \) με το \( \frac{1}{2} \): \[ \frac{5}{8} \quad \textcolor{red}{>} \quad \frac{1}{2} \] * Επομένως: \[ \frac{3}{7} \quad \textcolor{red}{<} \quad \frac{5}{8} \] --- ## Αναστοχασμός 💭 1. **Βρίσκουμε κλάσματα που είναι μικρότερα από το** \( \frac{1}{2} \). Για να βρούμε κλάσματα μικρότερα από το \( \frac{1}{2} \), θα πρέπει να βρούμε κλάσματα με μεγαλύτερο παρονομαστή όπως π.χ. \( \frac{1}{5}, \frac{1}{12} \) κλπ. --- 2. **Τα κλάσματα** \( \frac{13}{15} \) **και** \( \frac{17}{19} \) **είναι ισοδύναμα ή όχι; Αιτιολογούμε την απάντησή μας.** Όχι δεν είναι ισοδύναμα, γιατί άμα τα κάνουμε ομώνυμα και τα συγκρίνουμε δεν είναι ίσα. Δηλαδή: \[ \frac{13}{15} \times \frac{19}{19} = \frac{247}{285} \quad \text{και} \quad \frac{17}{19} \times \frac{15}{15} = \frac{255}{285} \] Άρα \( \frac{247}{285} \quad \textcolor{red}{<} \quad \frac{255}{285} \). --- 3. **Κλάσματα κοντά στο** \( 1 \) **αλλά ελάχιστα μικρότερα**: π.χ. \( \frac{7}{8}, \frac{15}{16} \) Κλάσματα κοντά στο \( 1 \) αλλά ελάχιστα μεγαλύτερα: π.χ. \( \frac{25}{24}, \frac{185}{184} \).