Βιβλίο και Λύσεις

## 📚 Βασικές Μαθηματικές Έννοιες και Διεργασίες ### 🧩 Ισοδύναμα Κλάσματα - **Ορισμός**: Τα <Tooltip> <TooltipTrigger>κλάσματα</TooltipTrigger> <TooltipContent>Αριθμοί που εκφράζουν μέρος ενός συνόλου.</TooltipContent> </Tooltip> που εκφράζουν το ίδιο μέρος ενός όλου λέγονται **ισοδύναμα** ή ίσα. - **Παράδειγμα**: - \( \frac{1}{3} = \frac{4}{12} \) ### ✖️ Πολλαπλασιασμός Κλάσματος - **Ορισμός**: Αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει κλάσμα ισοδύναμο με το αρχικό. - **Παράδειγμα**: - \( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8} \) ### ✂️ Απλοποίηση Κλάσματος - **Ορισμός**: Αν διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει κλάσμα ισοδύναμο με το αρχικό, με μικρότερους όρους. Η διαδικασία αυτή λέγεται **απλοποίηση**. - **Παράδειγμα**: - \( \frac{16}{24} = \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3} \) ### 🚫 Ανάγωγα Κλάσματα - **Ορισμός**: Τα κλάσματα που οι όροι τους δεν απλοποιούνται λέγονται **ανάγωγα**. - **Παράδειγμα**: - \( \frac{3}{4}, \frac{5}{7}, \frac{8}{11} \) --- ### Διερεύνηση 🔍 1. Οι μαθητές και οι μαθήτριες της Ε' τάξης κάνουν συλλογή από γραμματόσημα. Παρατηρούμε την παρακάτω σελίδα: - **Μαθητής 1:** "Έχω γεμίσει με γραμματόσημα τα \(\frac{9}{12}\) της σελίδας." - **Μαθητής 2:** "Έχεις γεμίσει τα \(\frac{3}{4}\) της σελίδας." ### Συζητάμε ποιο παιδί έχει δίκιο. 💬 **Και τα δύο παιδιά έχουν δίκιο!** 🎉 2. Διπλώνουμε ξανά την ίδια σελίδα και χρωματίζουμε τα \(\frac{9}{12}\) αυτής. 🖍️ ### Συγκρίνουμε τα δύο κλάσματα 📏: - \(\frac{9}{12}\) - \(\frac{3}{4}\) **Τα δύο κλάσματα εκφράζουν το _ίδιο_ μέρος της σελίδας!** 📄 Πώς προκύπτουν οι όροι του κλάσματος \(\frac{9}{12}\) από τους όρους του κλάσματος \(\frac{3}{4}\); \[ 3 \times 3 = 9 \quad \text{και} \quad 4 \times 3 = 12 \] --- ### Διερεύνηση 2 🔍 2. Εκφράζουμε το κλάσμα με κλάσματα που έχουν μικρότερους όρους χρησιμοποιώντας τις ράβδους κλασμάτων του παραρτήματος. \[ \frac{6}{12} = \frac{3}{6} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Πώς προκύπτουν οι όροι των κλασμάτων που βρήκαμε από τους όρους του \(\frac{6}{12}\); \[ \frac{6 \div 2}{12 \div 2} = \frac{3}{6} \] \[ \frac{6 \div 3}{12 \div 3} = \frac{2}{4} \] \[ \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2} \] **Ποιο κλάσμα έχει τους μικρότερους όρους;** \[ \frac{1}{2} \] --- ### Εφαρμογή 📐 1. Ο λαγός και η χελώνα τρέχουν την ίδια διαδρομή. Ο λαγός έχει διανύσει τα \(\frac{8}{20}\) της διαδρομής και η χελώνα τα \(\frac{2}{5}\) της. Να τοποθετήσετε τα δύο κλάσματα πάνω στην αριθμογραμμή. Τι παρατηρείτε; **Τοποθετούμε τα κλάσματα στην αριθμογραμμή, την οποία χωρίζουμε κάθε φορά κατάλληλα.** Παρατηρούμε ότι τα κλάσματα βρίσκονται στο... **ίδιο** σημείο της αριθμογραμμής! 😊 ### Επαλήθευση: - Απλοποιούμε το κλάσμα \(\frac{8}{20}\) ώστε να γίνει ανάγωγο: \[ \frac{8 \div 4}{20 \div 4} = \frac{2}{5} \] **Παρατηρούμε ότι τα κλάσματα \(\frac{8}{20}\) και \(\frac{2}{5}\) είναι ισοδύναμα.** ✅ 2. Να βρείτε ένα κλάσμα μεταξύ των κλασμάτων \(\frac{1}{3}\) και \(\frac{2}{3}\). **Βρίσκουμε για καθένα από τα παραπάνω κλάσματα ένα ισοδύναμό του:** - \(\frac{1}{3} = \frac{5}{15}\) - \(\frac{2}{3} = \frac{10}{15}\) **Ανάμεσα στα κλάσματα** \(\frac{5}{15}\) και \(\frac{10}{15}\) **που δημιουργήσαμε, βρίσκεται το κλάσμα** \(\frac{7}{15}\). --- ### Αναστοχασμός 🎯 1. **Πόσα ισοδύναμα κλάσματα έχει κάθε κλάσμα;** - Άπειρα ισοδύναμα κλάσματα έχει κάθε κλάσμα, γιατί ο αριθμητής και ο παρονομαστής του έχουν άπειρα πολλαπλάσια. 💡 2. **Ισοδύναμα κλάσματα του** \(\frac{6}{8}\) **διαίροντας τους όρους του είναι:** \[ \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \]