<AccordionRoot> <AccordionItem value='1η Άσκηση'> <AccordionTrigger> ## 1η Άσκηση </AccordionTrigger> <AccordionContent> ### Συμπλήρωση κενών 📚 **Εδώ είναι η συμπλήρωση των κενών στα κλάσματα:** 1. \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 \) 2. \( \frac{8}{8} + \frac{2}{4} = 1 \frac{1}{2} \) 3. \( 1 \frac{1}{2} - \frac{4}{6} = \frac{5}{6} \) 4. \( \frac{11}{5} - \frac{10}{10} = \frac{6}{5} \) </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='2η Άσκηση'> <AccordionTrigger> ## 2η Άσκηση </AccordionTrigger> <AccordionContent> \[ \frac{1}{6} + \frac{2}{3} < 1 \] \[ \frac{8}{5} - \frac{1}{10} > 1 \] \[ \frac{8}{9} + \frac{2}{3} > 1 \] \[ 2 \frac{3}{5} - 1 \frac{2}{6} > 1 \] \[ 2 \frac{5}{6} - 1\frac{7}{8} < 1 \] \[ \frac{12}{5} + \frac{14}{15} > 1 \] </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='3η Άσκηση'> <AccordionTrigger> ## 3η Άσκηση </AccordionTrigger> <AccordionContent> ### Παρατήρηση και Στρατηγική: Αρχικά, παρατηρούμε αν ο αριθμός που ψάχνουμε προστίθεται ή αφαιρείται. Για να το καταλάβουμε, αρκεί να συγκρίνουμε τα <Tooltip><TooltipTrigger>κλάσματα</TooltipTrigger><TooltipContent>Αριθμοί που εκφράζουν μέρος ενός συνόλου, π.χ., το 2/3 δείχνει δύο από τα τρία ίσα μέρη ενός συνόλου.</TooltipContent></Tooltip> στην είσοδο και την έξοδο της μηχανής. Αν το κλάσμα στην είσοδο είναι μικρότερο από το κλάσμα στην έξοδο, τότε ο αριθμός προστίθεται, ενώ αν είναι μεγαλύτερο, τότε αφαιρείται. ### Λύση: 1. **Πρώτη Μηχανή:** - **Είσοδος:** \( \frac{2}{3} \) - **Έξοδος:** \( \frac{4}{6} \) Παρατηρούμε ότι \( \frac{2}{3} < \frac{4}{6} \), άρα **προστίθεται**. Υπολογίζουμε: \[ \frac{14}{6} - \frac{4}{6} = \frac{10}{6} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \] \[ \frac{6}{6} - \frac{6}{6} = 1 \] 2. **Δεύτερη Μηχανή:** - **Είσοδος:** \( \frac{14}{10} \) - **Έξοδος:** \( \frac{4}{5} \) Παρατηρούμε ότι \( \frac{14}{10} > \frac{4}{5} \), άρα **αφαιρείται**. Υπολογίζουμε: \[ \frac{14}{10} - \frac{4}{5} = \frac{14}{10} - \frac{8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \] 3. **Τρίτη Μηχανή:** - **Είσοδος:** \( \frac{2}{9} \) - **Έξοδος:** \( \frac{10}{18} \) Παρατηρούμε ότι \( \frac{2}{9} > \frac{10}{18} \), άρα **αφαιρείται**. Υπολογίζουμε: \[ \frac{2}{9} - \frac{10}{18} = \frac{4}{18} = \frac{10}{18} - \frac{2}{9} = \frac{18}{9} = 2 \] </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='4η Άσκηση'> <AccordionTrigger> ## 4η Άσκηση </AccordionTrigger> <AccordionContent> Τοποθετούμε το σημείο Α στην αριθμογραμμή: \[ \frac{2}{3} + \frac{1 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \quad \text{(άρα } A = \frac{5}{6}) \] </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='1ο Πρόβλημα'> <AccordionTrigger> ## 1ο Πρόβλημα </AccordionTrigger> <AccordionContent> Η περίμετρος του ορθογωνίου υπολογίζεται ως εξής: \[ Π = \frac{11}{20} + \frac{11}{20} + \frac{16}{20} + \frac{16}{20} = \frac{54}{20} = 2 \frac{7}{10} \text{μ.} \] </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='2ο Πρόβλημα'> <AccordionTrigger> ## 2ο Πρόβλημα </AccordionTrigger> <AccordionContent> α) Σύγκριση αποστάσεων ανά ημέρα: 1. Πρώτη ημέρα: \(\frac{9}{10} < 1 \text{χλμ.}\) 2. Δεύτερη ημέρα: \(\frac{11}{8} > 1 \text{χλμ.}\) 3. Τρίτη ημέρα: \(\frac{12}{10} + \frac{7}{10} = 1 \frac{9}{10} > 1 \text{χλμ.}\) β) Ξεκινάμε με την αφαίρεση των κλασμάτων \( \frac{19}{10} - \frac{11}{8} \). Για να γίνει η αφαίρεση, πρέπει να βρούμε ένα κοινό παρονομαστή. Εδώ, ο κοινός παρονομαστής είναι το **Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο** (ΕΚΠ) των 10 και 8. **Υπολογισμός του ΕΚΠ:** - ΕΚΠ(10, 8) = 40 ### Εφαρμογή του κοινού παρονομαστή: 1. Μετατρέπουμε τα κλάσματα: \[ \frac{19}{10} = \frac{19 \times 4}{10 \times 4} = \frac{76}{40} \] \[ \frac{11}{8} = \frac{11 \times 5}{8 \times 5} = \frac{55}{40} \] 2. Κάνουμε την αφαίρεση: \[ \frac{76}{40} - \frac{55}{40} = \frac{21}{40} \] Άρα, η τελική απάντηση είναι \( \frac{21}{40} \). </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='3ο Πρόβλημα'> <AccordionTrigger> ## 3ο Πρόβλημα </AccordionTrigger> <AccordionContent> ### Δεδομένα: - Χρειάστηκαν **4** \( \frac{2}{5} \) ώρες για να ολοκληρώσουν τη διαδρομή. - **1η στάση** (στα δέντρα) έγινε μετά από **1** \( \frac{2}{3} \) ώρες. - **2η στάση** (στη σπηλιά) έγινε μετά από **1** \( \frac{1}{6} \) ώρες. ### Ζητούμενο: Πόση ώρα χρειάστηκαν να φτάσουν από τη σπηλιά στην κορυφή; ### Λύση: 1. **Πρώτα προσθέτουμε τους χρόνους των δύο πρώτων σταθμών:** \[ 1 \frac{2}{3} + 1 \frac{1}{6} \] **Μετατροπή των μικτών αριθμών σε κλάσματα:** \[ 1 \frac{2}{3} = \frac{5 \times 2}{3 \times 2} = \frac{7}{3} = \frac{10}{6} = \frac{7}{6} \] \[ 1 \frac{1}{6} = \frac{6 \times 5}{6 \times 5} = \frac{22}{6} = \frac{17}{6} \] 2. **Προσθέτουμε τα κλάσματα:** \[ \frac{7}{6} + \frac{7}{6} = \frac{17}{6} = \frac{5 \times 6}{6 \times 6} = \frac{6 \times 5}{6 \times 6} = \frac{47}{6} = \frac{47}{30} = \frac{17}{30} \text{ ώρες.} \] 3. **Τέλος, αφαιρούμε αυτόν τον χρόνο από το συνολικό χρόνο της διαδρομής:** \[ 4 \frac{2}{5} - \frac{85}{30} = \frac{30 \times 5}{5 \times 5} = \frac{4}{6} - \frac{132}{30} = \frac{17 \times 5}{6 \times 5} = \frac{47}{30} = 1 \frac{17}{30} \text{ ώρες.} \] ### Απάντηση: Οι κατασκηνωτές έκαναν **1** \( \frac{17}{30} \) ώρες να φτάσουν από τη σπηλιά μέχρι την κορυφή. 🏞️ </AccordionContent> </AccordionItem> </AccordionRoot>