## Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες 📚 Τα κλάσματα που έχουν **ίδιο παρανομαστή** λέγονται <Tooltip><TooltipTrigger>ομώνυμα</TooltipTrigger><TooltipContent>Κλάσματα που έχουν την ίδια αριθμητική τιμή στο κάτω μέρος τους.</TooltipContent></Tooltip>, ενώ τα κλάσματα που έχουν **διαφορετικό παρανομαστή** λέγονται <Tooltip><TooltipTrigger>ετερώνυμα</TooltipTrigger><TooltipContent>Κλάσματα που έχουν διαφορετικές αριθμητικές τιμές στο κάτω μέρος τους.</TooltipContent></Tooltip>. ### Παραδείγματα 🧮 - **Ομώνυμα Κλάσματα:** \(\frac{2}{5}\), \(\frac{7}{5}\) - **Ετερώνυμα Κλάσματα:** \(\frac{2}{3}\), \(\frac{7}{4}\), \(\frac{9}{4}\) Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε **ετερώνυμα κλάσματα**, τα μετατρέπουμε πρώτα σε <Tooltip><TooltipTrigger>ομώνυμα</TooltipTrigger><TooltipContent>Κλάσματα με τον ίδιο παρανομαστή.</TooltipContent></Tooltip> και στη συνέχεια προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές, ενώ ο παρανομαστής μένει ίδιος. Τέλος, κάνουμε <Tooltip><TooltipTrigger>απλοποίηση</TooltipTrigger><TooltipContent>Η διαδικασία μείωσης των αριθμητών και παρανομαστών σε μικρότερες τιμές.</TooltipContent></Tooltip>. ### Παραδείγματα 🧩 1. **Πρόσθεση Ετερώνυμων Κλασμάτων:** \[ \frac{2}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2 \times 2}{6 \times 2} + \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \] 2. **Αφαίρεση Ετερώνυμων Κλασμάτων:** \[ \frac{4}{3} - \frac{3}{5} = \frac{4 \times 5}{3 \times 5} - \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{20}{15} - \frac{9}{15} = \frac{11}{15} \] --- ### 1️⃣ Ερώτηση 1: Εργασία με τα κλάσματα **α.** Χρησιμοποιούμε το τετραγωνισμένο χαρτί, για να αναπαραστήσουμε με ράβδους ή ορθογώνια τα κλάσματα και να υπολογίσουμε τα αθροίσματα και τις διαφορές: \[ \frac{3}{8} + \frac{4}{8} = \frac{7}{8} \] \[ \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} \] **β.** Χρησιμοποιούμε ράβδους κλασμάτων, για να αναπαραστήσουμε και να υπολογίσουμε αθροίσματα και διαφορές κλασμάτων. 1. Εξηγούμε τον τρόπο με τον οποίο σκέφτηκε ο Νίκος και έπειτα συμπληρώνουμε το άθροισμα: **Κάνουμε τα κλάσματα όμοια**, βρίσκοντας το **ΕΚΠ** των παρανομαστών τους που είναι το **10**. Άρα: \[ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}, \quad \frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} \] Τελικά: \[ \frac{5}{10} + \frac{4}{10} = \frac{9}{10} \] 2. Αν μπορούσε ο Νίκος, αντί για τις ράβδους \( \frac{1}{2} \) και \( \frac{2}{5} \), να χρησιμοποιήσει τις ράβδους \( \frac{1}{8} \): **Εξήγηση:** _Όχι_, γιατί το **8** δεν είναι πολλαπλάσιο του **2** και του **5**. --- ### 2️⃣ Ερώτηση 2: Εύρεση Διαφοράς με ράβδους **γ.** Χρησιμοποιούμε τις ράβδους για να βρούμε τη διαφορά \( \frac{3}{4} - \frac{1}{8} \). **Εξηγούμε τον τρόπο εργασίας μας:** **Δημιουργούμε ισοδύναμα κλάσματα** με παρανομαστή το **8** και ύστερα αφαιρούμε κανονικά: \[ \frac{3}{4} = \frac{6}{8} \] Άρα, η διαφορά είναι: \[ \frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8} \] **δ.** Ποιες άλλες ράβδους θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε για να αναπαραστήσουμε τη διαφορά; Χρησιμοποιούμε **ισοδύναμα κλάσματα**: \[ \frac{1}{4}, \quad \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{1} \text{ κλπ.} \] --- ### 3️⃣ Εφαρμογή: Εύρεση Αθροίσματος **1.** Να βρείτε το άθροισμα \( 6 \frac{3}{4} + 2 \frac{1}{2} \). **α’ τρόπος:** Μετατρέπουμε τους μεικτούς αριθμούς σε κλάσματα: \[ 6 \frac{3}{4} = \frac{27}{4}, \quad 2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2} = \frac{10}{4} \] Άρα: \[ \frac{27}{4} + \frac{10}{4} = \frac{37}{4} = 9 \frac{1}{4} \] **β’ τρόπος:** Προσθέτουμε χωριστά τις ακέραιες μονάδες από τα κλάσματα: \[ 6 + 2 = 8 \] και \[ \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4} \] Άρα: \[ 8 + 1 \frac{1}{4} = 9 \frac{1}{4} \] **2.** Με τη βοήθεια του μοντέλου, να κάνετε την παρακάτω αφαίρεση: \[ 3 \frac{1}{4} - 1 \frac{2}{4} \] **Επειδή από το** \( \frac{1}{4} \) **δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε τα** \( \frac{2}{4} \), **την 1 ακέραιη μονάδα** τη δίνουμε στο κλάσμα: \[ 3 \frac{1}{4} = 2 \frac{5}{4} \] Οπότε: \[ 2 \frac{5}{4} - 1 \frac{2}{4} = 1 \frac{3}{4} \] --- ### 🎯 Αναστοχασμός **1.** Επιλέγουμε δύο κλάσματα των οποίων η διαφορά είναι \( \frac{1}{4} \) και ο παρανομαστής τους είναι διαφορετικός από το 4. \[ \frac{15}{24} - \frac{9}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \] _Φυσικά υπάρχουν και άλλες λύσεις._ **2.** Χρησιμοποιούμε το **ΕΚΠ** των παρανομαστών, ώστε να μετατρέψουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε όμώνυμα. **3.** Γιατί πρέπει να μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα όταν κάνουμε πρόσθεση ή αφαίρεση; _Γιατί πρέπει τα κλάσματα να έχουν κοινό παρανομαστή για να είναι δυνατή η πρόσθεση ή η αφαίρεση._