Βιβλίο και Λύσεις

## Διερεύνηση 🕵️‍♀️ Ένας ανθοπώλης έχει 4.32 🌸 κυκλάμινα και φτιάχνει ανθοδέσμες, που κάθε μία έχει ίσο αριθμό κυκλαμίνων χωρίς να περισσεύει κανένα. Συζητάμε ποιο είναι το ψηφίο που λείπει, έτσι ώστε κάθε ανθοδέσμη να περιέχει: ### 2 κυκλάμινα: **Με βάση το κριτήριο διαιρετότητας του 2 το ψηφίο που λείπει μπορεί να είναι το 0, 2, 4, 6 ή 8.** Οι αριθμοί που προκύπτουν είναι οι: 4.320, 4.322, 4.324, 4.326, 4.328 και διαίρονται με το 2. ### 5 κυκλάμινα: **Με βάση το κριτήριο διαιρετότητας του 5 το ψηφίο που λείπει μπορεί να είναι το 0 ή 5.** Οι αριθμοί που προκύπτουν είναι οι: 4.325, 4.320 και διαίρονται ακριβώς με το 5. ### 10 κυκλάμινα: **Με βάση το κριτήριο διαιρετότητας του 10 το ψηφίο που λείπει μπορεί να είναι το 0.** Ο αριθμός που προκύπτει είναι το: 4.320 και διαίρεται ακριβώς με το 10. ### 3 κυκλάμινα: **Με βάση το κριτήριο διαιρετότητας του 3 το ψηφίο που λείπει μπορεί να είναι το 0, 3, 6 ή 9.** Οι αριθμοί που προκύπτουν είναι οι: 4.320, 4.323, 4.326, 4.329 και διαίρονται ακριβώς με το 3. ### 9 κυκλάμινα: **Με βάση το κριτήριο διαιρετότητας του 9 το ψηφίο που λείπει μπορεί να είναι το 0 ή 9.** Οι αριθμοί που προκύπτουν είναι οι: 4.320, 4.329 και διαίρονται ακριβώς με το 9. ## Συζητάμε ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο των φυσικών αριθμών που διαίρονται με: - **Το 2:** 0, 2, 4, 6, 8 - **Το 5:** 0, 5 - **Το 10:** 0 ## Συζητάμε ποιο είναι το άθροισμα των ψηφίων των φυσικών αριθμών που διαίρονται με: - **Το 3:** Το άθροισμα των ψηφίων πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 3. - **Το 9:** Το άθροισμα των ψηφίων πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 9. ## Εφαρμογή 📝 Να συμπληρώσετε στα τετράγωνα τα ψηφία που λείπουν, έτσι ώστε ο αριθμός που προκύπτει να διαιρείται με το 2 και το 9. Για να διαιρεθεί με το 2, το τελευταίο ψηφίο μπορεί να είναι 0, 2, 4, 6 ή 8. Για να διαιρεθεί με το 9, το άθροισμα των ψηφίων πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 9. Αν είναι το 3, το άθροισμα του πρώτου τετραγώνου είναι το 1, οπότε ο αριθμός είναι: **3.150** Αν είναι το 8, το άθροισμα του δεύτερου τετραγώνου είναι το 1, οπότε ο αριθμός είναι: **3.852** Αν είναι το 5, το άθροισμα του τρίτου τετραγώνου είναι το 1, οπότε ο αριθμός είναι: **3.654** Αν είναι το 4, το άθροισμα του τετάρτου τετραγώνου είναι το 1, οπότε ο αριθμός είναι: **3.456** Αν είναι το 2, το άθροισμα του πέμπτου τετραγώνου είναι το 1, οπότε ο αριθμός είναι: **3.258** Οι αριθμοί που προκύπτουν είναι: **3.150, 3.852, 3.654, 3.456, 3.258** | **Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες** | **Παραδείγματα** | |:--------------------------:|:-------------------:| | Για να διαπιστώσουμε αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με έναν άλλο, χωρίς να κάνουμε διαίρεση, χρησιμοποιούμε ορισμένους κανόνες, που τους ονομάζουμε **κριτήρια διαιρετότητας**. | Το κριτήριο διαιρετότητας του 2 είναι ο κανόνας που μας πληροφορεί πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2. | | **Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με:** | | | α. **το 2**, όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι: 0, 2, 4, 6 ή 8. | Ο αριθμός **3.256** διαιρείται με το 2, γιατί το τελευταίο ψηφίο του είναι **6**. | | β. **το 5**, όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι: 0 ή 5. | Ο αριθμός **654.385** διαιρείται με το 5, γιατί το τελευταίο ψηφίο του είναι **5**. | | γ. **το 10**, όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0. | Ο αριθμός **2.649.350** διαιρείται με το 10, γιατί το τελευταίο ψηφίο του είναι **0**. | | δ. **το 3**, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. | Ο αριθμός **26.163** διαιρείται με το 3, γιατί 2+6+1+6+3=**18**, που διαιρείται με το 3. | | ε. **το 9**, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9. | Ο αριθμός **85.356** διαιρείται με το 9, γιατί 8+5+3+5+6=**27**, που διαιρείται με το 9. | ## Αναστοχασμός 🎯 1. Ένας άρτιος ή ένας περιττός αριθμός διαιρείται με το 2; Δικαιολογούμε την απάντησή μας. 2. Ο Νίκος υποστηρίζει ότι ο αριθμός 1 είναι διαιρετής όλων των φυσικών αριθμών. Εξηγούμε πώς μπορεί να σκέφτηκε. 3. Η Αγγελική υποστηρίζει ότι ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιο ενός άλλου, αν η διαίρεσή τους είναι τέλεια. Εξηγούμε πώς μπορεί να σκέφτηκε. 4. Εξηγούμε γιατί, αν ένας αριθμός διαιρείται με το 3, ο αριθμός που προκύπτει, αν αλλάξουμε τη σειρά των ψηφίων του, διαιρείται κι αυτός με το 3. 5. Συζητάμε τη χρησιμότητα των κριτηρίων διαιρετότητας. ## Απάντηση: 1. Ένας άρτιος αριθμός διαιρείται με το 2 καθώς το τελευταίο ψηφίο θα είναι 0, 2, 4, 6 ή 8. 2. Αριθμός 1 είναι διαιρετής όλων των φυσικών αριθμών επειδή όλοι οι αριθμοί μπορούν να διαιρεθούν με το 1. 3. Αν η διαίρεση είναι τέλεια, τότε έχουμε υπόλοιπο 0. Αυτό σημαίνει πως ο αριθμός διαιρείται ακριβώς από έναν άλλο. Συνεπώς ο αριθμός αυτός είναι πολλαπλάσιο του άλλου. Επίσης, οι φυσικοί αριθμοί (εκτός από το 0) διαιρούν μόνο τα πολλαπλάσιά τους. 4. Σύμφωνα με το κριτήριο διαιρετότητας του 3 ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3, όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται ακριβώς με το 3. Επομένως αλλάζοντας τη σειρά των ψηφίων του το άθροισμα των ψηφίων δεν αλλάζει λόγω της αντιμεταθετικής ιδιότητας της πρόσθεσης. 5. Με τα κριτήρια διαιρετότητας μπορούμε διαπιστώνουμε αν ένας φυσικός αριθμός είναι πολλαπλάσιο ενός άλλου χωρίς να κάνουμε πράξεις και υπολογισμούς.