Βιβλίο και Λύσεις

### Βασικές Μαθηματικές Έννοιες και Διαδικασίες 📐 --- ### **Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός τετραγώνου:** Πολλαπλασιάζουμε το **μήκος της πλευράς** του επί τον εαυτό του. - **Παράδειγμα:** - Μήκος πλευράς: **2 μονάδες** - Εμβαδόν τετραγώνου: \[ E_{\text{τετρ.}} = \text{μήκος πλευράς} \times \text{μήκος πλευράς} = 2 \times 2 = 4 \text{ τετ. μονάδες} \] --- ### **Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου:** Πολλαπλασιάζουμε το **μήκος** επί το **πλάτος**, όταν αυτά μετρώνται με την ίδια μονάδα μέτρησης. - **Παράδειγμα:** - Μήκος: **5 μονάδες** - Πλάτος: **3 μονάδες** - Εμβαδόν ορθογωνίου: \[ E_{\text{ορθογ.}} = \text{μήκος} \times \text{πλάτος} = 5 \times 3 = 15 \text{ τετ. μονάδες} \] --- ### **Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου:** Πολλαπλασιάζουμε το **μήκος των κάθετων πλευρών** του, όταν αυτά μετρώνται με την ίδια μονάδα μέτρησης, και μετά **διαιρούμε** το γινόμενο αυτό **δια του 2**. - **Παράδειγμα:** - Κάθετη πλευρά: **3 μονάδες** - Κάθετη πλευρά: **5 μονάδες** - Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου: \[ E_{\text{ορθογ. τριγώνου}} = \frac{\text{μήκος κάθετ. πλευράς} \times \text{μήκος κάθετ. πλευράς}}{2} = \frac{3 \times 5}{2} = \frac{15}{2} = 7,5 \text{ τετ. μονάδες} \] --- ## Διερεύνηση 📐 ### Τετράγωνο και Ορθογώνιο - Σχεδιάζουμε στο διπλανό τετραγωνισμένο χαρτί ένα **τετράγωνο** με μήκος πλευράς 5 μονάδες και μετά υπολογίζουμε το εμβαδό του. \[ \text{Εμβαδόν τετραγώνου} = \text{μήκος πλευράς} \times \text{μήκος πλευράς} = 5 \times 5 = 25 \, \text{τ.μ.} \] - Σχεδιάζουμε στο διπλανό τετραγωνισμένο χαρτί ένα **ορθογώνιο** με μήκος 5 μονάδες και πλάτος 3 μονάδες και μετά υπολογίζουμε το εμβαδό του. Σχεδιάζουμε τη μία διαγώνιο του, ενώνοντας δύο μη διαδοχικές κορυφές του. \[ \text{Εμβαδόν ορθογωνίου} = \text{μήκος} \times \text{πλάτος} = 5 \times 3 = 15 \, \text{τ.μ.} \] ### Συζητάμε 🤔 - **α. Ποια σχήματα προκύπτουν;** **2 ορθογώνια τρίγωνα**. - **β. Πόσο είναι το εμβαδό του καθενός από αυτά;** Το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου, δηλαδή: \[ \frac{15}{2} = 7{,}5 \, \text{τ.μ.} \] - **γ. Ποια είναι η σχέση του εμβαδού τους με το εμβαδό του ορθογωνίου;** Το εμβαδό κάθε τριγώνου είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου. --- ## Ορθογώνιο Τρίγωνο 🔺 - Σχεδιάζουμε στο διπλανό τετραγωνισμένο χαρτί ένα **ορθογώνιο τρίγωνο** και υπολογίζουμε το εμβαδό του. \[ \text{Εμβαδόν τριγώνου} = \frac{\text{Εμβαδόν ορθογωνίου}}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, \text{τ.μ.} \] ### Συζητάμε πώς μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδό οποιουδήποτε ορθογώνιου τριγώνου 🎯 Για να βρούμε άμεσα το εμβαδό ενός ορθογώνιου τριγώνου, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τις δύο κάθετες πλευρές του και το γινόμενό τους να το διαιρέσουμε δια δύο: \[ \text{Εμβαδόν τριγώνου} = \frac{\text{Βάση} \times \text{Ύψος}}{2} \] --- ## Εφαρμογή 🌳 ### Πρόβλημα: Υπολογισμός Περιμέτρου Κήπου - Ένας κήπος σε σχήμα τετραγώνου έχει εμβαδό 36 τ.μ. Να βρείτε την περίμετρό του. Το εμβαδό ενός τετραγώνου είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους της πλευράς του επί τον εαυτό της. Ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει γινόμενο 36, είναι ο 6. Επομένως το τετράγωνο με εμβαδό 36 τ.μ. έχει μήκος πλευράς 6, άρα η περίμετρός του είναι: \[ \text{Π} = 4 \times 6 = 24 \, \text{μ.} \] --- ## Αναστοχασμός 🧠 ### 1. Ο Νίκος έγραψε ότι η περίμετρος ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι 10 τ.εκ. Εξηγούμε γιατί δεν είναι σωστό το αποτέλεσμα του. Ο Νίκος χρησιμοποίησε λάθος μονάδα μέτρησης. Η περίμετρος μετριέται σε μονάδες μήκους. Άρα το σωστό θα ήταν 10 εκ. και όχι 10 τ.εκ. --- ### 2. Το εμβαδό ενός ορθογωνίου είναι 12 τ.μ. Το μήκος και το πλάτος του μπορεί να είναι: - **α. 1 μ. και 12 μ.** - **β. 2 μ. και 6 μ.** - **γ. 3 μ. και 4 μ.** **Επιλέγουμε και εξηγούμε:** Ξέρουμε ότι το εμβαδό ορθογωνίου είναι: \[ \text{Εμβαδόν} = \text{μήκος} \times \text{πλάτος} = 12 \, \text{τ.μ.} \] --- ### 3. Το εμβαδό ενός τετραγώνου είναι 144 τ.μ. Η περίμετρός του είναι: **α. 24 μ.** **β. 48 μ.** **γ. 72 μ.** **δ. 480 δεκ.** **ε. 300 εκ.** **Επιλέγουμε και εξηγούμε:** Εφόσον το εμβαδό του τετραγώνου είναι: \[ \text{Εμβαδόν} = \text{μήκος πλευράς} \times \text{μήκος πλευράς} = 144 \, \text{τ.μ.} \] Και το τετράγωνο έχει και τις 4 πλευρές ίσες, τότε το μήκος κάθε πλευράς του είναι: \[ 12 \text{μ.} \] Άρα η περίμετρός του είναι: \[ 4 \times 12 = 48 \, \text{μ.} \] Η σωστή λύση είναι η **δ**, γιατί άμα μετατρέψουμε τα 480 δεκ. = 48 μ. --- ### 4. Εξηγούμε γιατί δεν μπορούμε να βρούμε το εμβαδό ενός ορθογωνίου, αν το μήκος και το πλάτος του δεν έχουν υπολογιστεί με την ίδια μονάδα μέτρησης 📏 Γιατί όταν κάνουμε πράξεις με αριθμούς ίδιες μονάδας μέτρησης, διαφορετικά θα βρούμε λάθος το αποτέλεσμα, γιατί οι αριθμοί θα έχουν διαφορετική αξία και επιπλέον δε θα ξέρουμε τι μονάδα μέτρησης θα χρησιμοποιήσουμε στο αποτέλεσμα.