Βιβλίο και Λύσεις

## 📚 Βασικές Μαθηματικές Έννοιες και Διαδικασίες 🎓 ### ✅ **Τρίγωνα** Το τρίγωνο είναι ένα σχήμα με **τρεις πλευρές** και **τρεις γωνίες**. Υπάρχουν τρία είδη τριγώνων, ανάλογα με τις πλευρές τους: #### **1. Ισόπλευρο Τρίγωνο** 🔺 - Έχει **και τις τρεις πλευρές ίσες**. - Οι **τρεις γωνίες** του είναι επίσης **ίδιες**. - Είναι ένα πολύ συμμετρικό σχήμα! **Παράδειγμα**: Το τρίγωνο ΑΒΓ στο σχήμα αριστερά, όπου οι πλευρές AB = ΒΓ = ΑΓ και οι γωνίες είναι όλες **60°**. #### **2. Ισοσκελές Τρίγωνο** 🔺 - Έχει **δύο πλευρές ίσες**. - Οι **γωνίες** που είναι απέναντι από αυτές τις πλευρές είναι **ίσες**. - Είναι σαν να έχει "δύο πόδια" ίσα και ένα διαφορετικό. **Παράδειγμα**: Το τρίγωνο ΠΤΡ στο σχήμα δεξιά, όπου οι πλευρές ΠΤ = ΤΡ και οι γωνίες Π̂ και Ρ̂ είναι ίσες. #### **3. Σκαληνό Τρίγωνο** 🔺 - **Όλες οι πλευρές είναι διαφορετικές**. - Και οι **τρεις γωνίες** του είναι επίσης **διαφορετικές**. - Είναι το πιο κοινό είδος τριγώνου που μπορείς να δεις! **Παράδειγμα**: Το τρίγωνο ΜΛΝ στο σχήμα δεξιά, όπου καμία πλευρά δεν είναι ίση με την άλλη. --- ### 📝 **Συνοψίζοντας:** - **Ισόπλευρο Τρίγωνο**: Και οι τρεις πλευρές και γωνίες είναι ίδιες. - **Ισοσκελές Τρίγωνο**: Δύο πλευρές και δύο γωνίες είναι ίδιες. - **Σκαληνό Τρίγωνο**: Όλες οι πλευρές και γωνίες είναι διαφορετικές. Μάθε να αναγνωρίζεις τα τρίγωνα γύρω σου και θα γίνεις ένας μικρός γεωμέτρης! 🔍 --- ### Διερεύνηση 🕵️‍♂️ Κατασκευάζουμε τρίγωνα και συγκρίνουμε τις πλευρές τους και τις γωνίες τους. --- **α.** Διπλώνουμε μια σελίδα χαρτί μεγέθους Α4, όπως φαίνεται στην εικόνα, έτσι ώστε να σχηματιστεί τετράγωνο. Έπειτα διπλώνουμε το τετράγωνο με τέτοιον τρόπο, ώστε η κορυφή \( E \) να συμπέσει με την κορυφή \( A \). **α1.** Με δίπλωση συγκρίνουμε τις δύο κάθετες πλευρές του τριγώνου \( ABZ \). Οι πλευρές \( AZ \) και \( AB \) είναι **ίσες**. **α2.** Τι συμπεραίνουμε για τις δύο οξείες γωνίες \( \hat{AZB} \) και \( \hat{ABZ} \); Ότι είναι ίσες. --- **β.** Διπλώνουμε μια σελίδα χαρτί μεγέθους Α4, έτσι ώστε η κορυφή \( A \) και η κορυφή \( B \) να συμπέσουν στο σημείο \( \Theta \). Κόβουμε τα μέρη που περισσεύουν και έτσι έχουμε το τρίγωνο \( EZH \). **β1.** Με δίπλωση συγκρίνουμε τις δύο πλευρές \( EZ \) και \( EH \) του τριγώνου \( EZH \). Οι πλευρές \( EZ \) και \( EH \) είναι **ίσες**. **β2.** Τι συμπεραίνουμε για τις δύο οξείες γωνίες \( \hat{EZH} \) και \( \hat{EHZ} \); Ότι είναι ίσες. --- **γ.** Κόβουμε το εξάγωνο από το παράρτημα. Ενώνουμε με μία ευθεία την κορυφή \( A \) με την κορυφή \( Δ \) και την κορυφή \( B \) με την \( E \). Σχηματίζεται, έτσι, το τρίγωνο \( EΔH \). **γ1.** Με δίπλωση συγκρίνουμε και τις τρεις πλευρές του τριγώνου \( EΔH \). Οι πλευρές \( EH \), \( EΔ \), και \( ΔH \) είναι **ίσεις**. **γ2.** Τι συμπεραίνουμε για τις τρεις οξείες γωνίες του τριγώνου; Ότι όλες είναι ίσες. --- ### Συζητάμε στην τάξη ποια είδη τριγώνων μπορούμε να διακρίνουμε με κριτήριο τις πλευρές των τριγώνων. Με κριτήριο τις πλευρές τους, διακρίνουμε τα εξής τρία τρίγωνα: 1. τρίγωνα με όλες τις πλευρές τους ίσες 2. τρίγωνα με δύο πλευρές ίσες 3. τρίγωνα με όλες τις πλευρές τους άνισες --- ### Αναστοχασμός 💭 1. Χωρίς να χρησιμοποιήσουμε το μοιρογνωμόνιο, εξηγούμε γιατί κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 60°. > Ξέρουμε ότι το ισόπλευρο τρίγωνο έχει όλες τις γωνίες του ίσες. Επίσης ξέρουμε ότι το άθροισμα των γωνιών των τριγώνων είναι πάντα 180°. Συνεπώς για να βρούμε πόσο είναι η κάθε γωνία στο ισόπλευρο τρίγωνο αρκεί να κάνουμε μια διαίρεση \(180° : 3 = 60°\). 2. Μπορεί ένα σκαληνό τρίγωνο να είναι και αμβλυγώνιο; > Ναι μπορεί. Ένα σκαληνό τρίγωνο μπορεί να είναι είτε οξυγώνιο, είτε αμβλυγώνιο είτε ορθογώνιο.