## Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες ✏️ ## **Το ίσον (=)** Το **ίσον** είναι το σύμβολο της **ισότητας** και δείχνει πως ό,τι βρίσκεται αριστερά του έχει την ίδια αξία (ή τιμή) με αυτό που βρίσκεται δεξιά του. ### **Παραδείγματα:** - 5 = 2 × 2,5 - 10 + 2 = 4 × 3 ## **Το μεγαλύτερο (>) και το μικρότερο (<)** Το **μεγαλύτερο** (>) και το **μικρότερο** (<) είναι τα σύμβολα της **ανισότητας** και δείχνουν πως ό,τι βρίσκεται αριστερά τους είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο, αντίστοιχα, από ό,τι βρίσκεται δεξιά τους. ### **Παραδείγματα:** - 5 < 2 × 3,5 - 4 + 5 > 6 + 2/5 --- ### 🧠 **Λίγα λόγια παραπάνω:** - Το σύμβολο **"="** μας λέει ότι οι δύο πλευρές μιας εξίσωσης έχουν την ίδια **αξία**. - Τα σύμβολα **">"** και **"<"** μας βοηθούν να καταλάβουμε ποιος αριθμός είναι **μεγαλύτερος** ή **μικρότερος** σε μια σύγκριση. ### 📚 **Πρακτική με παραδείγματα:** 1. **Ανίσωση:** *Ποιο είναι μεγαλύτερο;* - 7 > 3 ✔️ - 5 < 9 ✔️ 2. **Ισότητα:** *Τι αξία έχει το κενό κουτάκι (□);* - 3 + 4 = □ (Απάντηση: 7) ✔️ Δοκιμάστε να φτιάξετε τις δικές σας εξισώσεις και ανισώσεις! 🚀 ## Διερεύνηση 🔍 ### 1. Παρατηρούμε τα στερεά στις παρακάτω ζυγαριές. Οι δύο ζυγαριές ισορροπούν ⚖️. #### α. Παρατηρούμε τη ζυγαριά Α. Ποιο στερεό ζυγίζει περισσότερο; Ο κύβος 🟨 ή η σφαίρα 🔴; Εξηγούμε την απάντησή μας. Κοιτάμε προσεκτικά τη **ζυγαριά Α**. Βλέπουμε ότι **2 κύβοι** ισορροπούν με **3 σφαίρες**. Αυτό σημαίνει ότι **ένας κύβος** ζυγίζει όσο **μιάμιση σφαίρα**! Άρα, **ο κύβος ζυγίζει περισσότερο** από τη σφαίρα! 🎉 #### β. Παρατηρούμε τη ζυγαριά Β. Ποιο στερεό ζυγίζει περισσότερο; Ο κύλινδρος 🟩 ή η σφαίρα 🔴; Εξηγούμε την απάντησή μας. Κοιτάμε τη **ζυγαριά Β**. Βλέπουμε ότι **4 σφαίρες** ισορροπούν με **2 κυλίνδρους** και **2 σφαίρες**. Αν αφαιρέσουμε τις **2 σφαίρες** από τη ζυγαριά, τότε οι **2 κυλίνδροι** ισορροπούν με **2 σφαίρες**. Αυτό σημαίνει ότι **ένας κύλινδρος** ζυγίζει όσο **μία σφαίρα**! Άρα, **ο κύλινδρος και η σφαίρα ζυγίζουν το ίδιο**! ⚖️ #### γ. Πόσο ζυγίζει το κάθε στερεό, αν ο κύλινδρος ζυγίζει 200 γραμμάρια 🟩 = 200 γρ.; Ας δούμε πόσο ζυγίζει το κάθε στερεό: - **Ο κύλινδρος 🟩** ζυγίζει 200 γρ. - **Κάθε σφαίρα 🔴** ζυγίζει 100 γρ. (αφού **1 κύλινδρος** ζυγίζει όσο **2 σφαίρες**) - **Κάθε κύβος 🟨** ζυγίζει 150 γρ. (αφού **1 κύβος** ζυγίζει όσο **1,5 σφαίρα**) ### 2. Παρατηρούμε την παρακάτω ζυγαριά. ⚖️ #### α. Τοποθετούμε το κατάλληλο σύμβολο **<**, **>** ή **=** στην παρακάτω σχέση, για να δηλώσουμε ποια στερεά ζυγίζουν περισσότερο. Βλέπουμε ότι **1 κύλινδρος 🟩** και **2 σφαίρες 🔴** ζυγίζουν **περισσότερο** από **4 σφαίρες 🔴**. Άρα βάζουμε το σύμβολο **>**! 🎯 #### β. Ποια και πόσα στερεά χρειάζεται να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε, ώστε η ζυγαριά να ισορροπήσει; Μπορούμε να κάνουμε δύο πράγματα: - **Α' τρόπος**: Προσθέτουμε **2 σφαίρες** στην αριστερή πλευρά της ζυγαριάς για να ισορροπήσει! ⚖️ - **Β' τρόπος**: Προσθέτουμε **4 σφαίρες** στην αριστερή πλευρά για να ισορροπήσει με την άλλη πλευρά της ζυγαριάς! ⚖️ --- ## Εφαρμογή 📚 ### 1. Να συμπληρώσετε με τον κατάλληλο αριθμό το κουτάκι στην ισότητα 12 + ☐ = 4 × 5 Στην ισότητα, ό,τι βρίσκεται αριστερά από το ίσον πρέπει να έχει την ίδια αξία (τιμή) με ό,τι βρίσκεται δεξιά του. - **Δεξιά από το ίσον** έχουμε: \(4 \times 5 = 20\) - Άρα, **Αριστερά από το ίσον** έχουμε: \(12 + \) ☐ \( = 20\) - Άρα το σωστό νούμερο για το κουτάκι είναι **8**. ### 2. Να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες των πράξεων και να συμπληρώσετε τα κουτάκια με τους κατάλληλους αριθμούς. Να εξηγήσετε πώς σκεφτήκατε. #### α. Αν 7 + 8 = 20 - 5, τότε ☐ = 7 + 8. - Η ισότητα δεν αλλάζει αν αντιστρέψουμε τα μέρη της. - Άρα, το σωστό νούμερο για το κουτάκι είναι **15**. #### β. Αν 11 + 6 = 29 - 12 και 29 - 12 = 4 + 13, τότε 11 + 6 = 4 + ☐. - Αν έχουμε την ισότητα α=β (όπου α = 11+6 και β = 29-12) και β = γ (όπου γ = 4+13), τότε ισχύει ότι α=β=γ. - Άρα το σωστό νούμερο για το κουτάκι είναι **13**. #### γ. (5+7) + ☐ = 5 + (7 + 4) - Σε αυτή την ισότητα με προσθέσεις, μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των αριθμών μέσα στην παρένθεση. Η πρόσθεση δεν αλλάζει. - Άρα το σωστό νούμερο για το κουτάκι είναι **4**. ### 3. Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς με τους οποίους μπορείτε να συμπληρώσετε το κουτάκι στην ανισότητα 9 + ☐ < 23 - 7. Να εξηγήσετε πώς σκεφτήκατε. - Το δεύτερο μέρος της ανισότητας κάνει \(23 - 7 = 16\). - Επομένως \(9 + ☐ < 16\). - Άρα μπορούμε να συμπληρώσουμε το κουτάκι με έναν από τους αριθμούς: **0, 1, 2, 3, 4, 5, 6**. --- ## Αναστοχασμός 🧠 ### 1. Ο Νίκος, για να προσθέσει \(3+5+3+1\), έγραψε: \(3+5=8\), \(8+3=11\), \(11+1=12\). Αν και βρήκε το σωστό αποτέλεσμα, ποιο είναι το λάθος που έχει κάνει; Εξηγούμε πώς σκέφτηκε. Ο Νίκος έκανε την πρόσθεση σωστά, αλλά δεν ξανάγραψε τα **3+1** και δεν τα υπολόγισε στην αρχή. Έτσι, έχασε την πρόσθεση των υπόλοιπων αριθμών που δεν είχε υπολογίσει. ### 2. Γράφουμε αριθμούς με τους οποίους μπορούμε να συμπληρώσουμε το κουτάκι στην ανισότητα \(6+ \) ☐ \(>10\). Εξηγούμε τη σκέψη μας. Για να είναι σωστή η ανισότητα, το αποτέλεσμα πρέπει να είναι μεγαλύτερο από **10**. Άρα μπορούμε να συμπληρώσουμε το κουτάκι με αριθμούς μεγαλύτερους του **4**, όπως **5, 6, 7** κλπ. 🎯