Βιβλίο και Λύσεις

### Βασικές Μαθηματικές Έννοιες και Διεργασίες 🧮 #### 📐 **Γεωμετρικό Μοτίβο** - Ένα **γεωμετρικό μοτίβο** είναι ένα σχέδιο που δημιουργείται με την **επανάληψη** ενός στοιχείου του. - **Παράδειγμα**: - 🟥 🟨🟨 🟥 🟨🟨 🟥 🟨🟨 - **Τι βλέπουμε εδώ;** - Το **κόκκινο τετράγωνο** 🟥 επαναλαμβάνεται και ακολουθείται από **δύο κίτρινα τετράγωνα** 🟨🟨. - Αυτό το μοτίβο συνεχίζεται ξανά και ξανά! #### 🔢 **Αριθμητικό Μοτίβο** - Ένα **αριθμητικό μοτίβο** δημιουργείται με μια σειρά αριθμών, όπου υπάρχει μια **σταθερή σχέση** μεταξύ των αριθμών και αυτή η σχέση **επαναλαμβάνεται**. - **Παράδειγμα 1**: - **3, 6, 9, 12, 15, 18, ...** - **Τι παρατηρούμε;** - Κάθε φορά **προσθέτουμε 3** για να βρούμε τον επόμενο αριθμό. - **Παράδειγμα 2**: - **1, 2, 1, 2, 1, 2, ...** - **Τι συμβαίνει εδώ;** - Οι αριθμοί **1** και **2** επαναλαμβάνονται ξανά και ξανά. ### Πώς να Καταλάβεις τα Μοτίβα 📚 - **Γεωμετρικά Μοτίβα**: Κοίταξε τα σχέδια και προσπάθησε να βρεις ποιο στοιχείο επαναλαμβάνεται. - **Αριθμητικά Μοτίβα**: Κοίταξε τη σειρά των αριθμών και δες αν υπάρχει κάποιος κανόνας, όπως η προσθήκη ενός αριθμού κάθε φορά. ### Γιατί είναι Σημαντικά τα Μοτίβα; 🧠 - Τα μοτίβα μας βοηθούν να **προβλέπουμε** τι θα συμβεί στη συνέχεια. - Είναι σαν **παιχνίδια** με αριθμούς και σχήματα που μας βοηθούν να καταλάβουμε καλύτερα τα μαθηματικά! Ας εξασκηθούμε λοιπόν, παρατηρώντας και δημιουργώντας μοτίβα! 🎨🔢 ### Διερεύνηση 1: Μοτίβα σε Κορδέλα 🎀 #### 1. Μια κορδέλα που αποτελείται από 20 τετραγωνάκια διακοσμείται με σχήματα. **α. Βρίσκουμε το τμήμα που επαναλαμβάνεται:** - Το μοτίβο που επαναλαμβάνεται είναι: **Τρίγωνο** 🔺 - **Κύκλος** ⚪ - **Τετράγωνο** 🔷 **β. Με ποιο σχήμα θα είναι διακοσμημένο το τελευταίο τετραγωνάκι της κορδέλας;** - **Απάντηση**: Δεδομένου ότι το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 3 σχήματα, και η κορδέλα έχει 20 θέσεις: - 20 ÷ 3 = 18 πλήρεις επαναλήψεις και περισσεύουν 2 θέσεις. - Άρα, το τελευταίο τετραγωνάκι θα είναι διακοσμημένο με **Κύκλο** ⚪. ### Διερεύνηση 2: Πυραμίδες από Τενεκεδάκια 🏗️ **α. Αντρέας και Νίκος βάζουν τενεκεδάκια σε σειρές για να φτιάξουν πυραμίδες.** - Για κάθε πυραμίδα, οι σειρές αυξάνονται σε αριθμό τενεκεδακίων ανά σειρά: - 1η σειρά: 1 τενεκεδάκι - 2η σειρά: 1 + 2 τενεκεδάκια - 3η σειρά: 1 + 2 + 3 τενεκεδάκια - ... **β. Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστούν για να φτιάξουν:** - **5 σειρές**: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = **35 τενεκεδάκια** - **6 σειρές**: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = **56 τενεκεδάκια** - **7 σειρές**: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 = **84 τενεκεδάκια** ### Εφαρμογή: Παρατήρηση Μοτίβων 🔍 **α. Περιγραφή του μοτίβου:** - Το μοτίβο αποτελείται από την επανάληψη μιας πεντάδας σχημάτων με την εξής σειρά: **Τρίγωνο** 🔺 - **Ορθογώνιο** ▭ - **Κύκλος** ⚪ - **Τετράγωνο** 🔷 - **Εξάγωνο** ⬡. **β. Ποιο είναι το 20ο σχήμα του μοτίβου;** - Το 20ο σχήμα είναι **Εξάγωνο** ⬡, γιατί το μοτίβο ολοκληρώνεται και αρχίζει ξανά μετά από κάθε 5 σχήματα. **γ. Αν το μοτίβο έχει 29 σχήματα, πόσοι κύκλοι υπάρχουν σε αυτό;** - **α' τρόπος**: Αν το μοτίβο είχε 30 σχήματα, θα υπήρχαν 6 πλήρεις πεντάδες με 6 κύκλους ⚪. Άρα, με 29 σχήματα υπάρχουν **6 κύκλοι**. - **β' τρόπος**: Με 29 σχήματα, το μοτίβο επαναλαμβάνεται 5 φορές και ένα υπόλοιπο σχήμα, άρα **6 κύκλοι**. ### Αναστοχασμός: Κατανόηση Αριθμητικών Μοτίβων 🔢 - Η Αγγελική δημιούργησε το αριθμητικό μοτίβο **3 → 6 → 12 → ...**. - Ο κανόνας για το μοτίβο είναι **πολλαπλασιασμός επί 2** κάθε φορά. Άρα, το επόμενο αριθμός θα είναι **12 × 2 = 24**. ### Παρατήρηση Μοτίβων στη Φύση και στην Τέχνη 🌻🎨 - **Μοτίβο στη φύση**: Το μοτίβο που βλέπουμε στον ηλίανθο, όπου τα σπόρια δημιουργούν έναν επαναλαμβανόμενο σχηματισμό. - **Μοτίβο στην τέχνη**: Σχέδια που επαναλαμβάνονται στα πλακάκια με όμορφα γεωμετρικά σχήματα. **Συζήτηση**: Παρατήρησε τα μοτίβα γύρω σου και προσπάθησε να καταλάβεις πώς δημιουργούνται και επαναλαμβάνονται! 🎉