Λύσεις Σχολικού - Ενότητα 3.4

<AccordionRoot> <AccordionItem value='ex1'> <AccordionTrigger> Άσκηση 1 </AccordionTrigger> <AccordionContent> <!-- wp:paragraph --> <p><em>Σχεδίασε ένα ορθογώνιο, ένα ρόμβο και ένα τετράγωνο με τις διαγώνιες τους και εξέτασε εάν τα τρίγωνα στα οποία χωρίζεται το καθένα από τις διαγώνιες είναι ίσα.</em></p> <!-- /wp:paragraph --> <br /><br /> <!-- wp:paragraph --> <p><strong>Απάντηση</strong></p> <!-- /wp:paragraph --> <br /><br /> <Image invert id="ad5b1d1b-7061-4f59-02b0-667540d30200"/> <br /><br /> <!-- wp:paragraph --> <p>Xρησιμοποιώντας διαφανές χαρτί συμπεραίνουμε ότι : </p> <!-- /wp:paragraph --> <br /> <!-- wp:list --> <ul><li>Στο ορθογώνιο υπάρχουν 4 ίσα τρίγωνα που περιλαμβάνει το καθένα από 2 πλευρές : ΑΒΓ = ΒΓΔ = ΑΔΓ = ΑΔΒ και 2 ζεύγη ίσων τριγώνων στα οποία το καθένα τρίγωνο περιλαμβάνει μία πλευρά του: ΑΟΒ = ΔΟΓ, ΑΟΔ = ΒΟΓ.</li></ul> <!-- /wp:list --> <br /> <!-- wp:list --> <ul><li>Στον ρόμβο υπάρχουν 4 ίσα τρίγωνα που το καθένα περιλαμβάνει μία πλευρά του ρόμβου : ΕΟ΄Η = ΗΟ΄Θ = ΘΟ΄Ζ = ΖΟ΄Ε και 2 ζεύγη ίσων τριγώνων που το καθένα περιλαμβάνει 2 πλευρές του : ΕΖΗ = ΖΗΘ, ΕΖΘ = ΕΗΘ.</li></ul> <!-- /wp:list --> <br /> <!-- wp:list --> <ul><li>Στο τετράγωνουπάρχουν 2 τετράδες ίσων μεταξύ τους τριγώνων : ΙΟ΄΄Μ = ΜΟ΄΄Λ = ΛΟ΄΄Κ = ΚΟ΄΄Ικαι ΙΟ΄΄Κ = ΚΟ΄΄Λ = ΛΟ΄΄Μ = ΜΟ΄΄Ι.</li></ul> <!-- /wp:list --> </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='ex2'> <AccordionTrigger> Άσκηση 2 </AccordionTrigger> <AccordionContent> <!-- wp:paragraph --> <p><em>Σχεδίασε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ και με διάμετρο τη διαγώνιο του ΑΓ γράψε ένα κύκλο. Δικαιολόγησε το γεγονός ότι ο κύκλος αυτός περνάει από όλες τις κορυφές του ορθογωνίου.</em></p> <!-- /wp:paragraph --> <br /><br /> <!-- wp:paragraph --> <p><strong>Απάντηση</strong></p> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> <p>Στο ορθογώνιο ΑΒΓΔ οι διαγώνιοι διχοτομούνται αλλά είναι και ίσες. Οπότε : ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ = ΟΔ. </p> <!-- /wp:paragraph --> <br /><br /> <Image invert id="75507a47-c6c5-4eef-8290-692684728f00"/> <br /><br /> Οπότε, όλες οι κορυφές απέχουν ίση απόσταση από το Ο. Δεδομένου ότι ο κύκλος είναι το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από το κέντρο καταλαβαίνουμε ότι ο κύκλος περνάει από τις κορυφές του ΑΒΓΔ. </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='ex3'> <AccordionTrigger> Άσκηση 3 </AccordionTrigger> <AccordionContent> <!-- wp:paragraph --> <p><em>Σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ φέρε τη διαγώνιο ΒΔ και μετά σύγκρινε τις αποστάσεις των κορυφών Α και Γ απ' αυτή.</em></p> <!-- /wp:paragraph --> <br /><br /> <!-- wp:paragraph --> <p><strong>Απάντηση</strong></p> <br /><br /> <Image invert id="82c20648-4cbe-49e5-81de-2e7f420b6400"/> <br /><br /> Η απόσταση του Α από την ΒΔ είναι το ΑΚ και η απόσταση του Γ από την ΒΔ είναι το ΓΛ. Μετρώντας τες με το υποδεκάμετρο παρατηρούμε ότι είναι ίσες. ΑΚ = ΓΛ. <!-- /wp:paragraph --> </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='ex4'> <AccordionTrigger> Άσκηση 4 </AccordionTrigger> <AccordionContent> <!-- wp:paragraph --> <p><em>Σχεδίασε ένα παραλληλόγραμμο και από τις κορυφές του φέρε παράλληλες ευθείες προς τις διαγωνίους του. Τι παρατηρείς;</em></p> <!-- /wp:paragraph --> <br /><br /> <!-- wp:paragraph --> <p><strong>Απάντηση</strong></p> <!-- /wp:paragraph --> <br /><br /> <Image invert id="af8db297-3e97-4fac-40c8-22d585ee5a00"/> <br /><br /> Φέρνουμε την ε1// ΑΓ και ε2// ΑΓ άρα και ε1// ε2. Επίσης, ε3// ΔΒ, ε4// ΔΒ άρα και ε3// ε4. Το τετράπλευρο ΕΖΗΘ που σχηματίζεται είναι παραλληλόγραμμο. </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='ex5'> <AccordionTrigger> Άσκηση 5 </AccordionTrigger> <AccordionContent> <!-- wp:paragraph --> <p><em>Σχεδίασε τις διχοτόμους των γωνιών ενός πλαγίου παραλληλογράμμου. Τι παρατηρείς για το σχήμα που δημιουργείται απ' αυτές, εάν προεκταθούν;</em></p> <!-- /wp:paragraph --> <br /><br /> <!-- wp:paragraph --> <p><strong>Απάντηση</strong></p> <!-- /wp:paragraph --> <br /><br /> <Image invert id="02feb12c-e863-4c1a-1bbb-3bf9cb94df00"/> <br /><br /> <!-- wp:paragraph --> <p>Παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο ΕΗΖΘ είναι ορθογώνιο. Και αυτό γιατί οι γωνίες Α και Δ έχουν άθροισμα 180^ο και ΑΕ , ΔΕ διχοτόμοι. Οπότε οι γωνίες Α1 και Δ1 έχουν άθροισμα 90^ο. Άρα η γωνία Ε1 θα έχει μέτρο 90^ο (αφού το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ΑΕΔ ισούται με 180^ο). Συμπεραίνουμε λοιπόν πως η Ε2 θα είναι ίση με 90^ο (ως κατακορυφήν της Ε1).</p> <!-- /wp:paragraph --> <br /> <!-- wp:paragraph --> <p>Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι οι γωνίες Η, Ζ και Θ είναι ορθές.</p> <!-- /wp:paragraph --> </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='ex6'> <AccordionTrigger> Άσκηση 6 </AccordionTrigger> <AccordionContent> <!-- wp:paragraph --> <p><em>Σχεδίασε τις διχοτόμους των γωνιών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Τι παρατηρείς για το σχήμα που δημιουργείται απ' αυτές εάν προεκταθούν; Επίσης, τις διχοτόμους των γωνιών (α) ενός τετραγώνου και (β) ενός ρόμβου. Τι παρατηρείς;</em></p> <!-- /wp:paragraph --> <br /><br /> <!-- wp:paragraph --> <p><strong>Απάντηση</strong></p> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> <p>Κατασκευάζουμε τις διχοτόμους των γωνιών ενός ορθογωνίουκαι οι τεμνόμενες σχηματίζουν <strong>τετράγωνο</strong>.</p> <!-- /wp:paragraph --> <br /><br /> <Image invert id="0a746def-81f2-4d41-4b07-fecb03b4eb00"/> <br /><br /> α) Φτιάχνουμε τις διχοτόμους των γωνιών ενός τετραγώνου και παρατηρούμε ότι αυτές είναι οι διαγώνιοί του. <br /><br /> <Image invert id="68bd142e-4417-40aa-c63c-8e5813453900"/> <br /><br /> β) Φτιάχνουμε τις διχοτόμους των γωνιών ενός ρόμβουκαι παρατηρούμε ότι αυτές είναι οι διαγώνιές του. <br /><br /> <Image invert id="8ba44421-4e52-47be-59e5-c645d4b0df00"/> <br /><br /> </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='ex7'> <AccordionTrigger> Άσκηση 7 </AccordionTrigger> <AccordionContent> <!-- wp:paragraph --> <p><em>Σχεδίασε τα ύψη των τριγώνων ΑΒΔ και ΔΒΓ, τα οποία σχηματίζονται, όταν φέρεις τη διαγώνιο ΒΔ του τραπεζίου ΑΒΓΔ. Μέτρησε τα ύψη των δύο αυτών τριγώνων με το υποδεκάμετρο. Τι παρατηρείς; (Δικαιολόγησε την απάντησή σου).</em></p> <!-- /wp:paragraph --> <br /><br /> <!-- wp:paragraph --> <p><strong>Απάντηση</strong></p> <!-- /wp:paragraph --> <br /><br /> <Image invert id="e52e509c-e71f-4e65-be41-c1c210a8a000"/> <br /><br /> <Alert title='Παρατήρηση' variant='default'> Είναι ίσα ως αποστάσεις μεταξύ παραλλήλων ευθειών. </Alert> </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='ex8'> <AccordionTrigger> Άσκηση 8 </AccordionTrigger> <AccordionContent> <!-- wp:paragraph --> <p><em>Πάνω σε δύο μη αντικείμενες ημιευθείες Οx και Oy, πάρε τα σημεία Α και Β αντίστοιχα έτσι, ώστε OA = OB. Από το Α φέρε Ay'//Oy και από το Β την Bx'//Ox. Ονόμασε Κ το σημείο τομής των Αy' και Βx'. Φέρε τις διαγώνιες του ΑΟΒΚ και διαπίστωσε τη σχετική τους θέση. Επίσης, σύγκρινε μεταξύ τους τις αποστάσεις του Ο από τις ευθείες Αy' και Bx' και του Κ από τις Ox και Οy.</em></p> <!-- /wp:paragraph --> <br /><br /> <!-- wp:paragraph --> <p><strong>Απάντηση</strong></p> <!-- /wp:paragraph --> <br /><br /> <Image invert id="fe56d22c-5f90-4ccc-c31d-7e6ad8c14300"/> <br /><br /> <Alert title='Παρατήρηση' variant='default'> Το ΑΟΒΚ είναι ρόμβος, οπότε οι διαγώνιές του διχοτομούνται και τέμνονται κάθετα. Επιπλέον είναι και ίσες. </Alert> </AccordionContent> </AccordionItem> <AccordionItem value='ex9'> <AccordionTrigger> Άσκηση 9 </AccordionTrigger> <AccordionContent> <!-- wp:paragraph --> <p><em>Σχεδίασε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ έτσι, ώστε ανά δύο οι διαδοχικές πλευρές του να είναι κάθετες. Αν ΑΒ = 3 cm και ΒΓ = 4 cm. Να βρεις: (α) το μήκος των ΓΔ και ΑΔ και (β) το μήκος των ΒΔ και ΑΓ, με τη βοήθεια του υποδεκάμετρου. Τι παρατηρείς;</em></p> <!-- /wp:paragraph --> <br /><br /> <!-- wp:paragraph --> <p><strong>Απάντηση</strong></p> <br /><br /> <Image invert id="e355b41b-0719-4e3c-1eec-1d7750df2600"/> <br /><br /> <!-- wp:paragraph --> <p>α) Είναι ΑΒ <span>⊥</span> ΒΓ και ΔΓ ⊥ ΒΓ οπότε και ΑΒ // ΔΓ και επειδή ΑΔ ⊥ΑΒ και ΒΓ⊥ΑΒ θα είναι ΑΔ // ΒΓ. Οπότε ΓΔ = ΑΒ = 3 cm ως απόσταση μεταξύ των ΑΔ//ΒΓ, αλλά και ΑΔ = ΒΓ = 4 cm ως απόσταση μεταξύ των ΑΒ // ΔΓ. Το ΑΒΓΔ έχει τις απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες. </p> <!-- /wp:paragraph --> <br /> <!-- wp:paragraph --> <p>β) Με το υποδεκάμετρο βρίσκουμε ότι ΒΔ = ΑΓ = 5 cm.</p> <!-- /wp:paragraph --> <!-- /wp:paragraph --> </AccordionContent> </AccordionItem> </AccordionRoot>