Σχέση Ενέργειας - Ορμής ⚡

Στη Νευτώνεια Μηχανική η ενέργεια και η ορμή ενός σώματος συνδέονται μέσω της μάζας του. Στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, η ολική ενέργεια $E$ και η ορμή $p$ ενός σωματιδίου συνδέονται με μία θεμελιώδη σχέση, στην οποία υπεισέρχεται η μάζα ηρεμίας $m_0$ και η ταχύτητα του φωτός $c$ . Η σχέση αυτή αποκαλύπτει και τη δυνατότητα ύπαρξης άμαζων σωματιδίων, όπως το φωτόνιο. 🌌

Οι σχετικιστικές σχέσεις αφετηρίας

Υπενθυμίζουμε τα δύο θεμελιώδη μεγέθη από τις προηγούμενες ενότητες. Για σωματίδιο μάζας ηρεμίας $m_0$ που κινείται με ταχύτητα $\upsilon$ ορίζουμε τον παράγοντα του Lorentz:

\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}

Η ολική (σχετικιστική) ενέργεια και η ορμή είναι:

E=\gamma m_0 c^{2}=\dfrac{m_0 c^{2}}{\sqrt{1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}

p=\gamma m_0 \upsilon=\dfrac{m_0 \upsilon}{\sqrt{1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}

Ενέργεια ηρεμίας 🧊

Για $\upsilon=0$ είναι $\gamma=1$ , οπότε η ενέργεια γίνεται η ενέργεια ηρεμίας:

E_0=m_0 c^{2}

Είναι η ενέργεια που αντιστοιχεί στη μάζα ηρεμίας του σώματος, ακόμη και όταν αυτό είναι ακίνητο.

Η σχέση Ενέργειας - Ορμής

Θεμελιώδης σχέση Ενέργειας - Ορμής 🎯

Η ολική ενέργεια $E$ και το μέτρο της ορμής $p$ ενός σωματιδίου με μάζα ηρεμίας $m_0$ συνδέονται με τη σχέση:

E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_0 c^{2}\right)^{2}

ισοδύναμα:

E^{2}=p^{2}c^{2}+m_0^{2}c^{4}

Η σχέση αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη, γιατί συνδέει την ενέργεια με την ορμή χωρίς να εμφανίζεται ρητά η ταχύτητα $\upsilon$ ή ο παράγοντας $\gamma$ . Επιπλέον, και τα τρία μεγέθη $E^2$ , $p^2c^2$ και $m_0^2c^4$ μπορούν να παρασταθούν ως οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου: οι κάθετες πλευρές αντιστοιχούν στους όρους $pc$ και $m_0c^2$ , ενώ η υποτείνουσα στην ολική ενέργεια $E$ , αφού $E^{2}=(pc)^{2}+(m_0c^{2})^{2}$ είναι ακριβώς το Πυθαγόρειο θεώρημα για αυτό το τρίγωνο. 📐

Απόδειξη της σχέσης 🔬

Ξεκινάμε από τις σχέσεις της ενέργειας και της ορμής. Υψώνουμε στο τετράγωνο:

E^{2}=\gamma^{2}m_0^{2}c^{4}

p^{2}c^{2}=\gamma^{2}m_0^{2}\upsilon^{2}c^{2}

Αφαιρούμε κατά μέλη:

E^{2}-p^{2}c^{2}=\gamma^{2}m_0^{2}c^{4}-\gamma^{2}m_0^{2}\upsilon^{2}c^{2}

Βγάζουμε κοινό παράγοντα $\gamma^{2}m_0^{2}c^{2}$ :

E^{2}-p^{2}c^{2}=\gamma^{2}m_0^{2}c^{2}\left(c^{2}-\upsilon^{2}\right)

Αντικαθιστούμε $\gamma^{2}=\dfrac{1}{1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}=\dfrac{c^{2}}{c^{2}-\upsilon^{2}}$ :

E^{2}-p^{2}c^{2}=\dfrac{c^{2}}{c^{2}-\upsilon^{2}}\,m_0^{2}c^{2}\left(c^{2}-\upsilon^{2}\right)=m_0^{2}c^{4}

Άρα:

E^{2}=p^{2}c^{2}+m_0^{2}c^{4}=(pc)^{2}+\left(m_0 c^{2}\right)^{2}

που είναι η ζητούμενη σχέση. ✅

Αναλλοίωτη ποσότητα 🔒

Το μέγεθος

E^{2}-p^{2}c^{2}=m_0^{2}c^{4}

έχει την ίδια τιμή σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, αφού η μάζα ηρεμίας $m_0$ είναι αναλλοίωτη. Ενώ δηλαδή το $E$ και το $p$ αλλάζουν από σύστημα σε σύστημα, ο συνδυασμός τους $E^{2}-p^{2}c^{2}$ παραμένει σταθερός.

Άμαζα σωμάτια — Το φωτόνιο 💡

Θέτουμε στη θεμελιώδη σχέση $m_0=0$ (σωματίδιο με μηδενική μάζα ηρεμίας):

E^{2}=(pc)^{2}+0 \;\Rightarrow\; E^{2}=p^{2}c^{2}

Επειδή $E>0$ και $p>0$ , παίρνουμε:

Σχέση Ενέργειας - Ορμής για άμαζα σωμάτια ☀️

E=pc

ισοδύναμα, η ορμή του φωτονίου είναι:

p=\dfrac{E}{c}

Σύνδεση με τη συχνότητα και το μήκος κύματος. Από την κβαντική φυσική, η ενέργεια ενός φωτονίου συχνότητας $f$ (και μήκους κύματος $\lambda$ ) είναι $E=hf=\dfrac{hc}{\lambda}$ , όπου $h$ η σταθερά του Planck. Συνδυάζοντας με $p=\dfrac{E}{c}$ :

p=\dfrac{hf}{c}=\dfrac{h}{\lambda}

Προσοχή ⚠️

Για να ισχύει $E=pc$ πρέπει η μάζα ηρεμίας να είναι ακριβώς μηδέν. Δεν αρκεί απλώς να είναι μικρή.
Ένα άμαζο σωμάτιο δεν μπορεί να είναι ακίνητο: κινείται πάντα με την ταχύτητα του φωτός $c$ σε κάθε αδρανειακό σύστημα.
Η σχέση $E=\gamma m_0 c^2$ δεν μπορεί να εφαρμοστεί άμεσα στο φωτόνιο, γιατί καταλήγει στην απροσδιόριστη μορφή $0\cdot\infty$ ( $m_0=0$ και $\gamma\to\infty$ αφού $\upsilon=c$ ). Γι' αυτό χρησιμοποιούμε τη σχέση $E=pc$ .

Όρια και έλεγχος της σχέσης 🧪

Ακίνητο σώμα ( $p=0$ ): η σχέση δίνει $E^{2}=m_0^{2}c^{4}$ , δηλαδή $E=m_0c^{2}$ , την ενέργεια ηρεμίας. ✔️

Μη σχετικιστικό όριο ( $\upsilon\ll c$ , σώμα με μάζα $m_0$ ): Η ολική ενέργεια είναι το άθροισμα της ενέργειας ηρεμίας και της κινητικής ενέργειας, $E=m_0c^{2}+K$ . Όταν η ορμή είναι μικρή ( $pc\ll m_0c^{2}$ ), η σχέση $E^{2}=(pc)^{2}+(m_0c^{2})^{2}$ προσεγγίζεται από:

E\approx m_0 c^{2}+\dfrac{p^{2}}{2m_0}

όπου ο όρος $\dfrac{p^{2}}{2m_0}$ είναι ακριβώς η κλασική κινητική ενέργεια. Έτσι η σχετικιστική σχέση συνδέεται ομαλά με τη Νευτώνεια Μηχανική. 🔗

Κινητική ενέργεια 🏃

Η κινητική ενέργεια ορίζεται ως η διαφορά της ολικής ενέργειας από την ενέργεια ηρεμίας:

K=E-E_0=E-m_0c^{2}=(\gamma-1)m_0c^{2}

Σύνοψη τύπων 📋

Μέγεθος / Σχέση	Τύπος
Ολική ενέργεια	$E=\gamma m_0 c^{2}$
Ορμή	$p=\gamma m_0 \upsilon$
Ενέργεια ηρεμίας	$E_0=m_0 c^{2}$
Σχέση Ενέργειας - Ορμής	$E^{2}=(pc)^{2}+(m_0c^{2})^{2}$
Αναλλοίωτο	$E^{2}-p^{2}c^{2}=m_0^{2}c^{4}$
Άμαζο σωμάτιο	$E=pc$
Ορμή φωτονίου	$p=\dfrac{E}{c}=\dfrac{hf}{c}=\dfrac{h}{\lambda}$
Κινητική ενέργεια	$K=(\gamma-1)m_0c^{2}$

Να θυμάσαι ✅

Η σχέση $E^{2}=(pc)^{2}+(m_0c^{2})^{2}$ ισχύει για κάθε σωμάτιο, με ή χωρίς μάζα.
Συνδέει $E$ και $p$ χωρίς την ταχύτητα.
Για $m_0=0$ δίνει $E=pc$ (φωτόνιο), για $p=0$ δίνει $E=m_0c^{2}$ (ηρεμία).