Σχετικιστική Ενέργεια ⚡

Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας, η ταύτιση της μάζας με την αδράνεια οδηγεί σε μια από τις πιο βαθιές ιδέες της φυσικής: τη σχέση ενέργειας και μάζας. Στην ενότητα αυτή θα δούμε πώς η ενέργεια ενός σώματος συνδέεται με τη μάζα ηρεμίας του, ποια είναι η ενέργεια που έχει ένα σώμα ακόμα και όταν ηρεμεί, και πώς προκύπτει η σχετικιστική κινητική ενέργεια.

Σύνδεση με το προηγούμενο 🔗

Όπως είδαμε στη σχετικιστική ορμή, η ορμή ενός σώματος που κινείται με ταχύτητα $\upsilon$ δίνεται από τη σχέση

p=\gamma m_0\upsilon ,\qquad \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\upsilon^2}{c^2}}}

όπου $m_0$ η μάζα ηρεμίας και $\gamma$ ο παράγοντας Lorentz. Η ίδια λογική, εφαρμοσμένη στο θεώρημα έργου–ενέργειας, οδηγεί στις σχέσεις της ενέργειας.

Ολική σχετικιστική ενέργεια 🌍

Ο Αϊνστάιν έδειξε ότι σε ένα σώμα μάζας ηρεμίας $m_0$ που κινείται με ταχύτητα $\upsilon$ αντιστοιχεί ολική ενέργεια:

Ολική ενέργεια

E=\gamma m_0c^2=\dfrac{m_0c^2}{\sqrt{1-\dfrac{\upsilon^2}{c^2}}}

όπου $c$ η ταχύτητα του φωτός στο κενό.

Ορισμός. Η ποσότητα $E=\gamma m_0c^2$ ονομάζεται ολική (σχετικιστική) ενέργεια του σώματος. Περιλαμβάνει τόσο την ενέργεια που σχετίζεται με την κίνηση όσο και την ενέργεια που οφείλεται απλώς στην ύπαρξη μάζας.

Σχετικιστική μάζα (παρατήρηση συμβολισμού) 🧮

Συχνά ορίζεται η σχετικιστική μάζα $m=\gamma m_0$ , οπότε η ολική ενέργεια γράφεται στην κομψή μορφή

E=mc^2 .

Με τον ίδιο συμβολισμό η ορμή γίνεται $p=m\upsilon$ . Πρόσεξε ότι η μάζα ηρεμίας $m_0$ είναι σταθερή, ενώ η σχετικιστική μάζα $m$ αυξάνεται με την ταχύτητα.

Ενέργεια ηρεμίας 💎

Θέτοντας $\upsilon=0$ στην ολική ενέργεια, έχουμε $\gamma=1$ και προκύπτει η ενέργεια ηρεμίας:

Ενέργεια ηρεμίας

E_0=m_0c^2

Ορισμός. Η ενέργεια ηρεμίας $E_0=m_0c^2$ είναι η ενέργεια που έχει ένα σώμα όταν ηρεμεί, λόγω και μόνο της μάζας ηρεμίας του.

Ριζοσπαστική ιδέα ⚠️

Η ύπαρξη της ενέργειας ηρεμίας είναι μια εντελώς νέα ιδέα σε σχέση με την κλασική φυσική. Στην κλασική μηχανική ένα ακίνητο σώμα έχει μηδενική κινητική ενέργεια, ενώ στη σχετικότητα κατέχει τεράστιο απόθεμα ενέργειας $E_0=m_0c^2$ , λόγω μόνο της μάζας του. Επειδή το $c^2$ είναι τεράστιο ( $c\approx 3\times10^{8}\ \mathrm{m/s}$ ), ακόμη και μικρή μάζα αντιστοιχεί σε τεράστια ενέργεια.

Σχετικιστική κινητική ενέργεια 🚀

Η κινητική ενέργεια ενός σώματος ορίζεται ως η διαφορά της ολικής ενέργειάς του από την ενέργεια ηρεμίας του:

Κινητική ενέργεια

K=E-E_0=\gamma m_0c^2-m_0c^2=(\gamma-1)m_0c^2

Δηλαδή η ολική ενέργεια διασπάται σε δύο όρους:

E=E_0+K=m_0c^2+(\gamma-1)m_0c^2 .

Προσοχή: όχι πια $\tfrac{1}{2}m\upsilon^2$ ⚠️

Στη σχετικότητα η κινητική ενέργεια δεν δίνεται από τον κλασικό τύπο $K=\tfrac{1}{2}m_0\upsilon^2$ . Ο κλασικός τύπος είναι μόνο μια προσέγγιση που ισχύει για μικρές ταχύτητες ( $\upsilon\ll c$ ).

Όριο μικρών ταχυτήτων (αντιστοιχία με την κλασική μηχανική) 🔬

Για $\upsilon\ll c$ μπορούμε να αναπτύξουμε τον παράγοντα $\gamma$ με προσέγγιση:

\gamma=\left(1-\dfrac{\upsilon^2}{c^2}\right)^{-1/2}\approx 1+\dfrac{1}{2}\dfrac{\upsilon^2}{c^2}.

Αντικαθιστώντας στην κινητική ενέργεια:

K=(\gamma-1)m_0c^2\approx\left(\dfrac{1}{2}\dfrac{\upsilon^2}{c^2}\right)m_0c^2=\dfrac{1}{2}m_0\upsilon^2 .

Πόρισμα — Αρχή της αντιστοιχίας ✅

Στο όριο των μικρών ταχυτήτων η σχετικιστική κινητική ενέργεια $K=(\gamma-1)m_0c^2$ ανάγεται στην κλασική $K=\tfrac{1}{2}m_0\upsilon^2$ . Έτσι η σχετικότητα περιλαμβάνει τη νευτώνεια μηχανική ως ειδική περίπτωση.

Ισοδυναμία μάζας – ενέργειας 🪙

Η σχέση $E_0=m_0c^2$ εκφράζει την ισοδυναμία μάζας και ενέργειας: μάζα και ενέργεια είναι δύο όψεις του ίδιου φυσικού μεγέθους και μπορούν να μετατρέπονται η μία στην άλλη.

Αρχή ισοδυναμίας μάζας–ενέργειας

Σε κάθε μεταβολή της ενέργειας ηρεμίας ενός συστήματος κατά $\Delta E$ αντιστοιχεί μεταβολή της μάζας ηρεμίας κατά

\Delta m=\dfrac{\Delta E}{c^2}.

Αντίστροφα, σε «εξαφάνιση» μάζας $\Delta m$ αντιστοιχεί απελευθέρωση ενέργειας $\Delta E=\Delta m\,c^2$ .

Συνέπειες 💥

Σε πυρηνικές αντιδράσεις (σχάση, σύντηξη) ένα μέρος της μάζας ηρεμίας μετατρέπεται σε ενέργεια. Η διαφορά μάζας μεταξύ αντιδρώντων και προϊόντων (το «έλλειμμα μάζας») εκλύεται ως ενέργεια.
Σε αντιδράσεις εξαΰλωσης σωματιδίου–αντισωματιδίου, ολόκληρη η μάζα ηρεμίας μετατρέπεται σε ενέργεια (π.χ. φωτόνια).
Στον Ήλιο και τα άστρα, η σύντηξη υδρογόνου σε ήλιο μετατρέπει μάζα σε ακτινοβολία, σύμφωνα με την $E=mc^2$ .

Σχέση ενέργειας – ορμής 🧭

Συνδυάζοντας την ολική ενέργεια $E=\gamma m_0c^2$ με την ορμή $p=\gamma m_0\upsilon$ , προκύπτει μια θεμελιώδης σχέση που δεν περιέχει ρητά την ταχύτητα.

Θεμελιώδης σχέση ενέργειας–ορμής

E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2

Απόδειξη (στο εύρος του βιβλίου). Έχουμε

E^2=\gamma^2 m_0^2c^4,\qquad (pc)^2=\gamma^2 m_0^2\upsilon^2c^2 .

Αφαιρώντας:

E^2-(pc)^2=\gamma^2 m_0^2c^4-\gamma^2 m_0^2\upsilon^2c^2=\gamma^2 m_0^2c^4\left(1-\dfrac{\upsilon^2}{c^2}\right).

Όμως $\gamma^2\left(1-\dfrac{\upsilon^2}{c^2}\right)=1$ , άρα

E^2-(pc)^2=m_0^2c^4\;\Rightarrow\; E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2 .

Πόρισμα — Φωτόνιο και σωματίδια χωρίς μάζα ηρεμίας 💡

Για σωματίδιο με $m_0=0$ (όπως το φωτόνιο) η σχέση δίνει

E=pc .

Τέτοια σωματίδια κινούνται πάντα με ταχύτητα $c$ και κατέχουν ενέργεια και ορμή αν και δεν έχουν μάζα ηρεμίας.

Σύνοψη τύπων 📋

Μέγεθος	Τύπος	Παρατήρηση
Παράγοντας Lorentz	$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\upsilon^2/c^2}}$	$\gamma\ge 1$
Ενέργεια ηρεμίας	$E_0=m_0c^2$	για $\upsilon=0$
Ολική ενέργεια	$E=\gamma m_0c^2=mc^2$	$m=\gamma m_0$
Κινητική ενέργεια	$K=(\gamma-1)m_0c^2$	$\to\tfrac{1}{2}m_0\upsilon^2$ για $\upsilon\ll c$
Ορμή	$p=\gamma m_0\upsilon$	$p=m\upsilon$
Ενέργεια–ορμή	$E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2$	$E=pc$ αν $m_0=0$

Όρια και συμπεριφορά καθώς $\upsilon\to c$ 📈

Καθώς η ταχύτητα πλησιάζει το $c$ , ο παράγοντας $\gamma\to\infty$ . Επομένως τόσο η ολική ενέργεια $E=\gamma m_0c^2$ όσο και η κινητική $K=(\gamma-1)m_0c^2$ τείνουν στο άπειρο. Αυτό σημαίνει ότι θα χρειαζόταν άπειρη ενέργεια ώστε ένα σώμα με μάζα ηρεμίας να φτάσει την ταχύτητα του φωτός — γι' αυτό και η ταχύτητα $c$ αποτελεί απαραβίαστο όριο.

Μην μπερδεύεις τις τρεις ενέργειες ⚠️

Η ολική ενέργεια είναι $E=\gamma m_0c^2$ , η ενέργεια ηρεμίας $E_0=m_0c^2$ και η κινητική $K=(\gamma-1)m_0c^2$ . Η $K$ δεν είναι ούτε $\gamma m_0c^2$ ούτε $\tfrac{1}{2}m_0\upsilon^2$ . Αν παραστήσεις γραφικά την $K$ σε συνάρτηση με την ταχύτητα, η σχετικιστική καμπύλη ταυτίζεται με την κλασική παραβολή για μικρές ταχύτητες, αλλά αποκλίνει απότομα και τείνει στο άπειρο καθώς $\upsilon\to c$ , ενώ η κλασική μένει πεπερασμένη.