Μετασχηματισμοί Lorentz 🚀

Σε αυτή την ενότητα αναζητούμε τις σχέσεις μετασχηματισμού που συνδέουν τις μετρήσεις θέσης και χρόνου ενός γεγονότος μεταξύ δύο αδρανειακών συστημάτων αναφοράς που κινούνται το ένα ως προς το άλλο. Είδαμε ότι οι κλασικοί μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου είναι ασύμβατοι με τη σταθερότητα της ταχύτητας του φωτός. Χρειαζόμαστε λοιπόν νέες σχέσεις, σύμφωνες με τα αξιώματα της ειδικής σχετικότητας: τους μετασχηματισμούς Lorentz.

Το πρόβλημα της μετάφρασης μετρήσεων 🧭

Θεωρούμε δύο αδρανειακά συστήματα αναφοράς:

Το σύστημα $\Sigma$ (ακίνητος παρατηρητής).
Το σύστημα $\Sigma'$ που κινείται ως προς το $\Sigma$ με σταθερή ταχύτητα $\upsilon$ κατά μήκος του κοινού άξονα $x \equiv x'$ .

Υποθέτουμε ότι τη χρονική στιγμή $t = t' = 0$ οι αρχές των δύο συστημάτων συμπίπτουν. Ένα γεγονός (π.χ. μια λάμψη φωτός) περιγράφεται στο $\Sigma$ με τις συντεταγμένες $(x, y, z, t)$ και στο $\Sigma'$ με τις $(x', y', z', t')$ .

Το ζητούμενο 🎯

Χρειαζόμαστε σχέσεις μετασχηματισμού, ούτως ώστε οι μετρήσεις που κάνει ο παρατηρητής στο $\Sigma$ να μπορούν να «μεταφραστούν» σε αποδεκτές μετρήσεις για τον παρατηρητή στο $\Sigma'$ , και αντιστρόφως. Οι σχέσεις αυτές πρέπει να σέβονται το αξίωμα ότι η ταχύτητα του φωτός $c$ είναι ίδια για όλους τους παρατηρητές.

Οι εξισώσεις των μετασχηματισμών Lorentz 📐

Ορίζουμε πρώτα τον παράγοντα Lorentz $\gamma$ :

\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\upsilon^2}{c^2}}}

Με τη βοήθεια του $\gamma$ , οι μετασχηματισμοί Lorentz από το σύστημα $\Sigma$ στο σύστημα $\Sigma'$ γράφονται:

\begin{aligned} x' &= \gamma\,(x - \upsilon t) = \dfrac{x - \upsilon t}{\sqrt{1 - \dfrac{\upsilon^2}{c^2}}} \\ y' &= y \\ z' &= z \\ t' &= \gamma\left(t - \dfrac{\upsilon x}{c^2}\right) = \dfrac{t - \dfrac{\upsilon x}{c^2}}{\sqrt{1 - \dfrac{\upsilon^2}{c^2}}} \end{aligned}

Παρατήρηση: εγκάρσιες συντεταγμένες 🔎

Οι συντεταγμένες $y$ και $z$ , που είναι κάθετες στη διεύθυνση της κίνησης, παραμένουν αναλλοίωτες: $y' = y$ και $z' = z$ . Η σχετικότητα επηρεάζει μόνο τη διάσταση κατά μήκος της οποίας γίνεται η σχετική κίνηση.

Αντίστροφοι μετασχηματισμοί ↩️

Για να περάσουμε από το $\Sigma'$ πίσω στο $\Sigma$ , παρατηρούμε ότι το $\Sigma$ κινείται ως προς το $\Sigma'$ με ταχύτητα $-\upsilon$ . Έτσι, αρκεί να αντικαταστήσουμε στις παραπάνω σχέσεις το $\upsilon$ με $-\upsilon$ και να εναλλάξουμε τα τονούμενα με τα μη τονούμενα μεγέθη:

\begin{aligned} x &= \gamma\,(x' + \upsilon t') \\ y &= y' \\ z &= z' \\ t &= \gamma\left(t' + \dfrac{\upsilon x'}{c^2}\right) \end{aligned}

Πρόσεξε τα πρόσημα ➖➕

Το συχνότερο λάθος στις ασκήσεις είναι το μπέρδεμα των προσήμων ανάμεσα σε ευθείς και αντίστροφους μετασχηματισμούς. Ο κανόνας είναι απλός: όταν πηγαίνεις προς το κινούμενο σύστημα $\Sigma'$ βάζεις μείον ( $x - \upsilon t$ ), ενώ όταν γυρίζεις πίσω στο $\Sigma$ βάζεις συν ( $x' + \upsilon t'$ ). Ο παράγοντας $\gamma$ είναι ο ίδιος και στις δύο κατευθύνσεις, γιατί εξαρτάται από το $\upsilon^2$ .

Συμμετρία των συστημάτων ⚖️

Η μετάβαση από τους ευθείς στους αντίστροφους μετασχηματισμούς με την αλλαγή $\upsilon \to -\upsilon$ εκφράζει την ισοδυναμία των αδρανειακών συστημάτων: κανένα δεν είναι «προνομιακό». Ο κάθε παρατηρητής βλέπει τον άλλο να κινείται με αντίθετη ταχύτητα.

Όριο μικρών ταχυτήτων: επιστροφή στον Γαλιλαίο 🐢

Ας εξετάσουμε τι συμβαίνει όταν η σχετική ταχύτητα είναι πολύ μικρότερη από την ταχύτητα του φωτός, δηλαδή όταν $\upsilon \ll c$ .

Τότε ο λόγος $\dfrac{\upsilon^2}{c^2}$ γίνεται αμελητέος, οπότε:

\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\upsilon^2}{c^2}}} \approx 1

Επίσης, ο όρος $\dfrac{\upsilon x}{c^2}$ στη σχέση του χρόνου γίνεται αμελητέος. Έτσι οι μετασχηματισμοί Lorentz εκφυλίζονται στις σχέσεις:

\begin{aligned} x' &= x - \upsilon t \\ y' &= y \\ z' &= z \\ t' &= t \end{aligned}

που είναι ακριβώς οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου.

Αρχή της αντιστοιχίας 🤝

Στο όριο των μικρών ταχυτήτων ( $\upsilon \ll c$ ) οι μετασχηματισμοί Lorentz δίνουν $x' = x - \upsilon t$ και $t' = t$ , δηλαδή ταυτίζονται με τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου. Αυτός είναι ο λόγος που η κλασική (Νευτώνεια) μηχανική περιγράφει σωστά τα καθημερινά φαινόμενα: οι ταχύτητες που συναντάμε είναι ασήμαντες μπροστά στο $c$ .

Σύγκριση Lorentz – Γαλιλαίου 🔬

Στον παρακάτω πίνακα συνοψίζουμε τις διαφορές των δύο θεωριών για κίνηση κατά τον άξονα $x$ :

Μέγεθος	Μετασχηματισμός Γαλιλαίου	Μετασχηματισμός Lorentz
Θέση $x'$	$x' = x - \upsilon t$	$x' = \gamma\,(x - \upsilon t)$
Χρόνος $t'$	$t' = t$	$t' = \gamma\left(t - \dfrac{\upsilon x}{c^2}\right)$
Παράγοντας $\gamma$	$\gamma = 1$ (πάντα)	$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \upsilon^2/c^2}} \ge 1$
Χρόνος	απόλυτος, κοινός για όλους	σχετικός, εξαρτάται από το σύστημα
Ισχύς	μικρές ταχύτητες $\upsilon \ll c$	για κάθε ταχύτητα $\upsilon < c$

Η κρίσιμη διαφορά: ο χρόνος ⏱️

Στον Γαλιλαίο ο χρόνος είναι απόλυτος: $t' = t$ , ίδιος για όλους τους παρατηρητές. Στον Lorentz ο χρόνος $t'$ εξαρτάται και από τη θέση $x$ και από τον χρόνο $t$ του γεγονότος. Αυτή η εξάρτηση του χρόνου από τον χώρο είναι η ριζική καινοτομία της ειδικής σχετικότητας.

Χώρος και χρόνος: η έννοια του χωροχρόνου 🌌

Παρατηρώντας προσεκτικά τις εξισώσεις του Lorentz, βλέπουμε ότι:

Η νέα συντεταγμένη θέσης $x'$ εξαρτάται όχι μόνο από τη θέση $x$ , αλλά και από τον χρόνο $t$ .
Ο νέος χρόνος $t'$ εξαρτάται όχι μόνο από τον χρόνο $t$ , αλλά και από τη θέση $x$ .

Ορισμός: Χωροχρόνος 🌐

Στη θεωρία της σχετικότητας ο χώρος και ο χρόνος δεν είναι ανεξάρτητες έννοιες, αλλά αλληλένδετα μεγέθη. Δεν μιλάμε πια χωριστά για χώρο και χρόνο, αλλά για ένα ενιαίο, τετραδιάστατο μέγεθος που ονομάζεται χωροχρόνος (space-time).

Σχετικότητα του ταυτοχρονισμού ⌛

Μία από τις πιο εντυπωσιακές συνέπειες των μετασχηματισμών Lorentz αφορά την έννοια της ταυτοχρονίας.

Έστω δύο γεγονότα Α και Β που στο σύστημα $\Sigma$ συμβαίνουν την ίδια χρονική στιγμή ( $t_A = t_B$ ), αλλά σε διαφορετικές θέσεις ( $x_A \ne x_B$ ). Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό του χρόνου για τον παρατηρητή στο $\Sigma'$ :

t'_A = \gamma\left(t_A - \dfrac{\upsilon x_A}{c^2}\right), \qquad t'_B = \gamma\left(t_B - \dfrac{\upsilon x_B}{c^2}\right)

Αφαιρώντας κατά μέλη και θέτοντας $t_A = t_B$ :

t'_B - t'_A = \gamma\,\dfrac{\upsilon}{c^2}\,(x_A - x_B) \ne 0

Αφού $x_A \ne x_B$ , προκύπτει $t'_A \ne t'_B$ : τα δύο γεγονότα δεν είναι πλέον ταυτόχρονα για τον παρατηρητή στο $\Sigma'$ .

Πόρισμα: η ταυτοχρονία είναι σχετική ❗

Δύο γεγονότα που είναι ταυτόχρονα σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς δεν είναι κατ' ανάγκη ταυτόχρονα σε ένα άλλο σύστημα που κινείται ως προς το πρώτο. Η έννοια του «ταυτόχρονα» χάνει τον απόλυτο χαρακτήρα της και αποκτά νόημα μόνο σε σχέση με συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς.

Γιατί η ταχύτητα δεν μπορεί να ξεπεράσει το $c$ 🚦

Ο παράγοντας $\gamma$ ορίζεται με την ποσότητα $\sqrt{1 - \upsilon^2/c^2}$ . Παρατηρούμε ότι:

Όταν $\upsilon < c$ , ο όρος $1 - \upsilon^2/c^2$ είναι θετικός και ο $\gamma$ έχει πραγματική τιμή $\ge 1$ .
Όταν $\upsilon \to c$ , τότε $\gamma \to \infty$ .
Όταν $\upsilon > c$ , η ποσότητα κάτω από τη ρίζα γίνεται αρνητική και ο $\gamma$ δεν ορίζεται (μιγαδικός).

Παρατήρηση: το όριο της ταχύτητας 🌠

Οι μετασχηματισμοί Lorentz έχουν νόημα μόνο για $\upsilon < c$ . Αυτό αντανακλά το θεμελιώδες αποτέλεσμα της σχετικότητας: καμία ύλη ή πληροφορία δεν μπορεί να κινηθεί με ταχύτητα μεγαλύτερη ή ίση της ταχύτητας του φωτός στο κενό.

Σύνοψη – Τι να θυμάμαι 📌

Παράγοντας Lorentz: $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \upsilon^2/c^2}} \ge 1$ .
Ευθείς μετασχηματισμοί: $x' = \gamma(x - \upsilon t)$ , $\;y' = y$ , $\;z' = z$ , $\;t' = \gamma\!\left(t - \dfrac{\upsilon x}{c^2}\right)$ .
Αντίστροφοι: προκύπτουν με $\upsilon \to -\upsilon$ και εναλλαγή τονούμενων ↔ μη τονούμενων.
Όριο $\upsilon \ll c$ : $\gamma \approx 1$ και οι σχέσεις εκφυλίζονται στους μετασχηματισμούς Γαλιλαίου ( $x' = x - \upsilon t$ , $t' = t$ ).
Χωροχρόνος: χώρος και χρόνος είναι αλληλένδετοι.
Σχετικότητα ταυτοχρονισμού: ταυτόχρονα γεγονότα σε ένα σύστημα δεν είναι κατ' ανάγκη ταυτόχρονα σε άλλο.