Κινητική Ενέργεια λόγω Περιστροφής 🔄

Όταν ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα, όλα τα σημεία του κινούνται και επομένως το σώμα διαθέτει κινητική ενέργεια. Σε αυτή την ενότητα θα βρούμε μια βολική έκφραση για την κινητική αυτή ενέργεια συναρτήσει της ροπής αδράνειας και της γωνιακής ταχύτητας, και θα δούμε πώς υπολογίζεται η συνολική κινητική ενέργεια ενός σώματος που ταυτόχρονα μεταφέρεται και περιστρέφεται (σύνθετη κίνηση).

Κινητική ενέργεια περιστρεφόμενου σώματος

Θεωρούμε ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα με γωνιακή ταχύτητα $\omega$ . Χωρίζουμε νοητά το σώμα σε πολλές στοιχειώδεις μάζες $m_1, m_2, m_3, \dots$ , οι οποίες απέχουν αντίστοιχα αποστάσεις $r_1, r_2, r_3, \dots$ από τον άξονα περιστροφής.

Καθώς το σώμα είναι στερεό, όλες οι στοιχειώδεις μάζες περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα $\omega$ . Οι γραμμικές (εφαπτομενικές) τους ταχύτητες όμως διαφέρουν, γιατί εξαρτώνται από την απόστασή τους από τον άξονα:

\upsilon_1 = \omega r_1, \qquad \upsilon_2 = \omega r_2, \qquad \upsilon_3 = \omega r_3, \quad \dots

Ορισμός — Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής ⚙️

Η κινητική ενέργεια ενός σώματος που περιστρέφεται γύρω από άξονα με γωνιακή ταχύτητα $\omega$ δίνεται από τη σχέση:

K_{\pi\varepsilon\rho\iota\sigma\tau\rho} = \frac{1}{2}\, I\, \omega^2

όπου $I$ η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής.

Απόδειξη της σχέσης $K = \tfrac{1}{2} I \omega^2$

Η συνολική κινητική ενέργεια του σώματος είναι το άθροισμα των κινητικών ενεργειών όλων των στοιχειωδών μαζών:

K = \frac{1}{2} m_1 \upsilon_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \upsilon_2^2 + \frac{1}{2} m_3 \upsilon_3^2 + \dots

Αντικαθιστούμε τις γραμμικές ταχύτητες με $\upsilon_i = \omega r_i$ :

K = \frac{1}{2} m_1 (\omega r_1)^2 + \frac{1}{2} m_2 (\omega r_2)^2 + \frac{1}{2} m_3 (\omega r_3)^2 + \dots

K = \frac{1}{2} m_1 r_1^2 \omega^2 + \frac{1}{2} m_2 r_2^2 \omega^2 + \frac{1}{2} m_3 r_3^2 \omega^2 + \dots

Επειδή η $\omega$ είναι κοινή για όλες τις μάζες, τη βγάζουμε κοινό παράγοντα:

K = \frac{1}{2}\left( m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + m_3 r_3^2 + \dots \right) \omega^2

Η παράσταση μέσα στην παρένθεση είναι, εξ ορισμού, η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής:

I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + m_3 r_3^2 + \dots = \sum_i m_i r_i^2

Επομένως καταλήγουμε στη ζητούμενη σχέση:

\boxed{\;K_{\pi\varepsilon\rho\iota\sigma\tau\rho} = \frac{1}{2}\, I\, \omega^2\;}

Αναλογία με τη μεταφορική κίνηση 🔁

Παρατηρήστε την αντιστοιχία ανάμεσα στη μεταφορική και στην περιστροφική κίνηση:

Μεταφορική κίνηση	Περιστροφική κίνηση
$K = \tfrac{1}{2} m \upsilon^2$	$K = \tfrac{1}{2} I \omega^2$
μάζα $m$	ροπή αδράνειας $I$
ταχύτητα $\upsilon$	γωνιακή ταχύτητα $\omega$

Η ροπή αδράνειας $I$ παίζει στην περιστροφή τον ρόλο που παίζει η μάζα $m$ στη μεταφορική κίνηση. 👍

Προσοχή — δεν είναι νέα μορφή ενέργειας ⚠️

Η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής δεν αποτελεί μια νέα, ξεχωριστή μορφή ενέργειας. Είναι απλώς μια βολική μαθηματική έκφραση της συνηθισμένης (μηχανικής) κινητικής ενέργειας του σώματος, γραμμένη με τη βοήθεια των μεγεθών $I$ και $\omega$ αντί για τις επιμέρους ταχύτητες $\upsilon_i$ των στοιχειωδών μαζών.

Συνολική κινητική ενέργεια σε σύνθετη κίνηση

Πολλά σώματα δεν κάνουν μόνο μεταφορική ή μόνο περιστροφική κίνηση, αλλά σύνθετη κίνηση: ταυτόχρονα μεταφέρονται και περιστρέφονται. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι ένας τροχός που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

Κάθε τέτοια κίνηση μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες:

μια μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας με ταχύτητα $\upsilon_{cm}$ , και
μια περιστροφική κίνηση γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας, με γωνιακή ταχύτητα $\omega$ .

Θεώρημα — Ολική κινητική ενέργεια σύνθετης κίνησης 🎯

Η ολική κινητική ενέργεια ενός σώματος που εκτελεί σύνθετη κίνηση ισούται με το άθροισμα της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής κίνησης του κέντρου μάζας και της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφικής κίνησης γύρω από το κέντρο μάζας:

K_{o\lambda} = \frac{1}{2} m\, \upsilon_{cm}^2 + \frac{1}{2} I_{cm}\, \omega^2

όπου:

$m$ : η μάζα του σώματος,
$\upsilon_{cm}$ : η ταχύτητα του κέντρου μάζας,
$I_{cm}$ : η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας,
$\omega$ : η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής.

Ο πρώτος όρος $\tfrac{1}{2} m \upsilon_{cm}^2$ είναι η μεταφορική κινητική ενέργεια (σαν να ήταν όλη η μάζα συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας) και ο δεύτερος όρος $\tfrac{1}{2} I_{cm} \omega^2$ είναι η περιστροφική κινητική ενέργεια γύρω από το κέντρο μάζας.

Το λάθος που κοστίζει μονάδες ⚠️

Στη σύνθετη κίνηση η ολική κινητική ενέργεια δεν είναι μόνο $\tfrac{1}{2} m \upsilon_{cm}^2$ ούτε μόνο $\tfrac{1}{2} I \omega^2$ : είναι το άθροισμα των δύο. Επίσης η ροπή αδράνειας στον περιστροφικό όρο πρέπει να είναι η $I_{cm}$ , δηλαδή ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας — όχι ως προς το σημείο επαφής ή οποιονδήποτε άλλον άξονα.

Η συνθήκη κύλισης (χωρίς ολίσθηση)

Στην ειδική —αλλά πολύ συχνή— περίπτωση που ένα κυκλικό σώμα (τροχός, δίσκος, σφαίρα, κύλινδρος) κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, η ταχύτητα του κέντρου μάζας και η γωνιακή ταχύτητα συνδέονται μέσω της ακτίνας $R$ :

\upsilon_{cm} = \omega R

Πρόταση — Κινητική ενέργεια κυλιόμενου σώματος

Για ένα σώμα που κυλίεται χωρίς ολίσθηση, αντικαθιστώντας $\omega = \dfrac{\upsilon_{cm}}{R}$ στην έκφραση της ολικής κινητικής ενέργειας προκύπτει:

K_{o\lambda} = \frac{1}{2} m\, \upsilon_{cm}^2 + \frac{1}{2} I_{cm}\left(\frac{\upsilon_{cm}}{R}\right)^2 = \frac{1}{2}\left( m + \frac{I_{cm}}{R^2} \right)\upsilon_{cm}^2

Η σχέση αυτή δείχνει ότι η ολική κινητική ενέργεια εξαρτάται από την κατανομή της μάζας (μέσω του $I_{cm}$ ): όσο μεγαλύτερη η ροπή αδράνειας, τόσο μεγαλύτερο μέρος της ενέργειας «αποθηκεύεται» στην περιστροφή.

Παρατήρηση — μονάδες ⚠️

Όλα τα είδη κινητικής ενέργειας μετρώνται, στο SI, σε joule (J). Στις σχέσεις πρέπει η ροπή αδράνειας να είναι σε $\mathrm{kg\cdot m^2}$ και η γωνιακή ταχύτητα σε $\mathrm{rad/s}$ , ώστε το αποτέλεσμα $\tfrac{1}{2} I \omega^2$ να προκύπτει σε joule.

Σύνοψη 📝

Τα βασικά με μια ματιά

Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής: $\;K_{\pi\varepsilon\rho\iota\sigma\tau\rho} = \tfrac{1}{2} I \omega^2$
Προκύπτει αθροίζοντας τις κινητικές ενέργειες $\tfrac{1}{2} m_i \upsilon_i^2$ όλων των στοιχειωδών μαζών, με $\upsilon_i = \omega r_i$ και $I = \sum_i m_i r_i^2$ .
Δεν είναι νέα μορφή ενέργειας, αλλά βολική έκφραση της κινητικής ενέργειας.
Σύνθετη κίνηση: $\;K_{o\lambda} = \tfrac{1}{2} m \upsilon_{cm}^2 + \tfrac{1}{2} I_{cm} \omega^2$ (μεταφορική + περιστροφική).
Κύλιση χωρίς ολίσθηση: $\upsilon_{cm} = \omega R$ .