Διατήρηση της Στροφορμής 🌀

Έχοντας ορίσει τη στροφορμή ενός στερεού που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα και τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης, περνάμε τώρα σε μια από τις σπουδαιότερες αρχές διατήρησης της Φυσικής: την αρχή διατήρησης της στροφορμής, που είναι το στροφικό ανάλογο της διατήρησης της ορμής στη μεταφορική κίνηση.

Από τον θεμελιώδη νόμο στη διατήρηση

Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης, στη γενική του μορφή, συνδέει τη συνολική εξωτερική ροπή που δέχεται ένα σώμα ή σύστημα με τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του:

\Sigma\vec{\tau}_{\varepsilon\xi} = \frac{d\vec{L}}{dt}

Η σχέση αυτή είναι το ακριβές ανάλογο του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα $\Sigma\vec{F} = \dfrac{d\vec{p}}{dt}$ για τη μεταφορική κίνηση, με τη ροπή στη θέση της δύναμης και τη στροφορμή στη θέση της ορμής.

Αντιστοιχία μεταφορικής – στροφικής κίνησης 🔁

Η διατήρηση της στροφορμής προκύπτει από τον θεμελιώδη νόμο όπως η διατήρηση της ορμής προκύπτει από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Όπου η ορμή $\vec{p}=m\vec{u}$ διατηρείται όταν $\Sigma\vec{F}=0$ , η στροφορμή $\vec{L}=I\vec{\omega}$ διατηρείται όταν $\Sigma\vec{\tau}_{\varepsilon\xi}=0$ .

Η αρχή διατήρησης της στροφορμής

Ας εξετάσουμε τι συμβαίνει όταν η συνολική εξωτερική ροπή είναι μηδέν. Από τον θεμελιώδη νόμο:

\Sigma\vec{\tau}_{\varepsilon\xi} = 0 \;\Rightarrow\; \frac{d\vec{L}}{dt} = 0 \;\Rightarrow\; \vec{L} = \text{σταθερό}

Αν ο ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους είναι μηδέν, τότε το μέγεθος αυτό παραμένει σταθερό στον χρόνο. Έτσι καταλήγουμε στην εξής αρχή:

Αρχή διατήρησης της στροφορμής 📜

Εάν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα είναι μηδέν, η ολική στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή.

\Sigma\vec{\tau}_{\varepsilon\xi} = 0 \;\Rightarrow\; \vec{L} = \text{σταθερό}

Πρόκειται για μια θεμελιώδη αρχή διατήρησης, εξίσου γενική με τη διατήρηση της ορμής και της ενέργειας. Ισχύει για οποιοδήποτε απομονωμένο (από εξωτερικές ροπές) σύστημα, ανεξάρτητα από το πόσο πολύπλοκο είναι.

Προσοχή: εξωτερικές ροπές 🚫

Στη διατήρηση της στροφορμής μετράνε μόνο οι εξωτερικές ροπές. Οι εσωτερικές δυνάμεις (και οι ροπές τους) μέσα στο σύστημα δεν μπορούν να μεταβάλουν την ολική στροφορμή, ακριβώς όπως οι εσωτερικές δυνάμεις δεν μεταβάλλουν την ολική ορμή. Επομένως ένα σώμα μπορεί να αλλάξει την κατανομή της μάζας του (άρα και τη ροπή αδράνειάς του) με εσωτερικές δυνάμεις, χωρίς να αλλάξει η στροφορμή του.

Πότε μηδενίζεται η εξωτερική ροπή

Η συνθήκη $\Sigma\vec{\tau}_{\varepsilon\xi}=0$ ικανοποιείται όταν:

δεν ασκούνται καθόλου εξωτερικές δυνάμεις, ή
οι εξωτερικές δυνάμεις δεν δημιουργούν ροπή ως προς τον άξονα (π.χ. διέρχονται από τον άξονα ή είναι παράλληλες σε αυτόν), ή
το αλγεβρικό άθροισμα των εξωτερικών ροπών είναι μηδέν.

Παράδειγμα: η περιστροφή της Γης 🌍

Η Γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της διατηρώντας σταθερή στροφορμή. Η βαρυτική (ελκτική) δύναμη του Ήλιου είναι κεντρική, κατευθύνεται δηλαδή προς το κέντρο της Γης, και γι' αυτό δεν δημιουργεί ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής της. Επομένως η περιστροφή της Γης διατηρεί σταθερή στροφορμή.

Η μορφή $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$

Θεωρούμε ένα σώμα (ή σύστημα) που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα και που, μέσω εσωτερικών δυνάμεων, μεταβάλλει την κατανομή της μάζας του, άρα και τη ροπή αδράνειάς του. Εφόσον η εξωτερική ροπή είναι μηδέν, η στροφορμή διατηρείται. Επειδή $L=I\omega$ , έχουμε:

L_1 = L_2 \;\Rightarrow\; I_1\omega_1 = I_2\omega_2

Βασικός τύπος μεταβολής ροπής αδράνειας 🧮

I_1\omega_1 = I_2\omega_2

όπου $I_1,\omega_1$ η ροπή αδράνειας και η γωνιακή ταχύτητα στην αρχική κατάσταση, και $I_2,\omega_2$ στην τελική. Λύνοντας ως προς την τελική γωνιακή ταχύτητα:

\omega_2 = \frac{I_1}{I_2}\,\omega_1

Από τη σχέση αυτή προκύπτει μια πολύ σημαντική αντιστρόφως ανάλογη σχέση μεταξύ ροπής αδράνειας και γωνιακής ταχύτητας:

Πόρισμα ⚖️

Όταν η στροφορμή διατηρείται, η ροπή αδράνειας και η γωνιακή ταχύτητα είναι αντιστρόφως ανάλογες:

Αν η ροπή αδράνειας μειωθεί ( $I_2<I_1$ ), η γωνιακή ταχύτητα αυξάνεται ( $\omega_2>\omega_1$ ).
Αν η ροπή αδράνειας αυξηθεί ( $I_2>I_1$ ), η γωνιακή ταχύτητα μειώνεται ( $\omega_2<\omega_1$ ).

Η ροπή αδράνειας μεταβάλλεται μετακινώντας μάζα κοντύτερα ή μακρύτερα από τον άξονα περιστροφής, αφού εξαρτάται από την κατανομή της μάζας ως προς τον άξονα.

Η κινητική ενέργεια ΔΕΝ διατηρείται! ⚠️

Προσοχή: στη μεταβολή της ροπής αδράνειας με σταθερή στροφορμή, η κινητική ενέργεια περιστροφής $K=\dfrac{1}{2}I\omega^2$ δεν παραμένει σταθερή. Γράφοντας $K=\dfrac{L^2}{2I}$ (με $L$ σταθερό) βλέπουμε ότι όταν το $I$ μικραίνει, η $K$ μεγαλώνει. Η επιπλέον ενέργεια προέρχεται από το έργο των εσωτερικών (μυϊκών ή άλλων) δυνάμεων που μαζεύουν τη μάζα προς τον άξονα.

Το πιο συχνό λάθος: πότε ΔΕΝ ισχύει ⚠️

Η σχέση $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$ δεν είναι γενικός τύπος της στροφικής κίνησης: ισχύει μόνο όταν η συνολική εξωτερική ροπή είναι μηδέν. Αν στο σύστημα ασκείται ροπή (π.χ. από τριβή στον άξονα ή από εξωτερική δύναμη με μοχλοβραχίονα), η στροφορμή μεταβάλλεται και πρέπει να δουλέψουμε με τον θεμελιώδη νόμο. Πριν γράψεις τη διατήρηση, έλεγξε πάντα πρώτα τις εξωτερικές ροπές.

Εφαρμογές της αρχής

Η διατήρηση της στροφορμής εξηγεί ένα πλήθος φαινομένων, από τον αθλητισμό μέχρι την αστροφυσική. Σε όλες τις περιπτώσεις η εξωτερική ροπή είναι (πρακτικά) μηδενική και ένα σώμα μεταβάλλει τη ροπή αδράνειάς του.

Καλλιτεχνικό πατινάζ ⛸️

Η αθλήτρια ξεκινά να περιστρέφεται με τα χέρια και το ένα πόδι ανοιχτά (μεγάλη ροπή αδράνειας, μικρή γωνιακή ταχύτητα). Όταν συμπτύσσει τα χέρια και τα πόδια προς το σώμα της, η ροπή αδράνειάς της μειώνεται σημαντικά. Επειδή η στροφορμή διατηρείται (η τριβή με τον πάγο δίνει αμελητέα ροπή), η γωνιακή της ταχύτητα αυξάνεται εντυπωσιακά και περιστρέφεται πολύ γρηγορότερα.

Ακροβατικά καταδύσεων και κατάδυσης 🤸

Ένας ακροβάτης ή ένας δύτης, αφού πάρει στροφορμή κατά την απογείωση, μαζεύει τα άκρα του (στάση «κουβαριού») για να μειώσει τη ροπή αδράνειάς του και να αυξήσει την ταχύτητα περιστροφής, ώστε να ολοκληρώσει περισσότερες περιστροφές. Πριν την προσγείωση τεντώνει το σώμα, αυξάνοντας τη ροπή αδράνειας και επιβραδύνοντας την περιστροφή.

Αστέρες νετρονίων ⭐

Πρόκειται για ένα εντυπωσιακό αστροφυσικό παράδειγμα. Όταν ένας μεγάλος αστέρας εξαντλεί το καύσιμό του, καταρρέει βαρυτικά (συρρικνώνεται) σε ένα εξαιρετικά πυκνό αστέρι νετρονίων, ακτίνας μερικών μόνο χιλιομέτρων. Καθώς η ακτίνα μικραίνει δραματικά, η ροπή αδράνειας μειώνεται τεράστια. Με διατηρούμενη στροφορμή, η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής εκτοξεύεται, φτάνοντας ακόμη και έως ~3000 στροφές το δευτερόλεπτο.

Κοινός μηχανισμός σε όλες τις εφαρμογές 💡

Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις ισχύει το ίδιο: εξωτερική ροπή ≈ 0, άρα $L=I\omega=\text{σταθερό}$ . Μείωση του $I$ (μάζα κοντύτερα στον άξονα) συνεπάγεται αύξηση του $\omega$ , και αντίστροφα.

Λυμένο Παράδειγμα 🧑‍🏫

Άνθρωπος κάθεται σε περιστρεφόμενο κάθισμα κρατώντας από ένα βαράκι σε κάθε χέρι, με τα χέρια τεντωμένα. Το σύστημα περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα. Δίνονται:

μάζα κάθε βαράκιου $M = 4\ \mathrm{kg}$
αρχική γωνιακή ταχύτητα $\omega_1 = 4\ \mathrm{rad/s}$
ροπή αδράνειας ανθρώπου + καθίσματος με χέρια τεντωμένα: $3{,}25\ \mathrm{kg\,m^2}$
ροπή αδράνειας ανθρώπου + καθίσματος με χέρια συμπτυγμένα: $2{,}5\ \mathrm{kg\,m^2}$
αρχική απόσταση βαρακίων από τον άξονα $R_1 = 1\ \mathrm{m}$
τελική απόσταση $R_2 = 0{,}2\ \mathrm{m}$

Ζητείται η τελική γωνιακή ταχύτητα $\omega_2$ όταν μαζέψει τα χέρια.

Λύση. Η ολική ροπή αδράνειας είναι το άθροισμα της ροπής αδράνειας ανθρώπου-καθίσματος και της ροπής αδράνειας των δύο βαρακίων (θεωρούμενων ως υλικά σημεία, $I=MR^2$ το καθένα).

Αρχική κατάσταση (χέρια τεντωμένα):

I_1 = 3{,}25 + 2\cdot(4)\cdot(1)^2 = 3{,}25 + 8 = 11{,}25\ \mathrm{kg\,m^2}

Τελική κατάσταση (χέρια συμπτυγμένα):

I_2 = 2{,}5 + 2\cdot(4)\cdot(0{,}2)^2 = 2{,}5 + 0{,}32 = 2{,}82\ \mathrm{kg\,m^2}

Εφόσον η εξωτερική ροπή ως προς τον κατακόρυφο άξονα είναι μηδέν, η στροφορμή διατηρείται:

I_1\omega_1 = I_2\omega_2 \;\Rightarrow\; \omega_2 = \frac{I_1}{I_2}\,\omega_1 = \frac{11{,}25}{2{,}82}\cdot 4 \approx 16\ \mathrm{rad/s}

Σχόλιο αποτελέσματος ✅

Μαζεύοντας τα χέρια, η ροπή αδράνειας έπεσε από $11{,}25$ σε $2{,}82\ \mathrm{kg\,m^2}$ (περίπου στο ένα τέταρτο) και η γωνιακή ταχύτητα τετραπλασιάστηκε περίπου, από $4$ σε $16\ \mathrm{rad/s}$ . Αυτό είναι το ίδιο φαινόμενο με την περιστροφή της αθλήτριας του πατινάζ.

Σύνοψη 📝

Τα βασικά με μια ματιά 🎯

Θεμελιώδης νόμος: $\Sigma\vec{\tau}_{\varepsilon\xi}=\dfrac{d\vec{L}}{dt}$ .
Αρχή διατήρησης: αν $\Sigma\vec{\tau}_{\varepsilon\xi}=0$ , τότε $\vec{L}=\text{σταθερό}$ .
Για μεταβολή ροπής αδράνειας με σταθερή στροφορμή: $I_1\omega_1=I_2\omega_2$ , άρα $\omega_2=\dfrac{I_1}{I_2}\,\omega_1$ .
Το $I$ και το $\omega$ είναι αντιστρόφως ανάλογα: μικρότερο $I$ → μεγαλύτερο $\omega$ .
Η κινητική ενέργεια περιστροφής δεν διατηρείται· $K=\dfrac{L^2}{2I}$ .
Εφαρμογές: πατινάζ, ακροβατικά, αστέρες νετρονίων, περιστροφή της Γης.