Στροφορμή 🌀

Στην ευθύγραμμη κίνηση, ένα σπουδαίο μέγεθος που χαρακτηρίζει τη «μηχανική κατάσταση» ενός σώματος είναι η ορμή $\vec{p} = m\vec{\upsilon}$ . Στη στροφική κίνηση το ανάλογο μέγεθος είναι η στροφορμή. Όπως η ορμή σχετίζεται με τη δύναμη, έτσι και η στροφορμή σχετίζεται με τη ροπή.

Αντιστοιχία μεταφορικής – στροφικής κίνησης 🔗

Σε όλη αυτή την ενότητα ισχύει η αντιστοιχία:

\begin{aligned} \text{ορμή } \vec{p} = m\vec{\upsilon} \quad &\longleftrightarrow \quad \text{στροφορμή } L = I\omega \\ \text{δύναμη } \vec{F} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \quad &\longleftrightarrow \quad \text{ροπή } \tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} \end{aligned}

Στροφορμή υλικού σημείου

Θεωρούμε υλικό σημείο μάζας $m$ που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας $r$ με ταχύτητα μέτρου $\upsilon$ , γύρω από άξονα $z'z$ που διέρχεται από το κέντρο της τροχιάς και είναι κάθετος στο επίπεδό της.

Ορισμός – Στροφορμή υλικού σημείου 📐

Ονομάζουμε στροφορμή του υλικού σημείου ως προς τον άξονα $z'z$ που διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς το διανυσματικό μέγεθος με μέτρο:

L = m\,\upsilon\, r

όπου $m$ η μάζα, $\upsilon$ το μέτρο της (γραμμικής) ταχύτητας και $r$ η ακτίνα της τροχιάς.

Επειδή για την κυκλική κίνηση ισχύει $\upsilon = \omega r$ , η στροφορμή του υλικού σημείου γράφεται και ως:

L = m\,\upsilon\, r = m(\omega r)r = m r^{2}\,\omega

Αναγνωρίζουμε ότι η ποσότητα $m r^{2}$ είναι η ροπή αδράνειας $I$ του υλικού σημείου ως προς τον άξονα περιστροφής. Άρα και για το υλικό σημείο μπορούμε να γράψουμε $L = I\omega$ .

Στροφορμή στερεού σώματος

Ένα στερεό σώμα που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα μπορεί να θεωρηθεί ως σύνολο πολλών υλικών σημείων, που το καθένα έχει τη δική του στροφορμή.

Ορισμός – Στροφορμή στερεού 🧱

Η στροφορμή του στερεού σώματος είναι το άθροισμα των στροφορμών των υλικών σημείων που το αποτελούν.

Όλα τα σημεία του στερεού περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα $\omega$ . Έτσι, αθροίζοντας τις στροφορμές των επιμέρους σημείων $L_i = m_i r_i^{2}\,\omega$ :

L = \sum_i m_i r_i^{2}\,\omega = \left(\sum_i m_i r_i^{2}\right)\omega = I\,\omega

αφού $\displaystyle \sum_i m_i r_i^{2} = I$ είναι η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής.

Στροφορμή στερεού σώματος ⭐

Για στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα με γωνιακή ταχύτητα $\omega$ και ροπή αδράνειας $I$ ως προς τον άξονα αυτόν:

L = I\,\omega

Πρόκειται για το περιστροφικό ανάλογο της ορμής $p = m\upsilon$ : η ροπή αδράνειας $I$ παίζει το ρόλο της μάζας $m$ και η γωνιακή ταχύτητα $\omega$ το ρόλο της ταχύτητας $\upsilon$ .

Ο διανυσματικός χαρακτήρας της στροφορμής

Η στροφορμή είναι διανυσματικό μέγεθος. Όπως και η γωνιακή ταχύτητα $\vec{\omega}$ :

Διεύθυνση: βρίσκεται πάνω στον άξονα περιστροφής.
Φορά: καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Είναι ίδια με τη φορά της $\vec{\omega}$ .

Έτσι, το διάνυσμα της στροφορμής είναι ομόρροπο με το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας:

\vec{L} = I\,\vec{\omega}

Προσοχή στη φύση των μεγεθών ⚠️

Η στροφορμή $\vec{L}$ , η γωνιακή ταχύτητα $\vec{\omega}$ και η ροπή $\vec{\tau}$ είναι διανυσματικά μεγέθη με διεύθυνση πάνω στον άξονα περιστροφής. Αντίθετα, η ροπή αδράνειας $I$ είναι μονόμετρο (θετικό) μέγεθος.

Μονάδα μέτρησης

Από τον τύπο $L = m\upsilon r$ προκύπτει η μονάδα της στροφορμής στο S.I.:

[L] = \text{kg} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \text{m} = 1\ \frac{\text{kg}\cdot \text{m}^2}{\text{s}}

δηλαδή 1 κιλό επί τετραγωνικό μέτρο ανά δευτερόλεπτο $\left(\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}\right)$ . Το ίδιο προκύπτει και από τον τύπο $L = I\omega$ , αφού $[I] = \text{kg}\cdot\text{m}^2$ και $[\omega] = \text{rad/s} = 1/\text{s}$ .

Στροφορμή και ροπή — Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης

Υπάρχει στενή σχέση ανάμεσα στη ροπή που ασκείται σε ένα σώμα και στη μεταβολή της στροφορμής του, ανάλογη με τη σχέση $\vec{F} = \dfrac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$ της μεταφορικής κίνησης.

Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης 🎯

Η συνολική (εξωτερική) ροπή $\Sigma\tau$ που ασκείται σε ένα σώμα ισούται με το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του:

\Sigma\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t}

Απόδειξη — σύνδεση με τη γνωστή μορφή $\Sigma\tau = I\alpha$

Ξεκινάμε από τη σχέση $L = I\omega$ και θεωρούμε σώμα σταθερής ροπής αδράνειας $I$ . Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής είναι:

\frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{\Delta (I\omega)}{\Delta t} = I\,\frac{\Delta \omega}{\Delta t}

Όμως ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας είναι η γωνιακή επιτάχυνση $\alpha_{\gamma\omega\nu} = \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}$ , οπότε:

\frac{\Delta L}{\Delta t} = I\,\alpha_{\gamma\omega\nu} = \Sigma\tau

Καταλήγουμε στον γνωστό θεμελιώδη νόμο $\Sigma\tau = I\,\alpha_{\gamma\omega\nu}$ . Επομένως η σχέση $\Sigma\tau = \dfrac{\Delta L}{\Delta t}$ είναι γενικότερη μορφή του νόμου, που ισχύει ακόμη και όταν μεταβάλλεται η ροπή αδράνειας $I$ του σώματος.

Γενικότερη (στιγμιαία) μορφή 🧮

Όταν η ροπή μεταβάλλεται χρονικά, για ένα σύστημα σωμάτων ισχύει η στιγμιαία μορφή:

\Sigma\tau_{\varepsilon\xi} = \frac{dL}{dt}

όπου $\Sigma\tau_{\varepsilon\xi}$ η συνολική εξωτερική ροπή που δέχεται το σύστημα.

Στροφορμή συστήματος σωμάτων

Ορισμός – Στροφορμή συστήματος 🪐

Στροφορμή ενός συστήματος ονομάζεται το διανυσματικό άθροισμα των στροφορμών των σωμάτων που απαρτίζουν το σύστημα:

\vec{L}_{\sigma\upsilon\sigma\tau} = \vec{L}_1 + \vec{L}_2 + \dots = \sum_i \vec{L}_i

Για ένα σύστημα σωμάτων, ο θεμελιώδης νόμος γράφεται $\Sigma\tau_{\varepsilon\xi} = \dfrac{\Delta L_{\sigma\upsilon\sigma\tau}}{\Delta t}$ , όπου υπεισέρχεται μόνο η συνολική εξωτερική ροπή. Οι εσωτερικές ροπές (μεταξύ των μερών του συστήματος) αλληλοαναιρούνται και δεν μεταβάλλουν τη συνολική στροφορμή. Η παρατήρηση αυτή αποτελεί τη βάση για την αρχή διατήρησης της στροφορμής (επόμενη ενότητα).

Σπιν — στροφορμή λόγω ιδιοπεριστροφής

Ένα σώμα μπορεί να έχει στροφορμή λόγω της περιστροφής του γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Η στροφορμή αυτή ονομάζεται σπιν (ιδιοστροφορμή). Για παράδειγμα, η Γη έχει σπιν λόγω της ημερήσιας περιστροφής της γύρω από τον άξονά της, αλλά και τροχιακή στροφορμή λόγω της ετήσιας περιφοράς της γύρω από τον Ήλιο.

Ενδεικτικές τιμές στροφορμής 🌍

Σώμα / Κίνηση	Στροφορμή $L\ (\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s})$
Τροχιακή κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο	$2{,}7 \times 10^{40}$
Περιστροφή (σπιν) της Γης γύρω από τον άξονά της	$5{,}8 \times 10^{33}$
Περιστρεφόμενος τροχός αυτοκινήτου	$\sim 10^{2}$

Σύνοψη τύπων 📋

Όλοι οι βασικοί τύποι σε έναν πίνακα 🗂️

Μέγεθος / Σχέση	Τύπος
Στροφορμή υλικού σημείου	$L = m\,\upsilon\, r = m r^{2}\omega$
Στροφορμή στερεού σώματος	$L = I\,\omega$
Διανυσματική μορφή	$\vec{L} = I\,\vec{\omega}$
Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης	$\Sigma\tau = \dfrac{\Delta L}{\Delta t}$
Σύνδεση με γωνιακή επιτάχυνση	$\Sigma\tau = I\,\alpha_{\gamma\omega\nu}$
Στιγμιαία μορφή (σύστημα)	$\Sigma\tau_{\varepsilon\xi} = \dfrac{dL}{dt}$
Στροφορμή συστήματος	$\vec{L}_{\sigma\upsilon\sigma\tau} = \sum_i \vec{L}_i$
Μονάδα στροφορμής (S.I.)	$1\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$

Συχνά λάθη ❌

Η στροφορμή στερεού δίνεται από $L = I\omega$ και όχι $L = m\upsilon r$ γενικά· ο τύπος $L = m\upsilon r$ αφορά υλικό σημείο σε κυκλική τροχιά.
Στο θεμελιώδη νόμο $\Sigma\tau = \Delta L/\Delta t$ χρησιμοποιούμε τη συνολική ροπή· για σύστημα μόνο τις εξωτερικές ροπές.
Μην συγχέετε τη ροπή αδράνειας $I$ (μονόμετρο) με τη στροφορμή $\vec{L}$ (διανυσματικό).