Σύνθεση Ταλαντώσεων 🌊

Μέχρι τώρα ένα σώμα εκτελούσε μία απλή αρμονική ταλάντωση (ΑΑΤ). Στην πραγματικότητα όμως, ένα σώμα μπορεί να συμμετέχει ταυτόχρονα σε δύο ή περισσότερες ταλαντώσεις. Π.χ. το ίδιο σωματίδιο αέρα μπορεί να δέχεται ταυτόχρονα ηχητικά κύματα από δύο διαφορετικές πηγές.

Το αποτέλεσμα της ταυτόχρονης συμμετοχής σε πολλές ταλαντώσεις το ονομάζουμε σύνθετη ταλάντωση.

Ορισμός — Σύνθετη ταλάντωση

Σύνθεση ταλαντώσεων ονομάζεται η εύρεση της συνισταμένης (τελικής) κίνησης ενός σώματος που μετέχει ταυτόχρονα σε δύο ή περισσότερες απλές αρμονικές ταλαντώσεις.

Η συνισταμένη κίνηση εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά (διεύθυνση, συχνότητα, πλάτος, φάση) των επιμέρους ταλαντώσεων. 🎯

Η βασική αρχή που χρησιμοποιούμε είναι η αρχή της επαλληλίας: σε κάθε χρονική στιγμή, η απομάκρυνση από τη συνισταμένη κίνηση είναι το άθροισμα των επιμέρους απομακρύνσεων.

Θα μελετήσουμε τρεις περιπτώσεις:

Σύνθεση δύο ΑΑΤ ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας.
Σύνθεση δύο ΑΑΤ ίδιας διεύθυνσης με μικρή διαφορά συχνότητας (διακρότημα).
Σύνθεση δύο ΑΑΤ με κάθετες διευθύνσεις.

Α. Σύνθεση δύο ΑΑΤ ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας ➕

Θεωρούμε ένα σώμα που μετέχει ταυτόχρονα σε δύο ΑΑΤ, οι οποίες γίνονται πάνω στην ίδια ευθεία (ίδια διεύθυνση), έχουν την ίδια γωνιακή συχνότητα $ω$ , αλλά διαφορετικά πλάτη $Α_1, Α_2$ και διαφορά φάσης $φ$ .

Οι επιμέρους απομακρύνσεις είναι:

x_1 = Α_1\,ημ(ωt)

x_2 = Α_2\,ημ(ωt + φ)

Με βάση την αρχή της επαλληλίας, η συνισταμένη απομάκρυνση είναι:

x = x_1 + x_2 = Α_1\,ημ(ωt) + Α_2\,ημ(ωt + φ)

Συμπέρασμα — Η συνισταμένη είναι ΑΑΤ

Η σύνθεση δύο ΑΑΤ ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας δίνει πάλι απλή αρμονική ταλάντωση, με την ίδια γωνιακή συχνότητα $ω$ :

x = Α\,ημ(ωt + θ)

όπου $Α$ το πλάτος και $θ$ η αρχική φάση της συνισταμένης ταλάντωσης. ✅

Πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης 📏

Το πλάτος $Α$ της συνισταμένης ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση:

Α = \sqrt{Α_1^2 + Α_2^2 + 2Α_1Α_2\,συνφ}

Αρχική φάση της συνισταμένης ταλάντωσης 🧭

Η αρχική φάση $θ$ προσδιορίζεται από τη σχέση:

εφθ = \dfrac{Α_2\,ημφ}{Α_1 + Α_2\,συνφ}

Γεωμετρική ερμηνεία — Στροφόμενα διανύσματα

Οι σχέσεις για το $Α$ και την $εφθ$ προκύπτουν αν παραστήσουμε κάθε ταλάντωση με ένα στροφόμενο διάνυσμα (φασιθέτη) μέτρου ίσου με το πλάτος της. Το πλάτος της συνισταμένης είναι η διανυσματική (γεωμετρική) πρόσθεση των δύο πλατών $\vec{Α_1}$ και $\vec{Α_2}$ , που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία $φ$ .

Η σχέση $Α = \sqrt{Α_1^2 + Α_2^2 + 2Α_1Α_2συνφ}$ είναι ακριβώς ο νόμος των συνημιτόνων για το παραλληλόγραμμο των δύο διανυσμάτων. 📐

Ειδικές περιπτώσεις 🔎

Η τιμή του πλάτους $Α$ εξαρτάται κρίσιμα από τη διαφορά φάσης $φ$ :

Διαφορά φάσης $φ$	Συνθήκη	Πλάτος $Α$
$φ = 0$	συμφωνία φάσης	$Α = Α_1 + Α_2$ (μέγιστο)
$φ = π$ (180°)	αντίθεση φάσης	$Α = \lvert Α_1 - Α_2 \rvert$ (ελάχιστο)
$φ = \dfrac{π}{2}$ (90°)	—	$Α = \sqrt{Α_1^2 + Α_2^2}$

Προσοχή — Ενισχυτική και καταστροφική σύνθεση

Όταν $φ = 0$ οι δύο ταλαντώσεις είναι σε φάση και «συνεργάζονται»: το πλάτος γίνεται μέγιστο ( $Α_1 + Α_2$ ).
Όταν $φ = π$ οι ταλαντώσεις είναι σε αντίθεση φάσης και «αντιμάχονται»: το πλάτος γίνεται ελάχιστο ( $\lvert Α_1 - Α_2 \rvert$ ).
Ειδικά αν $Α_1 = Α_2$ και $φ = π$ , τότε $Α = 0$ και το σώμα παραμένει ακίνητο! 🛑

Παρατήρηση

Η συχνότητα της συνισταμένης ταλάντωσης είναι πάντα ίση με την κοινή συχνότητα των δύο επιμέρους ταλαντώσεων. Αλλάζουν μόνο το πλάτος και η αρχική φάση.

Β. Σύνθεση δύο ΑΑΤ ίδιας διεύθυνσης με διαφορετική συχνότητα — Διακρότημα 🔊

Θεωρούμε τώρα ένα σώμα που μετέχει σε δύο ΑΑΤ της ίδιας διεύθυνσης, με ίδιο πλάτος $Α$ , αλλά με διαφορετικές γωνιακές συχνότητες $ω_1$ και $ω_2$ , που όμως διαφέρουν πολύ λίγο μεταξύ τους ( $ω_1 \approx ω_2$ ).

Για απλότητα θεωρούμε ότι τη χρονική στιγμή $t = 0$ οι ταλαντώσεις βρίσκονται σε φάση:

x_1 = Α\,ημ(ω_1 t)

x_2 = Α\,ημ(ω_2 t)

Η συνισταμένη απομάκρυνση είναι:

x = x_1 + x_2 = Α\,ημ(ω_1 t) + Α\,ημ(ω_2 t)

Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα μετατροπής αθροίσματος ημιτόνων σε γινόμενο:

ημα + ημβ = 2\,ημ\!\left(\dfrac{α+β}{2}\right)συν\!\left(\dfrac{α-β}{2}\right)

προκύπτει:

x = \left[\, 2Α\,συν\!\left(\dfrac{ω_1 - ω_2}{2}\,t\right) \right] ημ\!\left(\dfrac{ω_1 + ω_2}{2}\,t\right)

Συμπέρασμα — Μορφή της συνισταμένης κίνησης

Η συνισταμένη κίνηση γράφεται στη μορφή:

x = Α'\,ημ(ωt)

με:

Γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης (μέση τιμή των δύο):

ω = \dfrac{ω_1 + ω_2}{2}

Χρονικά μεταβαλλόμενο πλάτος:

Α' = \left\lvert\, 2Α\,συν\!\left(\dfrac{ω_1 - ω_2}{2}\,t\right) \right\rvert

Η κίνηση δεν είναι πλέον απλή αρμονική ταλάντωση, γιατί το πλάτος $Α'$ δεν είναι σταθερό — μεταβάλλεται αργά με τον χρόνο. Επειδή $ω_1 \approx ω_2$ , ο όρος $\dfrac{ω_1 - ω_2}{2}$ είναι πολύ μικρός, άρα το πλάτος $Α'$ μεταβάλλεται πολύ πιο αργά από την ίδια την ταλάντωση.

Ορισμός — Διακρότημα

Διακρότημα (μπιτ) ονομάζεται η περιοδική κίνηση που προκύπτει από τη σύνθεση δύο ΑΑΤ ίδιας διεύθυνσης, ίδιου πλάτους και ελάχιστα διαφορετικών συχνοτήτων.

Χαρακτηρίζεται από μια γρήγορη ταλάντωση συχνότητας $\dfrac{ω_1+ω_2}{2}$ , της οποίας το πλάτος μεταβάλλεται περιοδικά μεταξύ της τιμής $0$ και της μέγιστης τιμής $2Α$ . 🔊

Περιγραφή της κίνησης με λόγια 👀

Στη γραφική παράσταση $x - t$ του διακροτήματος παρατηρείται μια γρήγορη ταλάντωση «εγκλωβισμένη» μέσα σε μια αργά μεταβαλλόμενη περιβάλλουσα (το $Α'$ ). Η περιβάλλουσα «φουσκώνει» μέχρι το $2Α$ και «ξεφουσκώνει» μέχρι το $0$ , δίνοντας την αίσθηση ότι ο ήχος δυναμώνει και εξασθενεί διαδοχικά.

Συχνότητα και περίοδος διακροτήματος ⏲️

Το πλάτος $Α'$ γίνεται μέγιστο ( $=2Α$ ) κάθε φορά που $\left\lvert συν\!\left(\dfrac{ω_1-ω_2}{2}t\right)\right\rvert = 1$ . Ανάμεσα σε δύο διαδοχικά μέγιστα του πλάτους μεσολαβεί ένα πλήρες διακρότημα.

Τύποι διακροτήματος

Συχνότητα διακροτήματος (πόσα διακροτήματα ανά δευτερόλεπτο):

f_δ = \lvert f_1 - f_2 \rvert

Περίοδος διακροτήματος (χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μεγίστων ή ελαχίστων του πλάτους):

Τ_δ = \dfrac{1}{f_δ} = \dfrac{1}{\lvert f_1 - f_2 \rvert} = \dfrac{2π}{\lvert ω_1 - ω_2 \rvert}

Προσοχή — Συχνότητα ταλάντωσης ≠ συχνότητα διακροτήματος

Μην μπερδεύετε τις δύο συχνότητες:

Η συχνότητα της ταλάντωσης (της γρήγορης κίνησης) είναι $f = \dfrac{f_1 + f_2}{2}$ (μέση τιμή).
Η συχνότητα του διακροτήματος (της αργής μεταβολής του πλάτους) είναι $f_δ = \lvert f_1 - f_2 \rvert$ .

Επίσης, σε μία περίοδο διακροτήματος $Τ_δ$ το πλάτος μηδενίζεται δύο φορές, αφού το $\lvert συν \rvert$ μηδενίζεται δύο φορές. ⚠️

Εφαρμογή — Κούρδισμα οργάνων

Το φαινόμενο του διακροτήματος έχει σπουδαία πρακτική εφαρμογή στο κούρδισμα μουσικών οργάνων 🎸. Όταν μια χορδή και ένα διαπασών ηχούν ταυτόχρονα με ελαφρώς διαφορετικές συχνότητες, ακούγονται διακροτήματα. Καθώς πλησιάζουν οι συχνότητες ( $f_1 \to f_2$ ), τα διακροτήματα αραιώνουν ( $f_δ \to 0$ , $Τ_δ \to ∞$ ). Όταν εξαφανιστούν τελείως, το όργανο είναι κουρδισμένο.

Γ. Σύνθεση δύο ΑΑΤ με κάθετες διευθύνσεις 🌀

Θεωρούμε ένα σώμα που μετέχει ταυτόχρονα σε δύο ΑΑΤ ίδιας συχνότητας $ω$ , αλλά με κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις — π.χ. η μία στον άξονα $x$ και η άλλη στον άξονα $y$ :

x = Α_1\,ημ(ωt)

y = Α_2\,ημ(ωt + φ)

Εδώ η συνισταμένη κίνηση δεν γίνεται πάνω σε μία ευθεία· το σώμα κινείται στο επίπεδο $xy$ , διαγράφοντας μια καμπύλη που εξαρτάται από τη διαφορά φάσης $φ$ και τα πλάτη $Α_1, Α_2$ .

Μορφή της τροχιάς ανάλογα με τη διαφορά φάσης

Για $φ = 0$ ή $φ = π$ : η τροχιά είναι ευθύγραμμο τμήμα (το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ΑΑΤ σε λοξή διεύθυνση).
Για $φ = \dfrac{π}{2}$ και $Α_1 = Α_2$ : η τροχιά είναι κύκλος.
Για $φ = \dfrac{π}{2}$ και $Α_1 \neq Α_2$ : η τροχιά είναι έλλειψη με άξονες πάνω στους $x, y$ .
Για ενδιάμεσες τιμές του $φ$ : η τροχιά είναι λοξή έλλειψη. 🌀

Καμπύλες Lissajous

Αν οι δύο κάθετες ταλαντώσεις έχουν διαφορετικές συχνότητες με απλό λόγο (π.χ. $\dfrac{ω_1}{ω_2} = \dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}$ κ.λπ.), το σώμα διαγράφει σύνθετες κλειστές καμπύλες που ονομάζονται καμπύλες Lissajous. Η μορφή τους εξαρτάται από τον λόγο των συχνοτήτων και τη διαφορά φάσης.

Σύνοψη ✨

Τα βασικά με μια ματιά

Α. Ίδια διεύθυνση, ίδια συχνότητα → ΑΑΤ ίδιας συχνότητας $ω$ :

Α = \sqrt{Α_1^2 + Α_2^2 + 2Α_1Α_2συνφ}, \qquad εφθ = \dfrac{Α_2ημφ}{Α_1 + Α_2συνφ}

$φ=0 \Rightarrow Α = Α_1+Α_2$ | $φ=π \Rightarrow Α = \lvert Α_1-Α_2 \rvert$

Β. Ίδια διεύθυνση, λίγο διαφορετική συχνότητα → Διακρότημα:

ω = \dfrac{ω_1+ω_2}{2}, \quad Α' = \left\lvert 2Ασυν\!\left(\dfrac{ω_1-ω_2}{2}t\right)\right\rvert, \quad f_δ = \lvert f_1 - f_2 \rvert, \quad Τ_δ = \dfrac{1}{\lvert f_1 - f_2\rvert}

Γ. Κάθετες διευθύνσεις → Τροχιά στο επίπεδο: ευθεία / έλλειψη / κύκλος / καμπύλες Lissajous, ανάλογα με $φ$ και τον λόγο συχνοτήτων.