Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις ⚡

Στην ενότητα αυτή μελετάμε ένα κύκλωμα που αποτελείται από έναν πυκνωτή και ένα πηνίο. Θα δούμε ότι το φορτίο, η ένταση του ρεύματος και η ενέργεια στο κύκλωμα αυτό μεταβάλλονται περιοδικά, με τρόπο που παρουσιάζει εντυπωσιακή αναλογία με την απλή αρμονική ταλάντωση ενός σώματος. 🔁

Το κύκλωμα LC 🔌

Θεωρούμε ένα κύκλωμα στο οποίο στους οπλισμούς πυκνωτή χωρητικότητας $C$ συνδέουμε πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής $L$ . Η αντίσταση των αγωγών σύνδεσης και του πηνίου θεωρείται αμελητέα (ιδανικό κύκλωμα). Το κύκλωμα αυτό ονομάζεται κύκλωμα LC.

Αρχικά φορτίζουμε τον πυκνωτή ώστε να αποκτήσει φορτίο $Q$ (το μέγιστο φορτίο). Τη χρονική στιγμή $t=0$ κλείνουμε το διακόπτη και αφήνουμε το κύκλωμα ελεύθερο.

Ορισμός: Ηλεκτρική ταλάντωση 📖

Το φαινόμενο κατά το οποίο το φορτίο του πυκνωτή και η ένταση του ρεύματος σε ένα κύκλωμα LC μεταβάλλονται περιοδικά (αρμονικά) με το χρόνο ονομάζεται ηλεκτρική ταλάντωση. Όταν το κύκλωμα δεν έχει αντίσταση, η ταλάντωση είναι αμείωτη (δε φθίνει το πλάτος της).

Ποιοτική περιγραφή του φαινομένου 🔁

Ας παρακολουθήσουμε πώς ανταλλάσσεται η ενέργεια μέσα στο κύκλωμα:

Αρχικά ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος (φορτίο $Q$ ) και το ρεύμα είναι μηδέν. Όλη η ενέργεια είναι αποθηκευμένη στο ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή.
Ο πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται μέσα από το πηνίο. Το ρεύμα αυξάνεται και δημιουργείται μαγνητικό πεδίο στο πηνίο.
Όταν ο πυκνωτής εκφορτιστεί πλήρως (φορτίο μηδέν), το ρεύμα γίνεται μέγιστο και όλη η ενέργεια είναι αποθηκευμένη στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου.
Το πηνίο, λόγω αυτεπαγωγής, διατηρεί το ρεύμα, οπότε ο πυκνωτής επαναφορτίζεται με αντίθετη πολικότητα μέχρι να αποκτήσει ξανά φορτίο μέτρου $Q$ .
Στη συνέχεια η διαδικασία επαναλαμβάνεται αντίστροφα, και ο κύκλος συνεχίζεται περιοδικά.

Αναλογία με την απλή αρμονική ταλάντωση 🪀

Η ηλεκτρική ταλάντωση ενός κυκλώματος LC παρουσιάζει αναλογίες με την απλή αρμονική ταλάντωση που εκτελεί ένα σώμα. Το φορτίο $q$ του πυκνωτή αντιστοιχεί στην απομάκρυνση $x$ , και η ένταση του ρεύματος $i$ στην ταχύτητα $\upsilon$ του σώματος.

Φορτίο και ένταση ρεύματος 📈

Σε ιδανικό κύκλωμα LC, με αρχικό φορτίο $Q$ τη στιγμή $t=0$ , το φορτίο του πυκνωτή μεταβάλλεται αρμονικά:

q = Q\,\sigma\upsilon\nu\,\omega t \tag{1.15}

Η ένταση του ρεύματος προκύπτει ως ο ρυθμός μεταβολής του φορτίου και είναι επίσης αρμονική συνάρτηση του χρόνου:

i = -I\,\eta\mu\,\omega t \tag{1.16}

όπου το πλάτος της έντασης δίνεται από τη σχέση:

I = Q\,\omega

Διαφορά φάσης φορτίου - έντασης ⏱️

Από τις σχέσεις (1.15) και (1.16) φαίνεται ότι το φορτίο $q$ και η ένταση $i$ διαφέρουν κατά φάση $\frac{\pi}{2}$ (δηλαδή κατά $\frac{T}{4}$ ). Όταν το φορτίο είναι μέγιστο, η ένταση είναι μηδέν, και όταν το φορτίο είναι μηδέν, η ένταση είναι μέγιστη κατά μέτρο.

Γωνιακή συχνότητα και περίοδος ⏱️

Η γωνιακή συχνότητα της αμείωτης ηλεκτρικής ταλάντωσης εξαρτάται μόνο από τα χαρακτηριστικά του κυκλώματος, δηλαδή από την αυτεπαγωγή $L$ και τη χωρητικότητα $C$ :

\omega = \frac{1}{\sqrt{L\,C}}

Επομένως η περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης είναι:

T = 2\pi\sqrt{L\,C} \tag{1.21}

Ιδιότητα της περιόδου 🎯

Η περίοδος (και η συχνότητα) της αμείωτης ηλεκτρικής ταλάντωσης εξαρτάται μόνο από τις τιμές της αυτεπαγωγής $L$ και της χωρητικότητας $C$ του κυκλώματος. Δεν εξαρτάται από το αρχικό φορτίο $Q$ ούτε από το πλάτος της ταλάντωσης. Η συχνότητα αυτή ονομάζεται ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος.

Προσοχή στις μονάδες ⚠️

Στον τύπο $T = 2\pi\sqrt{L\,C}$ , η αυτεπαγωγή $L$ μετριέται σε Henry (H) και η χωρητικότητα $C$ σε Farad (F). Τότε η περίοδος προκύπτει σε δευτερόλεπτα (s). Συχνά στις ασκήσεις δίνονται $\mu F$ , $mH$ κ.λπ., οπότε χρειάζεται μετατροπή στις μονάδες SI πριν τους υπολογισμούς.

Ενέργεια στο κύκλωμα 🔋

Σε κάθε στιγμή, η ενέργεια του κυκλώματος είναι μοιρασμένη ανάμεσα στο ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή και στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου.

Ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου

Η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή, όταν αυτός έχει φορτίο $q$ , είναι:

U_E = \frac{1}{2}\,\frac{q^2}{C} \tag{1.17}

Αντικαθιστώντας το $q = Q\,\sigma\upsilon\nu\,\omega t$ από τη σχέση (1.15) παίρνουμε:

U_E = E\,\sigma\upsilon\nu^2\,\omega t \tag{1.19}

όπου $E$ η ολική ενέργεια του κυκλώματος.

Ενέργεια μαγνητικού πεδίου

Η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου, όταν το ρεύμα έχει ένταση $i$ , είναι:

U_B = \frac{1}{2}\,L\,i^2 \tag{1.18}

Αντικαθιστώντας το $i = -I\,\eta\mu\,\omega t$ από τη σχέση (1.16) παίρνουμε:

U_B = E\,\eta\mu^2\,\omega t \tag{1.20}

Διατήρηση της ολικής ενέργειας

Σε ιδανικό κύκλωμα (χωρίς αντίσταση) δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας. Έτσι η ολική ενέργεια του κυκλώματος παραμένει σταθερή και ισούται με την αρχική ενέργεια του πλήρως φορτισμένου πυκνωτή, η οποία ισούται και με τη μέγιστη ενέργεια του πηνίου:

E = \frac{1}{2}\,\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}\,L\,I^2

Πρόταση: Σταθερότητα της ολικής ενέργειας 🔋

Η ολική ενέργεια του ιδανικού κυκλώματος LC είναι σε κάθε στιγμή σταθερή:

E = U_E + U_B = \text{σταθερή}

Πράγματι, προσθέτοντας τις (1.19) και (1.20):

U_E + U_B = E\,\sigma\upsilon\nu^2\,\omega t + E\,\eta\mu^2\,\omega t = E\,(\sigma\upsilon\nu^2\,\omega t + \eta\mu^2\,\omega t) = E

αφού $\sigma\upsilon\nu^2\,\omega t + \eta\mu^2\,\omega t = 1$ . Η ηλεκτρική ενέργεια μετατρέπεται περιοδικά σε μαγνητική και αντίστροφα, με την ολική να διατηρείται. ✅

Μόνο το ιδανικό κύκλωμα δίνει αμείωτη ταλάντωση ⚠️

Η αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση και η διατήρηση της ολικής ενέργειας ισχύουν μόνο όταν η αντίσταση του κυκλώματος είναι μηδέν. Αν υπάρχει αντίσταση $R$ , μέρος της ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα (φαινόμενο Joule), το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται με το χρόνο και έχουμε φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση.

Σύνοψη αντιστοιχιών 📋

Ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει την αναλογία ανάμεσα στο κύκλωμα LC και στο μηχανικό σύστημα ελατηρίου - σώματος:

Μηχανική ταλάντωση	Ηλεκτρική ταλάντωση
Απομάκρυνση $x$	Φορτίο $q$
Ταχύτητα $\upsilon$	Ένταση ρεύματος $i$
Μάζα $m$	Αυτεπαγωγή $L$
Σταθερά ελατηρίου $k$	Αντίστροφο χωρητικότητας $1/C$
Δυναμική ενέργεια $\frac{1}{2}kx^2$	Ενέργεια ηλ. πεδίου $\frac{1}{2}\frac{q^2}{C}$
Κινητική ενέργεια $\frac{1}{2}m\upsilon^2$	Ενέργεια μαγν. πεδίου $\frac{1}{2}Li^2$

Πόρισμα 🧠

Λόγω αυτής της αντιστοιχίας, κάθε σχέση της απλής αρμονικής ταλάντωσης έχει το ηλεκτρικό της ανάλογο. Έτσι, όπως $\omega = \sqrt{k/m}$ στη μηχανική, έχουμε $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ στο κύκλωμα LC, αντικαθιστώντας $k \to 1/C$ και $m \to L$ .