Απλή Αρμονική Ταλάντωση 🌊

Η απλή αρμονική ταλάντωση (Α.Α.Τ.) είναι το θεμελιωδέστερο είδος περιοδικής κίνησης στη Φυσική. Πολλά φυσικά συστήματα (το σώμα στην άκρη ενός ελατηρίου, το εκκρεμές για μικρές γωνίες, τα φορτία σε ηλεκτρικό κύκλωμα LC) εκτελούν, κατά καλή προσέγγιση, απλή αρμονική ταλάντωση. Η μελέτη της αποτελεί τη βάση για όλο το κεφάλαιο των ταλαντώσεων.

Από την περιοδική κίνηση στην ταλάντωση 🔁

Το ήξερες;

Κάθε κίνηση που επαναλαμβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήματα ονομάζεται περιοδική κίνηση. Αν επιπλέον η κίνηση γίνεται γύρω από μια θέση ισορροπίας και είναι παλινδρομική (πηγαινέλα), τότε ονομάζεται ταλάντωση.

Ταλάντωση ονομάζουμε κάθε παλινδρομική περιοδική κίνηση. Όταν η τροχιά της κίνησης είναι ευθεία γραμμή, η ταλάντωση λέγεται γραμμική.

Θεωρούμε ένα σώμα που κινείται παλινδρομικά πάνω σε έναν άξονα, εκατέρωθεν μιας σταθερής θέσης $O$ . Η θέση $O$ είναι η θέση ισορροπίας, δηλαδή η θέση στην οποία θα ηρεμούσε το σώμα αν δεν το είχαμε διαταράξει.

Ορισμός: Απλή Αρμονική Ταλάντωση

Μια γραμμική ταλάντωση ονομάζεται απλή αρμονική όταν η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας είναι αρμονική (ημιτονοειδής) συνάρτηση του χρόνου, δηλαδή περιγράφεται από εξίσωση της μορφής:

x = A\,ημ(ωt)

Βασικά μεγέθη της ταλάντωσης 📐

Απομάκρυνση $x$

Η απομάκρυνση $x$ είναι η (αλγεβρική) απόσταση του σώματος από τη θέση ισορροπίας μια δεδομένη χρονική στιγμή. Είναι διανυσματικό μέγεθος (στον άξονα παίρνει θετικές ή αρνητικές τιμές) και μετριέται σε μέτρα (m).

Πλάτος $A$

Το πλάτος $A$ είναι η μέγιστη απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας:

-A \le x \le +A

Σε αντίθεση με την απομάκρυνση, που αλλάζει πρόσημο, το πλάτος είναι πάντα θετική σταθερά για μια δεδομένη ταλάντωση, ταυτίζεται με το εύρος της κίνησης και μετριέται σε μέτρα (m).

Περίοδος $T$ και Συχνότητα $f$

Ορισμοί

Περίοδος $T$ : ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα για να εκτελέσει μία πλήρη ταλάντωση. Μονάδα: δευτερόλεπτο (s).
Συχνότητα $f$ : ο αριθμός των πλήρων ταλαντώσεων που εκτελεί το σώμα στη μονάδα του χρόνου. Μονάδα: hertz (Hz) $= 1/s$ .

Περίοδος και συχνότητα συνδέονται με τη θεμελιώδη σχέση:

f = \dfrac{1}{T}

Κυκλική (γωνιακή) συχνότητα $ω$

Η κυκλική συχνότητα $ω$ (ή γωνιακή συχνότητα) συνδέεται με την περίοδο και τη συχνότητα ως εξής:

ω = \dfrac{2π}{T} = 2πf

Μετριέται σε rad/s. Είναι το μέγεθος που υπεισέρχεται μέσα στο ημίτονο της εξίσωσης απομάκρυνσης.

Φάση της ταλάντωσης

Η ποσότητα $ωt$ (ή γενικότερα $ωt + φ_0$ ) ονομάζεται φάση της ταλάντωσης. Καθορίζει σε ποιο σημείο του κύκλου της ταλάντωσης βρίσκεται το σώμα μια δεδομένη στιγμή. Το $φ_0$ είναι η αρχική φάση (τη στιγμή $t = 0$ ).

Στη βασική περιγραφή του βιβλίου θεωρούμε ότι τη χρονική στιγμή $t = 0$ το σώμα ξεκινά από τη θέση ισορροπίας ( $x = 0$ ), οπότε $φ_0 = 0$ και:

x = A\,ημ(ωt)

Ταχύτητα στην Α.Α.Τ. 🚀

Η ταχύτητα προκύπτει ως ο ρυθμός μεταβολής της απομάκρυνσης. Από την $x = A\,ημ(ωt)$ , παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο, λαμβάνουμε:

Εξίσωση ταχύτητας

υ = ωA\,συν(ωt)

Απόδειξη (σκέψη του βιβλίου): Η ταχύτητα είναι η παράγωγος της απομάκρυνσης ως προς τον χρόνο, $υ = \dfrac{dx}{dt}$ . Παραγωγίζοντας την $x = A\,ημ(ωt)$ ως σύνθετη συνάρτηση:

υ = \dfrac{d}{dt}\big[A\,ημ(ωt)\big] = A\,συν(ωt)\cdot ω = ωA\,συν(ωt)

Η μέγιστη ταχύτητα (κατά απόλυτη τιμή) προκύπτει όταν $|συν(ωt)| = 1$ :

υ_{max} = ωA

Πού είναι μέγιστη/μηδενική η ταχύτητα;

Η ταχύτητα είναι μέγιστη ( $υ_{max} = ωA$ ) στη θέση ισορροπίας ( $x = 0$ ).
Η ταχύτητα είναι μηδέν στις ακραίες θέσεις ( $x = \pm A$ ), όπου το σώμα στιγμιαία σταματά για να αλλάξει φορά.

Επιτάχυνση στην Α.Α.Τ. ⚡

Η επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας. Παραγωγίζοντας την $υ = ωA\,συν(ωt)$ ως προς τον χρόνο:

Εξίσωση επιτάχυνσης

α = -ω^2 A\,ημ(ωt)

Απόδειξη: $α = \dfrac{dυ}{dt} = \dfrac{d}{dt}\big[ωA\,συν(ωt)\big] = ωA\cdot\big(-ημ(ωt)\big)\cdot ω = -ω^2 A\,ημ(ωt)$ .

Η μέγιστη επιτάχυνση (κατά απόλυτη τιμή) προκύπτει όταν $|ημ(ωt)| = 1$ :

α_{max} = ω^2 A

Η θεμελιώδης σχέση $α = -ω^2 x$

Αν συγκρίνουμε την εξίσωση της επιτάχυνσης με την εξίσωση της απομάκρυνσης, παρατηρούμε ότι $α = -ω^2\big(A\,ημ(ωt)\big)$ , δηλαδή:

Χαρακτηριστική σχέση της Α.Α.Τ.

α = -ω^2 x

Η επιτάχυνση είναι ανάλογη της απομάκρυνσης και αντίθετης φοράς προς αυτήν.

Προσοχή!

Το αρνητικό πρόσημο είναι κρίσιμο. Σημαίνει ότι η επιτάχυνση δείχνει πάντα προς τη θέση ισορροπίας, δηλαδή είναι αντίθετη της απομάκρυνσης. Αυτή ακριβώς η ιδιότητα ( $α = -ω^2 x$ ) αποτελεί το κριτήριο για να χαρακτηρίσουμε μια ταλάντωση ως απλή αρμονική.

Πού είναι μέγιστη/μηδενική η επιτάχυνση;

Η επιτάχυνση είναι μηδέν στη θέση ισορροπίας ( $x = 0$ ).
Η επιτάχυνση είναι μέγιστη ( $α_{max} = ω^2 A$ ) στις ακραίες θέσεις ( $x = \pm A$ ).

Η δύναμη επαναφοράς 🎯

Σύμφωνα με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα, η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα μάζας $m$ είναι $ΣF = mα$ . Αντικαθιστώντας την $α = -ω^2 x$ :

ΣF = m\,(-ω^2 x) = -(mω^2)\,x

Ορίζουμε τη σταθερά επαναφοράς $D$ :

D = mω^2

οπότε προκύπτει ο χαρακτηριστικός νόμος της δύναμης στην Α.Α.Τ.:

Δύναμη επαναφοράς

ΣF = -Dx

Η συνισταμένη δύναμη είναι ανάλογη της απομάκρυνσης και έχει αντίθετη φορά από αυτήν (κατευθύνεται πάντα προς τη θέση ισορροπίας).

Προσοχή στη φύση της σταθεράς D!

Η σταθερά $D$ εξαρτάται από το συγκεκριμένο σύστημα που ταλαντώνεται και μετριέται σε N/m. Δεν πρέπει να συγχέεται απαραίτητα με τη σταθερά $k$ ενός ελατηρίου. Στην περίπτωση όμως μιας οριζόντιας ταλάντωσης σώματος-ελατηρίου χωρίς τριβές, ισχύει $D = k$ .

Συνθήκη για Α.Α.Τ.

Πρόταση

Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση όταν και μόνο όταν η συνισταμένη δύναμη που δέχεται είναι της μορφής $ΣF = -Dx$ , δηλαδή είναι δύναμη επαναφοράς ανάλογη της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας.

Η περίοδος της ταλάντωσης ⏱️

Από τη σχέση $D = mω^2$ λύνουμε ως προς την κυκλική συχνότητα:

ω^2 = \dfrac{D}{m} \;\;\Rightarrow\;\; ω = \sqrt{\dfrac{D}{m}}

Επειδή $ω = \dfrac{2π}{T}$ , αντικαθιστώντας προκύπτει η περίοδος:

Περίοδος Α.Α.Τ.

T = 2π\sqrt{\dfrac{m}{D}}

Το λάθος που γίνεται συστηματικά

Η ανεξαρτησία της περιόδου από το πλάτος δεν σημαίνει ότι το πλάτος δεν επηρεάζει τίποτα: επηρεάζει τη $υ_{max}$ , την $α_{max}$ και τη μέγιστη δύναμη, που είναι όλες ανάλογες του $A$ . Αυτό που μένει σταθερό είναι μόνο ο χρόνος της ταλάντωσης.

Πόρισμα — η ιδιότητα της ισοχρονισμού: Η περίοδος $T$ εξαρτάται μόνο από τη μάζα $m$ και τη σταθερά επαναφοράς $D$ . Δεν εξαρτάται από το πλάτος $A$ ούτε από την ταχύτητα. Άρα, αλλάζοντας μόνο το πλάτος της ταλάντωσης, η περίοδος παραμένει σταθερή.

Αντίστοιχα η συχνότητα:

f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{2π}\sqrt{\dfrac{D}{m}}

Συγκεντρωτικός πίνακας εξισώσεων 📋

Μέγεθος	Εξίσωση	Μέγιστη τιμή	Θέση μεγίστου
Απομάκρυνση	$x = Aημ(ωt)$	$A$	ακραίες θέσεις
Ταχύτητα	$υ = ωAσυν(ωt)$	$υ_{max} = ωA$	θέση ισορροπίας $x=0$
Επιτάχυνση	$α = -ω^2Aημ(ωt)$	$α_{max} = ω^2A$	ακραίες θέσεις $x=\pm A$
Δύναμη	$ΣF = -Dx$	$F_{max} = DA$	ακραίες θέσεις $x=\pm A$

Σχέση	Τύπος
Κυκλική συχνότητα	$ω = \dfrac{2π}{T} = 2πf$
Επιτάχυνση–απομάκρυνση	$α = -ω^2x$
Σταθερά επαναφοράς	$D = mω^2$
Περίοδος	$T = 2π\sqrt{\dfrac{m}{D}}$

Γραφικές παραστάσεις 📊

Στο σχολικό βιβλίο (διαγράμματα 1.3, 1.4, 1.6, 1.7) δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των $x$ , $υ$ και $α$ σε συνάρτηση με τον χρόνο. Περιγραφικά:

Η απομάκρυνση $x = Aημ(ωt)$ είναι ημιτονοειδής καμπύλη που ξεκινά από το μηδέν.
Η ταχύτητα $υ = ωAσυν(ωt)$ είναι συνημιτονοειδής καμπύλη: ξεκινά από τη μέγιστη τιμή της και έχει διαφορά φάσης $\dfrac{π}{2}$ (προηγείται) ως προς την απομάκρυνση.
Η επιτάχυνση $α = -ω^2Aημ(ωt)$ είναι ημιτονοειδής αλλά αντίθετης φάσης (διαφορά φάσης $π$ ) ως προς την απομάκρυνση: όταν το $x$ είναι μέγιστο θετικό, το $α$ είναι μέγιστο αρνητικό.

Παρατήρηση για τις διαφορές φάσης

Ταχύτητα ως προς απομάκρυνση: διαφορά φάσης $\dfrac{π}{2}$ (η ταχύτητα προηγείται).
Επιτάχυνση ως προς απομάκρυνση: διαφορά φάσης $π$ (είναι αντίθετες).

Συνοπτική αλληλουχία θέσεων 🧭

Σε μία πλήρη ταλάντωση, ξεκινώντας από τη θέση ισορροπίας:

Θέση ισορροπίας ( $x = 0$ ): $υ$ μέγιστη, $α = 0$ , $ΣF = 0$ .
Ακραία θέση ( $x = \pm A$ ): $υ = 0$ , $α$ μέγιστη, $ΣF$ μέγιστη (προς τη θέση ισορροπίας).

Προσοχή — μη μπερδεύεις τις θέσεις!

Στην Α.Α.Τ. η ταχύτητα και η επιτάχυνση δεν γίνονται μέγιστες στην ίδια θέση. Όπου η μία είναι μέγιστη, η άλλη μηδενίζεται. Η ταχύτητα κορυφώνεται στη θέση ισορροπίας, ενώ η επιτάχυνση (και η δύναμη) στις ακραίες θέσεις.

Παράδειγμα εφαρμογής 🧮

Στο βιβλίο (Παράδειγμα 1-1) η περίοδος συστήματος μάζας–ελατηρίου υπολογίζεται από τον τύπο $T = 2π\sqrt{\dfrac{m}{D}}$ .

Ενδεικτικό παράδειγμα: Σώμα μάζας $m = 0{,}5\ \text{kg}$ είναι δεμένο σε ελατήριο σταθεράς $D = 50\ \text{N/m}$ και εκτελεί Α.Α.Τ. πλάτους $A = 0{,}1\ \text{m}$ .

Η κυκλική συχνότητα:

ω = \sqrt{\dfrac{D}{m}} = \sqrt{\dfrac{50}{0{,}5}} = \sqrt{100} = 10\ \text{rad/s}

Η περίοδος:

T = \dfrac{2π}{ω} = \dfrac{2π}{10} \approx 0{,}63\ \text{s}

Η μέγιστη ταχύτητα:

υ_{max} = ωA = 10 \cdot 0{,}1 = 1\ \text{m/s}

Η μέγιστη επιτάχυνση:

α_{max} = ω^2 A = 10^2 \cdot 0{,}1 = 10\ \text{m/s}^2

Να θυμάσαι

Η απλή αρμονική ταλάντωση χαρακτηρίζεται πλήρως από δύο μεγέθη: το πλάτος $A$ (καθορίζει «πόσο μακριά» φτάνει) και την κυκλική συχνότητα $ω$ (καθορίζει «πόσο γρήγορα» ταλαντώνεται). Όλα τα υπόλοιπα μεγέθη ( $υ_{max}$ , $α_{max}$ , $T$ , $f$ , $D$ ) προκύπτουν από αυτά.