Σύγκριση ηλεκτροστατικού και βαρυτικού πεδίου

Το ηλεκτροστατικό και το βαρυτικό πεδίο παρουσιάζουν εντυπωσιακές μαθηματικές ομοιότητες. Τόσο ο νόμος του Coulomb όσο και ο νόμος της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα περιγράφουν δυνάμεις αντιστρόφως ανάλογες με το τετράγωνο της απόστασης, ενώ και οι δύο δυνάμεις είναι κεντρικές (έχουν φορά κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα δύο σώματα) και διατηρητικές (το έργο τους είναι ανεξάρτητο της διαδρομής).

Η ομοιότητα αυτή οδηγεί στη σκέψη ότι ίσως υπάρχουν και περαιτέρω αναλογίες ανάμεσα στα δύο πεδία. Στην πραγματικότητα όμως πρόκειται για δύο πεδία στα οποία οι διαφορές είναι περισσότερες από τις ομοιότητες.

Η βασική αναλογία 💡

Και τα δύο πεδία πηγάζουν από νόμους της μορφής «δύναμη αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης», με κεντρικές και διατηρητικές δυνάμεις. Αντιστοιχίζοντας το φορτίο $q$ με τη μάζα $m$ και τη σταθερά $\mathrm{K_c}$ με τη σταθερά $\mathrm{G}$ , όλοι οι τύποι του ενός πεδίου μεταφέρονται στον αντίστοιχο τύπο του άλλου.

Ο νόμος της δύναμης

Ηλεκτροστατικό πεδίο — Νόμος του Coulomb

Δύο σημειακά φορτία $q_1$ και $q_2$ που απέχουν απόσταση $r$ αλληλεπιδρούν με δύναμη μέτρου

F = \mathrm{K_c}\,\dfrac{|q_1 q_2|}{r^2}

όπου $\mathrm{K_c}$ η ηλεκτροστατική σταθερά (σταθερά του Coulomb).

Βαρυτικό πεδίο — Νόμος της παγκόσμιας έλξης

Δύο σημειακές μάζες $m_1$ και $m_2$ που απέχουν απόσταση $r$ αλληλεπιδρούν με δύναμη μέτρου

F = \mathrm{G}\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}

όπου $\mathrm{G}$ η παγκόσμια σταθερά της βαρύτητας.

Κρίσιμη διαφορά στο πρόσημο ⚠️

Στον νόμο του Coulomb υπάρχει το γινόμενο $q_1 q_2$ , που μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό, οπότε η δύναμη είναι είτε απωστική (ομώνυμα φορτία) είτε ελκτική (ετερώνυμα φορτία). Αντίθετα, στον νόμο της βαρύτητας το γινόμενο $m_1 m_2$ είναι πάντα θετικό, άρα η βαρυτική δύναμη είναι πάντα ελκτική.

Ένταση πεδίου

Ένταση ηλεκτρικού πεδίου

Η ένταση ηλεκτρικού πεδίου σε ένα σημείο ορίζεται ως η δύναμη ανά μονάδα φορτίου δοκιμασίας:

\vec{E} = \dfrac{\vec{F}}{q}

Για σημειακό φορτίο $\mathrm{Q}$ , σε απόσταση $r$ :

E = \mathrm{K_c}\,\dfrac{|\mathrm{Q}|}{r^2}

Ένταση βαρυτικού πεδίου

Η ένταση βαρυτικού πεδίου (επιτάχυνση της βαρύτητας) σε ένα σημείο ορίζεται ως η δύναμη ανά μονάδα μάζας δοκιμασίας:

\vec{g} = \dfrac{\vec{F}}{m}

Για σημειακή μάζα $\mathrm{M}$ , σε απόσταση $r$ :

g = \mathrm{G}\,\dfrac{\mathrm{M}}{r^2}

Αντιστοιχία εντάσεων 🔗

Η ένταση ορίζεται και στα δύο πεδία ως «δύναμη ανά μονάδα» — ανά μονάδα φορτίου στο ηλεκτρικό, ανά μονάδα μάζας στο βαρυτικό. Το βαρυτικό πεδίο $\vec{g}$ είναι πάντα προς τη μάζα που το δημιουργεί, ενώ το ηλεκτρικό $\vec{E}$ είναι απομακρυνόμενο από θετικό φορτίο και κατευθυνόμενο προς αρνητικό.

Δυναμικό

Ηλεκτρικό δυναμικό

Το δυναμικό σε απόσταση $r$ από σημειακό φορτίο $\mathrm{Q}$ είναι

V = \mathrm{K_c}\,\dfrac{\mathrm{Q}}{r}

Το ηλεκτρικό δυναμικό μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό, ανάλογα με το πρόσημο του $\mathrm{Q}$ .

Βαρυτικό δυναμικό

Το βαρυτικό δυναμικό σε απόσταση $r$ από σημειακή μάζα $\mathrm{M}$ είναι

V_{\beta\alpha\rho} = -\mathrm{G}\,\dfrac{\mathrm{M}}{r}

Το βαρυτικό δυναμικό είναι πάντα αρνητικό και μέγιστο (μηδέν) στο άπειρο.

Δυναμική ενέργεια

Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια

Για σύστημα δύο σημειακών φορτίων $q_1$ , $q_2$ σε απόσταση $r$ :

U = \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_1 q_2}{r}

Μπορεί να είναι θετική (ομώνυμα φορτία) ή αρνητική (ετερώνυμα φορτία).

Βαρυτική δυναμική ενέργεια

Για σύστημα δύο σημειακών μαζών $m_1$ , $m_2$ σε απόσταση $r$ :

U_{\beta\alpha\rho} = -\mathrm{G}\,\dfrac{m_1 m_2}{r}

Είναι πάντα αρνητική, λόγω του ελκτικού χαρακτήρα της βαρύτητας.

Συγκριτικός πίνακας

Στον παρακάτω πίνακα συνοψίζονται οι αντίστοιχες σχέσεις των δύο πεδίων.

Μέγεθος	Ηλεκτροστατικό πεδίο	Βαρυτικό πεδίο
Πηγή πεδίου	Φορτίο $q$ (δύο είδη)	Μάζα $m$ (ένα είδος)
Σταθερά	$\mathrm{K_c}$	$\mathrm{G}$
Δύναμη	$F = \mathrm{K_c}\,\dfrac{\vert q_1 q_2\vert }{r^2}$	$F = \mathrm{G}\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$
Είδος δύναμης	Έλξη ή άπωση	Μόνο έλξη
Ένταση	$E = \mathrm{K_c}\,\dfrac{\vert \mathrm{Q}\vert }{r^2}$	$g = \mathrm{G}\,\dfrac{\mathrm{M}}{r^2}$
Ορισμός έντασης	$\vec{E} = \dfrac{\vec{F}}{q}$	$\vec{g} = \dfrac{\vec{F}}{m}$
Δυναμικό	$V = \mathrm{K_c}\,\dfrac{\mathrm{Q}}{r}$	$V_{\beta\alpha\rho} = -\mathrm{G}\,\dfrac{\mathrm{M}}{r}$
Δυναμική ενέργεια	$U = \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_1 q_2}{r}$	$U_{\beta\alpha\rho} = -\mathrm{G}\,\dfrac{m_1 m_2}{r}$
Εξάρτηση από το υλικό	Ναι (διηλεκτρικό)	Όχι

Ομοιότητες και διαφορές

Ομοιότητες

Κοινά χαρακτηριστικά ✅

Και οι δύο δυνάμεις είναι αντιστρόφως ανάλογες με το τετράγωνο της απόστασης ( $F \propto 1/r^2$ ).
Και οι δύο είναι κεντρικές δυνάμεις (με φορά κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα σώματα).
Και οι δύο είναι διατηρητικές δυνάμεις (το έργο τους είναι ανεξάρτητο της διαδρομής), οπότε σε καθένα ορίζονται δυναμικό και δυναμική ενέργεια.
Οι μαθηματικές σχέσεις έντασης, δυναμικού και δυναμικής ενέργειας έχουν όμοια μορφή στα δύο πεδία.

Διαφορές

Θεμελιώδεις διαφορές ⚠️

Είδος πηγής: Υπάρχουν δύο είδη ηλεκτρικού φορτίου (θετικό και αρνητικό), ενώ υπάρχει ένα μόνο είδος μάζας (θετική).
Είδος δύναμης: Οι ηλεκτροστατικές δυνάμεις είναι είτε απωστικές είτε ελκτικές, ενώ οι βαρυτικές δυνάμεις είναι μόνο ελκτικές.
Εξάρτηση από το υλικό: Οι ηλεκτροστατικές δυνάμεις εξαρτώνται από το είδος του υλικού που παρεμβάλλεται ανάμεσα στα φορτία (διηλεκτρικό), ενώ οι βαρυτικές δυνάμεις δεν εξαρτώνται από το υλικό που υπάρχει ανάμεσα στις μάζες.

Παρατηρήσεις και Προτάσεις

Παρατήρηση: η δυνατότητα θωράκισης 🛡️

Επειδή υπάρχουν δύο είδη φορτίου, ένα ηλεκτρικό πεδίο μπορεί να θωρακιστεί (να εξουδετερωθεί τοπικά) με κατάλληλη διάταξη φορτίων ή αγωγών (κλωβός Faraday). Αντίθετα, επειδή υπάρχει ένα μόνο είδος μάζας, το βαρυτικό πεδίο δεν μπορεί να θωρακιστεί — δεν υπάρχει «αρνητική μάζα» που να ακυρώνει τη βαρύτητα.

Παρατήρηση: σχετική ισχύς των δύο δυνάμεων 📊

Η ηλεκτροστατική δύναμη είναι ασύγκριτα ισχυρότερη της βαρυτικής. Για παράδειγμα, ανάμεσα σε δύο πρωτόνια η ηλεκτρική άπωση υπερισχύει της βαρυτικής έλξης κατά πολλές τάξεις μεγέθους. Η βαρύτητα γίνεται κυρίαρχη μόνο σε αστρονομική κλίμακα, όπου τα σώματα είναι κατά κανόνα ηλεκτρικά ουδέτερα και επομένως η ηλεκτρική αλληλεπίδρασή τους εξουδετερώνεται.

Πρόταση: μετατροπή τύπων μεταξύ των πεδίων 🔄

Κάθε σχέση του ηλεκτροστατικού πεδίου μετατρέπεται στην αντίστοιχη βαρυτική με τις αντιστοιχίσεις

\mathrm{K_c} \to \mathrm{G}, \qquad q \to m

προσέχοντας όμως ότι στο βαρυτικό πεδίο εισάγεται αρνητικό πρόσημο στο δυναμικό και τη δυναμική ενέργεια, αφού η βαρύτητα είναι πάντα ελκτική.

Παρατήρηση: μηδέν δυναμικού 📏

Και στα δύο πεδία ως επίπεδο μηδενικού δυναμικού και μηδενικής δυναμικής ενέργειας λαμβάνεται το άπειρο ( $r \to \infty$ ). Στο βαρυτικό πεδίο όλες οι τιμές δυναμικού και δυναμικής ενέργειας είναι αρνητικές και προσεγγίζουν το μηδέν από κάτω, ενώ στο ηλεκτρικό πεδίο μπορεί να είναι θετικές ή αρνητικές.