Το βαρυτικό πεδίο της Γης

Στην ενότητα αυτή εφαρμόζουμε τις γενικές σχέσεις του βαρυτικού πεδίου μιας σημειακής μάζας στην περίπτωση της Γης, ώστε να περιγράψουμε την ένταση (και το δυναμικό) του βαρυτικού πεδίου σε σημεία του εξωτερικού της χώρου.

Η Γη ως ομογενής σφαίρα

Με ικανοποιητική προσέγγιση, μπορούμε να θεωρήσουμε τη Γη σαν μια ομογενή σφαίρα ακτίνας $R_\Gamma$ και μάζας $M_\Gamma$ , με τιμές:

R_\Gamma = 6{,}38 \times 10^{6}\ \text{m}, \qquad M_\Gamma = 5{,}98 \times 10^{24}\ \text{kg}

💡 Γιατί μπορούμε να θεωρήσουμε τη Γη σημειακή μάζα

Μια ομογενής σφαίρα (ή μια σφαίρα με σφαιρικά συμμετρική κατανομή μάζας) δημιουργεί στον εξωτερικό της χώρο βαρυτικό πεδίο πανομοιότυπο με εκείνο που θα δημιουργούσε όλη η μάζα της συγκεντρωμένη στο κέντρο της. Έτσι, για κάθε σημείο Α στο εξωτερικό της Γης, ισχύουν οι σχέσεις του πεδίου που δημιουργεί μια σημειακή μάζα.

Ένταση και δυναμικό συναρτήσει του ύψους

Το βαρυτικό πεδίο της Γης σε ένα σημείο Α στο εξωτερικό της περιγράφεται από τις σχέσεις του πεδίου μιας σημειακής μάζας. Επειδή όμως συνήθως η θέση ενός σημείου προσδιορίζεται από το ύψος $h$ στο οποίο βρίσκεται πάνω από την επιφάνεια της Γης, είναι σκόπιμο να αντικαταστήσουμε την απόσταση $r$ από το κέντρο της Γης με το άθροισμα $R_\Gamma + h$ .

Με τον τρόπο αυτό, οι σχέσεις που δίνουν την ένταση $g$ και το δυναμικό $V$ στο πεδίο βαρύτητας της Γης — πάντα αναφερόμαστε στον εξωτερικό της χώρο — είναι:

g = G\,\frac{M_\Gamma}{(R_\Gamma + h)^2}

V = -G\,\frac{M_\Gamma}{R_\Gamma + h}

όπου $G$ η παγκόσμια σταθερά της βαρύτητας και $h$ το ύψος του σημείου από την επιφάνεια της Γης.

📐 Επεξήγηση συμβόλων

$g$ : μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου σε ύψος $h$ (σε $\text{m}/\text{s}^2$ ή $\text{N}/\text{kg}$ ).
$V$ : δυναμικό του βαρυτικού πεδίου σε ύψος $h$ (σε $\text{J}/\text{kg}$ ). Είναι πάντα αρνητικό, με τιμή αναφοράς $V = 0$ στο άπειρο ( $r \to \infty$ ).
$r = R_\Gamma + h$ : απόσταση του σημείου από το κέντρο της Γης.
Η ένταση $\vec{g}$ είναι διανυσματικό μέγεθος με κατεύθυνση προς το κέντρο της Γης· το δυναμικό $V$ είναι βαθμωτό μέγεθος.

⚠️ Οι σχέσεις ισχύουν μόνο στον εξωτερικό χώρο

Οι σχέσεις $g = G\dfrac{M_\Gamma}{(R_\Gamma + h)^2}$ και $V = -G\dfrac{M_\Gamma}{R_\Gamma + h}$ ισχύουν για $h \ge 0$ , δηλαδή για σημεία στην επιφάνεια ή στον εξωτερικό χώρο της Γης. Στο εσωτερικό της Γης ισχύουν διαφορετικές σχέσεις και δεν περιγράφονται εδώ.

Η ένταση στην επιφάνεια της Γης

🌍 Παρατήρηση — Ένταση στην επιφάνεια

Εάν στη σχέση της έντασης θέσουμε $h = 0$ , προκύπτει η ένταση του πεδίου βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης:

g_0 = G\,\frac{M_\Gamma}{R_\Gamma^{\,2}}

Με αντικατάσταση των τιμών των μεγεθών βρίσκουμε:

g_0 = 9{,}8\ \text{m}/\text{s}^2

Η τιμή $g_0$ είναι η γνωστή μας επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης, που εμφανίζεται στο βάρος ενός σώματος μάζας $m$ : $w = m\,g_0$ .

Μεταβολή της έντασης με το ύψος

Από τη σχέση $g = G\dfrac{M_\Gamma}{(R_\Gamma + h)^2}$ προκύπτει ότι η ένταση μειώνεται καθώς αυξάνεται το ύψος $h$ , αφού το $h$ βρίσκεται στον παρονομαστή και μάλιστα υψωμένο στο τετράγωνο.

Διαιρώντας τη σχέση της έντασης σε ύψος $h$ με τη σχέση της έντασης στην επιφάνεια, παίρνουμε μια χρήσιμη σχέση που συνδέει το $g$ με το $g_0$ :

\frac{g}{g_0} = \frac{G\dfrac{M_\Gamma}{(R_\Gamma + h)^2}}{G\dfrac{M_\Gamma}{R_\Gamma^{\,2}}} = \frac{R_\Gamma^{\,2}}{(R_\Gamma + h)^2}

και άρα:

g = g_0\,\frac{R_\Gamma^{\,2}}{(R_\Gamma + h)^2}

🧮 Πόρισμα — Πρακτική μορφή υπολογισμού

Η σχέση

g = g_0\,\frac{R_\Gamma^{\,2}}{(R_\Gamma + h)^2}

επιτρέπει τον υπολογισμό της έντασης σε οποιοδήποτε ύψος $h$ , γνωρίζοντας απλώς την τιμή $g_0 = 9{,}8\ \text{m}/\text{s}^2$ στην επιφάνεια και την ακτίνα $R_\Gamma$ της Γης, χωρίς να χρειάζεται να γνωρίζουμε ξεχωριστά τα $G$ και $M_\Gamma$ .

🔭 Πρόταση — Ποιοτική συμπεριφορά

Όταν $h = 0$ : $g = g_0$ (μέγιστη τιμή στην επιφάνεια).
Όταν $h \ll R_\Gamma$ (μικρά ύψη σε σχέση με την ακτίνα της Γης): η μεταβολή του $g$ είναι πολύ μικρή, οπότε σε προβλήματα κοντά στην επιφάνεια θεωρούμε $g \approx g_0 = \text{σταθερό}$ .
Όταν $h \to \infty$ : $g \to 0$ . Το πεδίο εξασθενεί αλλά δεν μηδενίζεται σε καμία πεπερασμένη απόσταση — εκτείνεται θεωρητικά στο άπειρο.

📊 Γραφικές παραστάσεις (περιγραφικά)

Για σημεία έξω από τη Γη ( $r \ge R_\Gamma$ ):

Το μέτρο της έντασης $g$ ξεκινά από τη μέγιστη τιμή $g_0$ στην επιφάνεια ( $r = R_\Gamma$ ) και φθίνει με την απόσταση $r$ ακολουθώντας νόμο αντιστρόφου τετραγώνου ( $g \propto 1/r^2$ ), τείνοντας ασυμπτωτικά στο μηδέν.
Το δυναμικό $V$ είναι αρνητικό, με την πιο αρνητική (ελάχιστη) τιμή στην επιφάνεια, και αυξάνεται (πλησιάζει το μηδέν) όσο απομακρυνόμαστε, ακολουθώντας νόμο $V \propto -1/r$ .

Εξάρτηση της έντασης από το γεωγραφικό πλάτος

Στην πραγματικότητα η τιμή της έντασης $g$ στην επιφάνεια της Γης δεν είναι ακριβώς η ίδια παντού, αλλά εξαρτάται και από το γεωγραφικό πλάτος του τόπου. Αυτό οφείλεται σε δύο κυρίως λόγους:

🌐 Πρόταση — Γιατί μεταβάλλεται το g με το γεωγραφικό πλάτος

Η Γη δεν είναι τέλεια σφαίρα: είναι ελαφρώς πεπλατυσμένη στους πόλους και διογκωμένη στον Ισημερινό. Έτσι, ένα σημείο στους πόλους βρίσκεται πιο κοντά στο κέντρο της Γης από ένα σημείο στον Ισημερινό. Αφού $g \propto 1/r^2$ , η ένταση είναι μεγαλύτερη στους πόλους.
Η περιστροφή της Γης: λόγω της περιστροφής, ένα τμήμα της βαρυτικής δύναμης «καταναλώνεται» ως κεντρομόλος δύναμη για την κυκλική κίνηση των σημείων. Το φαινόμενο αυτό είναι εντονότερο στον Ισημερινό (όπου η ακτίνα της κυκλικής κίνησης είναι μέγιστη) και μηδενικό στους πόλους.

🧭 Πόρισμα — Πού είναι μεγαλύτερη η ένταση

Και οι δύο παραπάνω λόγοι συνηγορούν στο ίδιο συμπέρασμα:

g_{\text{πόλοι}} > g_{\text{Ισημερινός}}

Δηλαδή η ένταση του βαρυτικού πεδίου (και κατ' επέκταση η επιτάχυνση της βαρύτητας) είναι μεγαλύτερη στους πόλους και μικρότερη στον Ισημερινό. Η τιμή $g_0 = 9{,}8\ \text{m}/\text{s}^2$ είναι μια μέση/χαρακτηριστική τιμή.

Σύγκριση με άλλα ουράνια σώματα

🌑 Παρατήρηση — Η Σελήνη

Η ίδια θεώρηση ισχύει για κάθε ουράνιο σώμα. Στην επιφάνεια της Σελήνης η ένταση του βαρυτικού πεδίου είναι περίπου έξι φορές μικρότερη από αυτήν στην επιφάνεια της Γης. Γι' αυτό οι αστροναύτες, παρά τον βαρύ εξοπλισμό τους, μπορούν να κάνουν εντυπωσιακά άλματα στη σεληνιακή επιφάνεια.

📝 Σύνοψη τύπων

Ένταση σε ύψος $h$ : $\quad g = G\dfrac{M_\Gamma}{(R_\Gamma + h)^2}$
Δυναμικό σε ύψος $h$ : $\quad V = -G\dfrac{M_\Gamma}{R_\Gamma + h}$
Ένταση στην επιφάνεια: $\quad g_0 = G\dfrac{M_\Gamma}{R_\Gamma^{\,2}} = 9{,}8\ \text{m}/\text{s}^2$
Σχέση $g$ με $g_0$ : $\quad g = g_0\dfrac{R_\Gamma^{\,2}}{(R_\Gamma + h)^2}$