Το Βαρυτικό Πεδίο

Κάθε σώμα που έχει μάζα ασκεί σε κάθε άλλο σώμα με μάζα ελκτική δύναμη. Η αλληλεπίδραση αυτή είναι δύναμη από απόσταση και περιγράφεται, όπως και η ηλεκτρική, με την έννοια του πεδίου. Στην ενότητα αυτή μελετάμε τον νόμο της παγκόσμιας έλξης, την έννοια του βαρυτικού πεδίου, τα μεγέθη που το περιγράφουν (ένταση, δυναμικό) και την αναλογία του με το ηλεκτροστατικό πεδίο.

Ο νόμος της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα

Δύο σώματα με πολύ μικρές διαστάσεις (σημειακές μάζες), που έχουν μάζες $m_1$ και $m_2$ και βρίσκονται σε απόσταση $r$ μεταξύ τους, έλκονται με δύναμη που έχει μέτρο:

F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}

όπου $G$ η σταθερά της παγκόσμιας έλξης, με τιμή:

G = 6{,}673 \cdot 10^{-11}\ \frac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2}

📐 Ιδιότητες της δύναμης παγκόσμιας έλξης

Η δύναμη αυτή, όπως και η δύναμη Coulomb:

: - Είναι ελκτική (πάντα έλξη, ποτέ άπωση), αφού η μάζα είναι πάντα θετική.
: - Είναι ανάλογη του γινομένου των μαζών $m_1 m_2$ .
: - Είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης $r^2$ .
: - Είναι διατηρητική δύναμη.
: - Είναι κεντρική δύναμη.

🎯 Κεντρικές δυνάμεις

Κεντρικές λέγονται οι δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ δύο σωμάτων και των οποίων ο φορέας συμπίπτει με την ευθεία που ενώνει τα κέντρα μάζας των σωμάτων.

🌐 Ομογενείς σφαιρικές μάζες

Η παραπάνω σχέση δίνει και τη δύναμη που αναπτύσσεται μεταξύ δύο ομογενών σφαιρικών μαζών $m_1$ και $m_2$ . Στην περίπτωση αυτή:

: - Η απόσταση $r$ είναι η απόσταση μεταξύ των κέντρων των σφαιρών.
: - Οι ελκτικές δυνάμεις έχουν σημεία εφαρμογής τα κέντρα των σφαιρών.

Η έννοια του βαρυτικού πεδίου

Η έλξη ανάμεσα σε δύο σώματα, με αίτιο το ότι έχουν μάζα, είναι δύναμη από απόσταση. Η αλληλεπίδραση μεταξύ μαζών περιγράφεται με την έννοια του πεδίου: κάθε μάζα δημιουργεί γύρω της πεδίο και, αν κάποια άλλη μάζα βρεθεί μέσα στο πεδίο, το πεδίο τής ασκεί δύναμη.

Το πεδίο που δημιουργείται από μάζες ονομάζεται βαρυτικό πεδίο ή πεδίο βαρύτητας.

📖 Ορισμός — Βαρυτικό πεδίο

Βαρυτικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος εκείνος στον οποίο κάθε μάζα δέχεται δύναμη.

Για την περιγραφή του βαρυτικού πεδίου χρησιμοποιούμε τα μεγέθη ένταση και δυναμικό, ακριβώς όπως και στο ηλεκτρικό πεδίο.

Ένταση του βαρυτικού πεδίου

📖 Ορισμός — Ένταση βαρυτικού πεδίου

Ένταση $(g)$ του πεδίου βαρύτητας σε ένα σημείο του ονομάζουμε το σταθερό πηλίκο της δύναμης $(F)$ που θα δεχτεί μια μάζα $(m)$ τοποθετημένη στο σημείο αυτό, προς τη μάζα αυτή:

g = \frac{F}{m}

Η ένταση είναι διανυσματικό μέγεθος και έχει την ίδια κατεύθυνση με τη δύναμη.

📏 Μονάδα έντασης

Μονάδα της έντασης στο S.I. είναι το:

1\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}} = 1\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

Δηλαδή η ένταση μετριέται σε μονάδες επιτάχυνσης.

Η ένταση ταυτίζεται με την επιτάχυνση

✅ Πρόταση — Ένταση και επιτάχυνση

Η επιτάχυνση που θα αποκτήσει ένα σώμα αν αφεθεί ελεύθερο στο πεδίο βαρύτητας είναι:

\alpha = \frac{F}{m}

Επειδή όμως $g = \dfrac{F}{m}$ , προκύπτει ότι:

g = \alpha

Άρα, στο πεδίο βαρύτητας η ένταση του πεδίου σε ένα σημείο ταυτίζεται με την επιτάχυνση που θα αποκτήσει ένα σώμα αν αφεθεί ελεύθερο σε εκείνο το σημείο.

Δυναμικό και διαφορά δυναμικού

Το πεδίο βαρύτητας, όπως και το ηλεκτροστατικό πεδίο, είναι διατηρητικό. Επομένως, για την περιγραφή του είναι χρήσιμο το μέγεθος δυναμικό, που ορίζεται με τρόπο ανάλογο με το ηλεκτρικό.

📖 Ορισμός — Δυναμικό βαρυτικού πεδίου

Δυναμικό $(V)$ του πεδίου βαρύτητας σε ένα σημείο του $\mathrm{A}$ ονομάζεται το σταθερό πηλίκο του έργου της δύναμης του πεδίου, όταν μεταφέρεται μάζα $m$ από το σημείο $\mathrm{A}$ στο άπειρο, προς τη μάζα αυτή:

V_\mathrm{A} = \frac{W_{\mathrm{A}\to\infty}}{m}

📏 Μονάδα δυναμικού

Μονάδα δυναμικού του βαρυτικού πεδίου είναι το $1\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}}$ .

📖 Ορισμός — Διαφορά δυναμικού

Διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων $\mathrm{A}$ και $\mathrm{B}$ του πεδίου βαρύτητας ονομάζεται το πηλίκο του έργου της δύναμης του πεδίου, κατά τη μετακίνηση μιας μάζας $m$ από το σημείο $\mathrm{A}$ στο σημείο $\mathrm{B}$ , προς τη μάζα αυτή:

V_\mathrm{A} - V_\mathrm{B} = \frac{W_{\mathrm{A}\to\mathrm{B}}}{m}

Η διαφορά δυναμικού εκφράζει το έργο της δύναμης του πεδίου ανά μονάδα μάζας κατά τη μετακίνηση μιας μάζας από το σημείο $\mathrm{A}$ στο σημείο $\mathrm{B}$ .

Το πεδίο που δημιουργείται από σημειακή μάζα

Η ένταση βαρυτικού πεδίου σημειακής μάζας

Έστω μια σημειακή μάζα $M$ . Για να βρούμε την ένταση του βαρυτικού πεδίου που δημιουργεί η μάζα $M$ σε σημείο $\mathrm{A}$ που απέχει απόσταση $r$ απ' αυτήν, τοποθετούμε στο σημείο αυτό μάζα $m$ .

🧮 Απόδειξη — Ένταση σημειακής μάζας

Η μάζα $m$ δέχεται από τη μάζα $M$ δύναμη:

F = G\frac{M m}{r^2} \quad (1)

Η ένταση του πεδίου στο σημείο $\mathrm{A}$ είναι, εξ ορισμού:

g = \frac{F}{m} \quad (2)

Αντικαθιστώντας την $(1)$ στην $(2)$ έχουμε:

g = G\frac{M}{r^2}

🧭 Κατεύθυνση της έντασης

Η ένταση του πεδίου που δημιουργεί η σημειακή μάζα $M$ έχει σε κάθε σημείο κατεύθυνση προς τη μάζα $M$ (το πεδίο είναι ελκτικό). Η δύναμη που δέχεται μια μάζα $m$ μέσα στο πεδίο είναι πάντα ομόρροπη της έντασης.

Το δυναμικό σημειακής μάζας

Το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου που δημιουργεί η σημειακή μάζα $M$ σε σημείο $\mathrm{A}$ , που απέχει απόσταση $r$ από το υλικό σημείο, έχει τιμή:

V_\mathrm{A} = -G\frac{M}{r}

⚠️ Προσοχή στο πρόσημο

Το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου είναι πάντα αρνητικό. Αυτό διαφέρει από το ηλεκτρικό δυναμικό σημειακού φορτίου, που μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό, ανάλογα με το πρόσημο του φορτίου.

Δυναμική ενέργεια συστήματος μαζών

📖 Δυναμική ενέργεια δύο μαζών

Η δυναμική ενέργεια συστήματος δύο υλικών σημείων με μάζες $m_1, m_2$ , που απέχουν μεταξύ τους απόσταση $r$ , είναι ίση με το έργο που απαιτείται για να μεταφερθούν οι μάζες από πολύ μακριά και να τοποθετηθούν στις θέσεις τους, και είναι:

U = -G\frac{m_1 m_2}{r}

Για σύστημα τριών υλικών σημείων με μάζες $m_1, m_2, m_3$ , που απέχουν ανά ζεύγη αποστάσεις $\alpha, \beta, \gamma$ , η δυναμική ενέργεια υπολογίζεται ως άθροισμα των επιμέρους όρων:

U = -G\frac{m_1 m_2}{\gamma} - G\frac{m_1 m_3}{\beta} - G\frac{m_2 m_3}{\alpha}

Αναλογία βαρυτικού και ηλεκτροστατικού πεδίου

Το βαρυτικό και το ηλεκτροστατικό πεδίο περιγράφονται με εντελώς ανάλογο μαθηματικό τρόπο. Η αντιστοιχία προκύπτει αν στις σχέσεις του ηλεκτρικού πεδίου αντικαταστήσουμε το φορτίο με τη μάζα και τη σταθερά $k_c$ με τη σταθερά $G$ .

🔗 Πίνακας αντιστοιχίας

Μέγεθος	Ηλεκτροστατικό πεδίο	Βαρυτικό πεδίο
Πηγή του πεδίου	φορτίο $Q$	μάζα $M$
Δύναμη	$F = k_c \dfrac{Q_1 Q_2}{r^2}$	$F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$
Ένταση	$E = \dfrac{F}{q}$	$g = \dfrac{F}{m}$
Ένταση σημειακής πηγής	$E = k_c \dfrac{Q}{r^2}$	$g = G \dfrac{M}{r^2}$
Δυναμικό σημειακής πηγής	$V = k_c \dfrac{Q}{r}$	$V = -G \dfrac{M}{r}$
Δυναμική ενέργεια	$U = k_c \dfrac{Q_1 Q_2}{r}$	$U = -G \dfrac{m_1 m_2}{r}$

⚠️ Βασικές διαφορές των δύο πεδίων

Παρά τη μαθηματική αναλογία, υπάρχουν ουσιαστικές διαφορές:

: - Η βαρυτική δύναμη είναι πάντα ελκτική, ενώ η ηλεκτρική μπορεί να είναι ελκτική ή απωστική.
: - Η μάζα είναι πάντα θετική, ενώ το φορτίο έχει δύο είδη (θετικό και αρνητικό).
: - Το βαρυτικό δυναμικό είναι πάντα αρνητικό (εξ ου το πρόσημο μείον στους τύπους).
: - Η σταθερά $G$ είναι πάρα πολύ μικρή, γι' αυτό η βαρυτική δύναμη γίνεται αισθητή μόνο για πολύ μεγάλες μάζες (πλανήτες, αστέρες, γαλαξίες).

Παρατηρήσεις

📝 Παρατήρηση 1 — Σφαιρικές ομογενείς μάζες

Μια σφαιρική ομογενής μάζα $M$ συμπεριφέρεται εξωτερικά σαν όλη η μάζα της να είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο της. Επομένως, οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν πανομοιότυπα και για την περιγραφή του βαρυτικού πεδίου ομογενούς σφαιρικού σώματος μάζας $M$ και ακτίνας $R$ , υπό την προϋπόθεση ότι εξετάζουμε το πεδίο στον χώρο έξω από τη μάζα του σώματος $(r \geq R)$ . Εδώ τις αποστάσεις τις μετράμε από το κέντρο του σφαιρικού σώματος.

📝 Παρατήρηση 2 — Το αρνητικό πρόσημο της δυναμικής ενέργειας

Το αρνητικό πρόσημο στη σχέση $U = -G\dfrac{m_1 m_2}{r}$ υποδηλώνει ότι, για να κάνουμε άπειρη την απόσταση δύο μαζών που βρίσκονται αρχικά σε απόσταση $r$ , πρέπει να προσφέρουμε ενέργεια στο σύστημα.

Προτάσεις - Συμπεράσματα

✅ Σύνοψη βασικών σχέσεων

Για σημειακή (ή ομογενή σφαιρική) μάζα $M$ σε απόσταση $r$ :

: - Δύναμη: $F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$
: - Ένταση: $g = G\dfrac{M}{r^2}$ , διανυσματικό μέγεθος με κατεύθυνση προς τη μάζα.
: - Δυναμικό: $V = -G\dfrac{M}{r}$ , βαθμωτό και πάντα αρνητικό.
: - Δυναμική ενέργεια ζεύγους: $U = -G\dfrac{m_1 m_2}{r}$ , πάντα αρνητική.
: - Ταύτιση: η ένταση $g$ ισούται με την επιτάχυνση $\alpha$ σώματος που αφήνεται ελεύθερο.

🔋 Διατήρηση ενέργειας στο βαρυτικό πεδίο

Επειδή το πεδίο βαρύτητας είναι διατηρητικό, σε ένα απομονωμένο σύστημα μαζών η μηχανική ενέργεια διατηρείται σταθερή:

U_{\text{αρχ.}} + K_{\text{αρχ.}} = U_{\text{τελ.}} + K_{\text{τελ.}}

Αν, επιπλέον, σε ένα σύστημα μαζών δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις (παρά μόνο οι μεταξύ τους ελκτικές δυνάμεις), τότε το σύστημα είναι απομονωμένο και διατηρείται και η ορμή του:

\vec{P}_{\text{αρχ.}} = \vec{P}_{\text{τελ.}}