Κινήσεις φορτισμένων σωματιδίων σε ομογενές πεδίο ⚡

Δύο παράλληλες μεταλλικές πλάκες φορτισμένες με αντίθετα φορτία δημιουργούν ανάμεσά τους ομογενές ηλεκτρικό πεδίο, δηλαδή ένα πεδίο με σταθερή ένταση $\vec{E}$ (ίδιο μέτρο, ίδια διεύθυνση και φορά σε κάθε σημείο). Αν μέσα σε αυτό το πεδίο βρεθεί ένα φορτισμένο σωματίδιο φορτίου $q$ , τότε θα δεχτεί σταθερή δύναμη και θα αποκτήσει σταθερή επιτάχυνση.

Θεμελιώδεις σχέσεις: δύναμη και επιτάχυνση 📌

Πάνω σε φορτίο $q$ μέσα σε ομογενές πεδίο έντασης $E$ ασκείται δύναμη σταθερού μέτρου:

F = E\,q

και το σωματίδιο μάζας $m$ αποκτά σταθερή επιτάχυνση (από τον $2^{ο}$ νόμο του Νεύτωνα $F = m\,a$ ):

a = \frac{F}{m} = \frac{E\,q}{m}

Επειδή η επιτάχυνση είναι σταθερή, η κίνηση του φορτίου είναι ομαλά μεταβαλλόμενη.

Παρατήρηση: φορά της δύναμης ➡️

Σε θετικό φορτίο η δύναμη $\vec{F}$ είναι ομόρροπη της έντασης $\vec{E}$ .
Σε αρνητικό φορτίο (π.χ. ηλεκτρόνιο) η δύναμη $\vec{F}$ είναι αντίρροπη της $\vec{E}$ .

Σε ένα ηλεκτρόνιο φορτίου $-e$ το μέτρο της δύναμης είναι $F = E\,e$ και της επιτάχυνσης $a = \dfrac{E\,e}{m_e}$ .

Προσοχή: το βάρος είναι αμελητέο! ⚠️

Στη μελέτη της κίνησης φορτισμένων στοιχειωδών σωματιδίων (ηλεκτρόνια, πρωτόνια, πυρήνες, ιόντα) μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο αγνοούμε εντελώς το βάρος τους.

Ενδεικτικά, το βάρος ενός ηλεκτρονίου είναι $w_e = 8{,}9 \times 10^{-30}\ \text{N}$ , ενώ η ηλεκτρική δύναμη μέσα σε τυπικό πεδίο (με $V = 1\ \text{kV}$ , $d = 5\ \text{mm}$ ) είναι $F = 3{,}2 \times 10^{-14}\ \text{N}$ , δηλαδή περίπου $36 \times 10^{14}$ φορές μεγαλύτερη από το βάρος. Γι' αυτό το βάρος θεωρείται αμελητέο.

Διακρίνουμε δύο βασικές περιπτώσεις, ανάλογα με τη διεύθυνση της αρχικής ταχύτητας του σωματιδίου ως προς τις δυναμικές γραμμές.

Α. Κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα (παράλληλα στο πεδίο) 🚀

Ένα ηλεκτρόνιο αφήνεται (από ηρεμία) πολύ κοντά στην αρνητική πλάκα. Δέχεται από το πεδίο δύναμη σταθερού μέτρου $F = E\,e$ , αντίρροπη της $\vec{E}$ (δηλαδή με φορά προς τη θετική πλάκα), και κινείται ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενα κατά μήκος των δυναμικών γραμμών.

Εξισώσεις της κίνησης 📐

Η κίνηση περιγράφεται από τις σχέσεις της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης χωρίς αρχική ταχύτητα:

a = \frac{F}{m_e} = \frac{E\,e}{m_e}

υ = a\,t

x = \frac{1}{2}\,a\,t^2

1. Χρόνος για να φτάσει στην απέναντι πλάκα ⏱️

Αν η απόσταση ανάμεσα στις πλάκες είναι $d$ , τότε το ηλεκτρόνιο φτάνει στην απέναντι πλάκα όταν $x = d$ . Από τη σχέση $d = \dfrac{1}{2}a\,t_1^2$ λύνουμε ως προς τον χρόνο $t_1$ :

t_1 = \sqrt{\frac{2d}{a}}

2. Ταχύτητα με την οποία φτάνει στη θετική πλάκα 💨

Αντικαθιστώντας τον χρόνο $t_1$ στη σχέση $υ = a\,t$ βρίσκουμε την τελική ταχύτητα:

υ_1 = a\,t_1 = a\sqrt{\frac{2d}{a}} = \sqrt{2\,a\,d}

Αριθμητική εφαρμογή: τάξεις μεγέθους 🔢

Για διαφορά δυναμικού $V = 1\ \text{kV}$ και απόσταση $d = 5\ \text{mm}$ :

Ένταση πεδίου: $E = 2 \times 10^{5}\ \text{N/C}$
Δύναμη στο ηλεκτρόνιο: $F = 3{,}2 \times 10^{-14}\ \text{N}$
Επιτάχυνση: $a = 3{,}5 \times 10^{16}\ \text{m/s}^2$
Χρόνος μέχρι την απέναντι πλάκα: $t_1 = 5{,}3 \times 10^{-10}\ \text{s}$
Τελική ταχύτητα: $υ_1 = 1{,}9 \times 10^{7}\ \text{m/s}$

Μιλάμε δηλαδή για τεράστιες επιταχύνσεις, απειροελάχιστους χρόνους και ταχύτητες της τάξης του $10^7\ \text{m/s}$ (περίπου το $6\%$ της ταχύτητας του φωτός).

Εφαρμογές 🛠️

Ο μηχανισμός της επιτάχυνσης φορτισμένου σωματιδίου σε ομογενές πεδίο χρησιμοποιείται σε πλήθος συσκευών, όπως ο φασματογράφος μάζας, ο καθοδικός σωλήνας και άλλες.

Β. Κίνηση με αρχική ταχύτητα κάθετη στις δυναμικές γραμμές 🪐

Θεωρούμε δύο παράλληλες πλάκες φορτισμένες με $+q$ και $-q$ , μήκους $L$ , σε απόσταση $d$ , με διαφορά δυναμικού $V$ . Ένα ηλεκτρόνιο εισέρχεται με αρχική ταχύτητα $υ_0$ κάθετη στις δυναμικές γραμμές. Μέσα στο πεδίο δέχεται σταθερή δύναμη $\vec{F}$ και διαγράφει παραβολική τροχιά.

📖 Για το σχήμα της παραβολικής τροχιάς και την πειραματική διάταξη απόκλισης δέσμης ηλεκτρονίων, ανατρέξτε στις εικόνες 5.36, 5.2 και στο σχήμα 5.27 του σχολικού βιβλίου.

Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων 🧩

Η κίνηση μελετάται με την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων: αναλύουμε την κίνηση σε δύο άξονες, έναν κάθετο στις δυναμικές γραμμές (άξονας $x$ , η αρχική διεύθυνση) και έναν παράλληλο σε αυτές (άξονας $y$ ).

Αυτή η κίνηση είναι ανάλογη της οριζόντιας βολής: ευθύγραμμη ομαλή κίνηση στον έναν άξονα συντίθεται με ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη χωρίς αρχική ταχύτητα στον άλλον.

Αφού η διαφορά δυναμικού ανάμεσα στις πλάκες είναι $V$ , η ένταση του ομογενούς πεδίου σε κάθε σημείο μεταξύ τους είναι:

E = \frac{V}{d}

Ανάλυση στους δύο άξονες 📐

Άξονας $x$ (κάθετος στο πεδίο): Το ηλεκτρόνιο δεν δέχεται δύναμη, οπότε κινείται ευθύγραμμα ομαλά, διατηρώντας την αρχική ταχύτητα $υ_0$ :

υ_x = υ_0 \tag{5.31}

x = υ_0\,t \tag{5.32}

Άξονας $y$ (παράλληλος στο πεδίο): Το ηλεκτρόνιο δέχεται καθ' όλη τη διάρκεια της κίνησης σταθερή δύναμη $F = E\,e = \dfrac{V}{d}\,e$ , οπότε εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα με επιτάχυνση:

a_y = \frac{F}{m_e} = \frac{E\,e}{m_e} = \frac{V\,e}{d\,m_e} \tag{5.30}

και επομένως:

υ_y = a_y\,t \tag{5.33}

y = \frac{1}{2}\,a_y\,t^2 \tag{5.34}

1. Χρόνος παραμονής στο πεδίο ⏱️

Το ηλεκτρόνιο εξέρχεται από το πεδίο όταν στον άξονα $x$ έχει μετατοπιστεί κατά $L$ . Θέτοντας $x = L$ στη $(5.32)$ και λύνοντας ως προς $t$ :

t_1 = \frac{L}{υ_0} \tag{5.35}

2. Απόκλιση από την αρχική διεύθυνση στην έξοδο 📏

Αντικαθιστώντας τον χρόνο παραμονής $t_1$ στη $(5.34)$ , βρίσκουμε την κατακόρυφη απόκλιση $y_1$ του ηλεκτρονίου κατά την έξοδό του από το πεδίο:

y_1 = \frac{1}{2}\,a_y\,t_1^2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{V\,e}{d\,m_e}\cdot\frac{L^2}{υ_0^2} = \frac{V\,e\,L^2}{2\,d\,m_e\,υ_0^2} \tag{5.36}

3. Ταχύτητα εξόδου από το πεδίο 🧭

Κατά την έξοδο, οι συνιστώσες της ταχύτητας είναι $υ_{1x} = υ_0$ και $υ_{1y} = a_y\,t_1$ . Από τις $(5.30)$ και $(5.35)$ :

υ_{1y} = \frac{V\,e}{d\,m_e}\cdot\frac{L}{υ_0} = \frac{V\,e\,L}{d\,m_e\,υ_0}

Το μέτρο της ταχύτητας εξόδου (Πυθαγόρειο θεώρημα, αφού οι συνιστώσες είναι κάθετες):

υ_1 = \sqrt{υ_{1x}^2 + υ_{1y}^2}

Η γωνία $φ$ που σχηματίζει η ταχύτητα εξόδου με την αρχική διεύθυνση δίνεται από:

εφφ = \frac{υ_{1y}}{υ_{1x}} = \frac{V\,e\,L}{d\,m_e\,υ_0^2} \tag{5.37}

4. Η εξίσωση της τροχιάς 🪂

Η εξίσωση της τροχιάς συνδέει τις μετατοπίσεις $x$ και $y$ . Λύνουμε τη $(5.32)$ ως προς τον χρόνο, $t = \dfrac{x}{υ_0}$ , και αντικαθιστούμε στη $(5.34)$ :

y = \frac{1}{2}\,a_y\left(\frac{x}{υ_0}\right)^2 = \frac{a_y}{2\,υ_0^2}\,x^2

Πόρισμα: η τροχιά είναι παραβολή 🅿️

Η εξίσωση της τροχιάς έχει τη μορφή:

y = α\,x^2 \qquad \text{με} \qquad α = \frac{a_y}{2\,υ_0^2} = \frac{V\,e}{2\,d\,m_e\,υ_0^2}

Πρόκειται για σχέση της μορφής $y = α\,x^2$ , άρα η τροχιά του ηλεκτρονίου μέσα στο πεδίο είναι παραβολική. Είναι το ίδιο μαθηματικό αποτέλεσμα με την οριζόντια βολή, όπου τον ρόλο του $g$ παίζει εδώ η επιτάχυνση $a_y$ που οφείλεται στην ηλεκτρική δύναμη.

Σύγκριση με την οριζόντια βολή 🔄

Η κίνηση κάθετα στο πεδίο είναι πανομοιότυπη με την οριζόντια βολή:

Οριζόντια βολή	Φορτίο κάθετα στο πεδίο
οριζόντια: ευθ. ομαλή με $υ_0$	άξονας $x$ : ευθ. ομαλή με $υ_0$
κατακόρυφη: ελεύθερη πτώση, επιτάχυνση $g$	άξονας $y$ : επιταχυνόμενη, επιτάχυνση $a_y = \dfrac{Ee}{m_e}$
τροχιά παραβολή	τροχιά παραβολή

Η μόνη διαφορά: τη βαρυτική επιτάχυνση $g$ αντικαθιστά η ηλεκτρική επιτάχυνση $a_y$ .

Το θεώρημα έργου – ενέργειας στην επιτάχυνση φορτίου 🔋

Όταν ένα φορτίο $q$ επιταχύνεται από την ηρεμία μέσω διαφοράς δυναμικού $V$ , το έργο της ηλεκτρικής δύναμης μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια. Από το θεώρημα έργου – ενέργειας:

Θεώρημα έργου – ενέργειας 📌

Για φορτίο $q$ που ξεκινά από την ηρεμία και επιταχύνεται από διαφορά δυναμικού $V$ :

q\,V = \frac{1}{2}\,m\,υ^2

Για ηλεκτρόνιο ( $q = e$ ):

e\,V = \frac{1}{2}\,m_e\,υ^2 \qquad \Rightarrow \qquad υ = \sqrt{\frac{2\,e\,V}{m_e}}

Παρατήρηση: γιατί ισχύει αυτό 💡

Το έργο της ηλεκτρικής δύναμης κατά τη μετακίνηση φορτίου $q$ μεταξύ σημείων με διαφορά δυναμικού $V$ είναι $W = q\,V$ . Επειδή το σωματίδιο ξεκινά από την ηρεμία ( $υ_{αρχ} = 0$ ), όλο αυτό το έργο μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια $\frac{1}{2}m υ^2$ . Έτσι προκύπτει η ταχύτητα ανεξάρτητα από τις λεπτομέρειες της διαδρομής.

Παράδειγμα 5-7: Δέσμη ηλεκτρονίων σε πλακίδια απόκλισης 🎯

Δέσμη ηλεκτρονίων επιταχύνεται από την ηρεμία από διαφορά δυναμικού $V_0$ . Στη συνέχεια μπαίνει κάθετα στις δυναμικές γραμμές ενός ομογενούς πεδίου ανάμεσα σε δύο φορτισμένες πλάκες (πλακίδια απόκλισης) με διαφορά δυναμικού $V$ , απόσταση $d$ και μήκος $L$ . Τα ηλεκτρόνια, βγαίνοντας, προσκρούουν σε φθορίζουσα οθόνη κάθετη στην αρχική διεύθυνση κίνησης, που απέχει $D$ από τα πλακίδια. Όλη η διάταξη βρίσκεται σε σωλήνα υψηλού κενού. Ζητείται η θέση πρόσκρουσης στην οθόνη. Δίνονται $e$ και $m_e$ .

📖 Για τη γεωμετρία της διάταξης (πλακίδια, οθόνη, μεγέθυνση περιοχής εξόδου) ανατρέξτε στα σχήματα 5.28 και 5.29 του σχολικού βιβλίου.

Βήμα 1: Ταχύτητα εισόδου (θεώρημα έργου – ενέργειας) ⚙️

Τα ηλεκτρόνια, επιταχυνόμενα από τη $V_0$ , αποκτούν κινητική ενέργεια:

\frac{1}{2}\,m_e\,υ_0^2 = e\,V_0 \qquad \Rightarrow \qquad υ_0^2 = \frac{2\,e\,V_0}{m_e} \tag{5.38}

Βήμα 2: Απόκλιση μέσα στα πλακίδια 📏

Όταν τα ηλεκτρόνια εξέλθουν από τα πλακίδια, έχουν εκτραπεί κατά $y_1$ . Από τη $(5.36)$ :

y_1 = \frac{V\,e\,L^2}{2\,d\,m_e\,υ_0^2} \tag{5.39}

Βήμα 3: Γωνία εξόδου 🧭

Η γωνία $φ$ της ταχύτητας εξόδου με την αρχική διεύθυνση δίνεται από τη $(5.37)$ :

εφφ = \frac{V\,e\,L}{d\,m_e\,υ_0^2} \tag{5.40}

Βήμα 4: Μετατόπιση από τα πλακίδια μέχρι την οθόνη 📐

Μετά την έξοδο, τα ηλεκτρόνια κινούνται ευθύγραμμα ομαλά με ταχύτητα $υ_1$ . Μεγεθύνοντας την περιοχή εξόδου, σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές $D$ και $y_2$ , όπου:

εφφ = \frac{y_2}{D} \qquad \Rightarrow \qquad y_2 = D\,εφφ

Αντικαθιστώντας τη $(5.40)$ :

y_2 = \frac{D\,V\,e\,L}{d\,m_e\,υ_0^2} \tag{5.41}

Βήμα 5: Συνολική θέση στην οθόνη ✅

Η θέση της δέσμης στην οθόνη απέχει $y_1 + y_2$ από την αρχική διεύθυνση:

y = y_1 + y_2 = \frac{V\,e\,L^2}{2\,d\,m_e\,υ_0^2} + \frac{D\,V\,e\,L}{d\,m_e\,υ_0^2} = \frac{V\,e\,L}{d\,m_e\,υ_0^2}\left(\frac{L}{2} + D\right)

Αν αντικαταστήσουμε και την $υ_0^2 = \dfrac{2\,e\,V_0}{m_e}$ από τη $(5.38)$ , η έκφραση γίνεται:

y = \frac{V\,L}{2\,d\,V_0}\left(\frac{L}{2} + D\right)

Συμπέρασμα: η απόκλιση είναι ανάλογη της τάσης απόκλισης 📈

Η θέση πρόσκρουσης $y$ είναι ανάλογη της διαφοράς δυναμικού $V$ που εφαρμόζεται στα πλακίδια απόκλισης. Έτσι, ελέγχοντας τη $V$ , ελέγχουμε με ακρίβεια το σημείο της οθόνης όπου χτυπά η δέσμη. Αυτή είναι η βασική αρχή λειτουργίας του καθοδικού σωλήνα.

Ο καθοδικός σωλήνας 📺

Ο καθοδικός σωλήνας είναι ένας γυάλινος σωλήνας σε υψηλό κενό (περίπου $10^{-7}\ \text{atm}$ , ώστε να ελαχιστοποιούνται οι κρούσεις των ηλεκτρονίων με μόρια αέρα). Η λειτουργία του στηρίζεται σε τρεις διαδοχικές διατάξεις.

📖 Για τη δομή του καθοδικού σωλήνα ανατρέξτε στο σχήμα 5.30 του σχολικού βιβλίου.

Τα τρία μέρη του καθοδικού σωλήνα 🔧

Τηλεβόλο ηλεκτρονίων: υπεύθυνο για την παραγωγή, επιτάχυνση και εστίαση της δέσμης ηλεκτρονίων.
Συνδυασμός ομογενών πεδίων (πλακίδια απόκλισης): μεταβάλλοντας την ένταση των πεδίων, κατευθύνουμε τη δέσμη.
Οθόνη: επιστρωμένη με υλικό που φθορίζει (εκπέμπει φως) όταν δέχεται γρήγορα σωματίδια. Εκεί δημιουργείται φωτεινή κηλίδα.

Λειτουργία του τηλεβόλου ⚡

Τα ηλεκτρόνια παράγονται με θέρμανση μεταλλικού νήματος (κάθοδος): η θερμότητα δίνει σε ελεύθερα ηλεκτρόνια αρκετή ενέργεια για να εγκαταλείψουν το μέταλλο.
Επιταχύνονται από το πεδίο ανάμεσα στην κάθοδο και την άνοδο (που είναι σε υψηλότερο δυναμικό και φέρει οπή).
Όσα ηλεκτρόνια περνούν από την οπή σχηματίζουν τη δέσμη.
Η διαφορά δυναμικού ανόδου-καθόδου είναι μερικά $\text{kV}$ , οπότε η ταχύτητα της δέσμης είναι της τάξης των $10^7\ \text{m/s}$ .

Πλακίδια απόκλισης 🎚️

Η δέσμη περνά ανάμεσα από δύο ζεύγη πλακιδίων:

Το ένα ζεύγος είναι οριζόντιο και εκτρέπει τη δέσμη κατακόρυφα.
Το άλλο ζεύγος είναι κατακόρυφο και εκτρέπει τη δέσμη οριζόντια.

Από τις σχέσεις $(5.39)$ και $(5.41)$ , η απόκλιση είναι ανάλογη της τάσης στα πλακίδια. Αν και τα δύο ζεύγη έχουν μηδενική τάση, η δέσμη χτυπά στο κέντρο της οθόνης. Μετά τα πλακίδια και μέχρι την οθόνη, τα ηλεκτρόνια κινούνται ευθύγραμμα ομαλά.

Ο καθοδικός σωλήνας αποτελεί το βασικό στοιχείο του παλμογράφου. Πιο σύνθετες παραλλαγές του ίδιου μηχανισμού αποτέλεσαν τις παλιές οθόνες τηλεόρασης και υπολογιστών.

Ο παλμογράφος 📟

Ο παλμογράφος είναι ειδική εφαρμογή του καθοδικού σωλήνα, με οθόνη βαθμολογημένη ώστε να μπορούμε να κάνουμε μετρήσεις.

Ρυθμίσεις του παλμογράφου 🎛️

Με τους ρυθμιστές (κουμπιά) μπορούμε:

α) Να ρυθμίζουμε τη φωτεινότητα της κηλίδας (μεταβολή της τάσης επιτάχυνσης στο τηλεβόλο).
β) Να ρυθμίζουμε την τάση σάρωσης.
γ) Να εφαρμόζουμε εξωτερική τάση στα πλακίδια οριζόντιας και κατακόρυφης απόκλισης.
δ) Να εστιάζουμε τη δέσμη ώστε η κηλίδα να γίνεται όσο το δυνατόν μικρότερη και ευκρινέστερη.

📖 Για τις μορφές της εναλλασσόμενης και της πριονωτής τάσης ανατρέξτε στα σχήματα 5.31 και 5.32 του σχολικού βιβλίου.

Τάση σάρωσης 〰️

Αν στα πλακίδια οριζόντιας εκτροπής εφαρμοστεί τάση $υ_x$ που αυξάνεται γραμμικά και μετά ελαττώνεται απότομα (πριονωτή τάση), η κηλίδα κινείται οριζόντια και ισοταχώς από αριστερά προς τα δεξιά και επιστρέφει απότομα, ξεκινώντας ξανά. Αυτή η παλινδρομική οριζόντια κίνηση ονομάζεται σάρωση της οθόνης. Η συχνότητά της ρυθμίζεται (γρήγορη ή αργή σάρωση).

Βασικές χρήσεις του παλμογράφου 📊

α) Μέτρηση συνεχούς τάσης: Απενεργοποιούμε τη σάρωση και εφαρμόζουμε τη $V$ στα πλακίδια κατακόρυφης απόκλισης. Η κηλίδα αποκλίνει κατακόρυφα και η απόστασή της από το κέντρο είναι ανάλογη της $V$ .
β) Μέτρηση εναλλασσόμενης τάσης: Με σάρωση απενεργοποιημένη και τάση $υ_y = V\,ημωt$ στα κατακόρυφα πλακίδια, η κηλίδα ανεβοκατεβαίνει γρήγορα και σχηματίζει μια κατακόρυφη γραμμή, της οποίας το μήκος είναι ανάλογο του $2V$ (διπλάσιο πλάτος).
γ) Μελέτη κυματομορφών: Εφαρμόζουμε ταυτόχρονα την $υ_x$ (σάρωση) στα οριζόντια πλακίδια και την $υ_y$ (εναλλασσόμενη) στα κατακόρυφα. Στην οθόνη σχηματίζεται η κυματομορφή της τάσης $υ_y$ , που μας επιτρέπει να μελετάμε τάσεις μεταβαλλόμενες με τον χρόνο.

Παρατήρηση: γιατί ο παλμογράφος είναι «γρήγορος» ⚡

Επειδή τα ηλεκτρόνια έχουν πολύ μικρή μάζα, η απόκλιση της δέσμης συμβαίνει σχεδόν ακαριαία. Έτσι ο παλμογράφος μπορεί να αποτυπώσει πολύ γρήγορες μεταβολές της τάσης.

Συγκεντρωτικός πίνακας 🗂️

Μέγεθος	Τύπος
Δύναμη σε φορτίο	$F = E\,q$
Επιτάχυνση φορτίου	$a = \dfrac{E\,q}{m}$
Ένταση ομογενούς πεδίου	$E = \dfrac{V}{d}$
Θεώρημα έργου–ενέργειας	$q\,V = \dfrac{1}{2}m\,υ^2$
Άξονας $x$ (κάθετα στο πεδίο)	$υ_x = υ_0$ , $\quad x = υ_0\,t$
Άξονας $y$ (παράλληλα στο πεδίο)	$υ_y = a_y\,t$ , $\quad y = \dfrac{1}{2}a_y t^2$
Επιτάχυνση κατά $y$	$a_y = \dfrac{V\,e}{d\,m_e}$
Χρόνος παραμονής στο πεδίο	$t_1 = \dfrac{L}{υ_0}$
Απόκλιση στην έξοδο	$y_1 = \dfrac{V\,e\,L^2}{2\,d\,m_e\,υ_0^2}$
Γωνία εξόδου	$εφφ = \dfrac{V\,e\,L}{d\,m_e\,υ_0^2}$
Εξίσωση τροχιάς	$y = α\,x^2$ (παραβολή)