Σχέση έντασης και διαφοράς δυναμικού στο ομογενές ηλεκτροστατικό πεδίο

Ομογενές ονομάζεται το ηλεκτρικό πεδίο του οποίου η ένταση $\vec{E}$ έχει σε όλα τα σημεία την ίδια τιμή (μέτρο), την ίδια κατεύθυνση και την ίδια φορά. Στο ομογενές πεδίο οι δυναμικές γραμμές είναι ευθείες, παράλληλες μεταξύ τους και ισαπέχουσες.

Σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο, η ένταση $E$ συνδέεται με τη διαφορά δυναμικού $V_A - V_B$ δύο σημείων του πεδίου μέσω της σχέσης

όπου $x$ είναι η απόσταση των δύο σημείων, μετρημένη κατά μήκος μιας δυναμικής γραμμής. Αν συμβολίσουμε με $V = V_A - V_B$ τη διαφορά δυναμικού, η σχέση γράφεται απλούστερα

Παρατηρήστε ότι το φορτίο $q$ εμφανίζεται και στα δύο μέλη και απλοποιείται. Αυτό σημαίνει ότι η σχέση μεταξύ έντασης και διαφοράς δυναμικού είναι ανεξάρτητη από το φορτίο που χρησιμοποιήσαμε για την απόδειξη· εξαρτάται μόνο από τα χαρακτηριστικά του ίδιου του πεδίου.

Το έργο της δύναμης του πεδίου κατά τη μετακίνηση του φορτίου από το $A$ στο $B$ είναι ίσο με το έργο κατά τη μετακίνησή του από το $A$ στο $\Gamma$. Με άλλα λόγια, μετράει μόνο η μετατόπιση στην κατεύθυνση των δυναμικών γραμμών (η προβολή $A\Gamma$), ενώ η συνιστώσα της μετατόπισης που είναι κάθετη στις δυναμικές γραμμές δεν συνεισφέρει στο έργο. Αυτό συμβαίνει γιατί η δύναμη του πεδίου είναι κάθετη σε εκείνη τη συνιστώσα.

Γενικεύοντας το αποτέλεσμα της (5.29), μπορούμε να πούμε ότι:

η ένταση στο ομογενές ηλεκτρικό πεδίο είναι ίση με το πηλίκο της διαφοράς δυναμικού δύο οποιωνδήποτε σημείων του ηλεκτρικού πεδίου προς την απόστασή τους $x$, μετρημένη κατά μήκος μιας δυναμικής γραμμής.

Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου μπορεί να εκφραστεί με δύο ισοδύναμες μονάδες:

Η μονάδα $\dfrac{\text{N}}{\text{C}}$ (Newton ανά Coulomb) προκύπτει από τον ορισμό της έντασης $E = \dfrac{F}{q}$, ενώ η μονάδα $\dfrac{\text{V}}{\text{m}}$ (Volt ανά μέτρο) προκύπτει από τη σχέση $E = \dfrac{V}{x}$. Οι δύο μονάδες είναι απολύτως ισοδύναμες.

Ξεκινάμε από τον ορισμό του Volt. Είναι $1\;\text{V} = 1\;\dfrac{\text{J}}{\text{C}}$, δηλαδή ένα Joule ανά Coulomb. Επίσης $1\;\text{J} = 1\;\text{N}\cdot\text{m}$. Επομένως:

Στην απόδειξη υποθέσαμε θετικό φορτίο $q$ στο σημείο $A$. Η δύναμη $\vec{F} = E\,q$ έχει την κατεύθυνση των δυναμικών γραμμών, δηλαδή την κατεύθυνση της έντασης $\vec{E}$, και το φορτίο κινείται από το $A$ προς το $B$. Επειδή το πεδίο παράγει θετικό έργο, ισχύει $V_A - V_B > 0$, άρα $V_A > V_B$.

Συμπεραίνουμε ότι η ένταση $\vec{E}$ έχει φορά από τα σημεία υψηλότερου δυναμικού προς τα σημεία χαμηλότερου δυναμικού, δηλαδή κατευθύνεται προς τα σημεία μειούμενου (μικρότερου) δυναμικού.

Στη σχέση $E = \dfrac{V}{x}$ η απόσταση $x$ (ή $d$) είναι η απόσταση των δύο σημείων μετρημένη κατά τη διεύθυνση των δυναμικών γραμμών, δηλαδή η προβολή της απόστασης πάνω στη δυναμική γραμμή. Αν τα δύο σημεία δεν βρίσκονται στην ίδια δυναμική γραμμή, χρησιμοποιούμε την προβολή της μεταξύ τους απόστασης στη διεύθυνση της $\vec{E}$, όχι την ευθεία απόσταση $AB$.

Σημεία που έχουν το ίδιο δυναμικό σχηματίζουν ισοδυναμικές επιφάνειες. Στο ομογενές πεδίο, οι ισοδυναμικές επιφάνειες είναι επίπεδα κάθετα στις δυναμικές γραμμές. Όταν μετακινούμε φορτίο πάνω σε ισοδυναμική επιφάνεια, είναι $V_A = V_B$, οπότε το έργο της δύναμης του πεδίου είναι μηδέν $(W = 0)$. Αυτό συμφωνεί με τη Β' περίπτωση της απόδειξης: η μετατόπιση κάθετα στις δυναμικές γραμμές δεν παράγει έργο.

Από τη σχέση $V = E \cdot d$ προκύπτει ότι, σε ομογενές πεδίο, η διαφορά δυναμικού είναι ανάλογη της απόστασης $d$ (κατά μήκος της δυναμικής γραμμής). Επομένως το δυναμικό μεταβάλλεται γραμμικά καθώς προχωράμε κατά μήκος μιας δυναμικής γραμμής: όσο μεγαλύτερη η απόσταση από ένα σημείο αναφοράς, τόσο πιο διαφορετικό το δυναμικό.

Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου μπορεί να οριστεί ισοδύναμα με δύο τρόπους:

• Μέσω της δύναμης: $E = \dfrac{F}{q}$ (μονάδα $\text{N}/\text{C}$).
• Μέσω του δυναμικού: $E = \dfrac{V}{x}$ (μονάδα $\text{V}/\text{m}$).

Και οι δύο εκφράσεις περιγράφουν το ίδιο φυσικό μέγεθος. Η πρώτη τονίζει την «επίδραση» του πεδίου στο φορτίο, ενώ η δεύτερη τη «μεταβολή» του δυναμικού στον χώρο.