Η δυναμική ενέργεια πολλών σημειακών φορτίων

Όταν έχουμε ένα σύστημα σημειακών φορτίων, το ίδιο το σύστημα διαθέτει δυναμική ενέργεια $U$ λόγω των ηλεκτρικών αλληλεπιδράσεων μεταξύ των φορτίων. Η ενέργεια αυτή ισούται με το έργο που απαιτείται για να συγκεντρωθούν τα φορτία στις θέσεις τους, ξεκινώντας από πολύ μεγάλη απόσταση (θεωρητικά από το άπειρο), όπου θεωρούμε ότι δεν αλληλεπιδρούν.

Δυναμική ενέργεια συστήματος δύο σημειακών φορτίων

Ας θεωρήσουμε δύο σημειακά φορτία $q_1$ και $q_2$ που απέχουν μεταξύ τους απόσταση $r$ . Η δυναμική ενέργεια του συστήματος των δύο φορτίων είναι

U = \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_1 q_2}{r}

όπου $\mathrm{K_c}$ η ηλεκτροστατική σταθερά (σταθερά του Coulomb).

Φυσική σημασία 💡

Η δυναμική ενέργεια $U$ ενός ζεύγους φορτίων εκφράζει το έργο που απαιτείται για να μεταφερθούν τα δύο φορτία από πολύ μακριά (όπου $U=0$ ) και να τοποθετηθούν σε απόσταση $r$ το ένα από το άλλο.

Απόδειξη της σχέσης για δύο φορτία

Τοποθετούμε πρώτα το φορτίο $q_1$ στη θέση του. Αυτό γίνεται χωρίς παραγωγή ή δαπάνη έργου, αφού δεν υπάρχει άλλο φορτίο, άρα ούτε ηλεκτρικό πεδίο.

Στη συνέχεια μεταφέρουμε το $q_2$ από το άπειρο στη θέση του, η οποία απέχει απόσταση $r$ από το $q_1$ . Το φορτίο $q_2$ κινείται μέσα στο πεδίο που δημιουργεί το $q_1$ . Το έργο που απαιτείται από εμάς είναι αντίθετο του έργου της δύναμης του πεδίου:

-W_{\infty \to \mathrm{B}} = W_{\mathrm{B} \to \infty} = V_{\mathrm{B}}\, q_2

όπου $V_{\mathrm{B}}$ το δυναμικό στη θέση $\mathrm{B}$ που οφείλεται στο $q_1$ :

V_{\mathrm{B}} = \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_1}{r}

Επομένως το απαιτούμενο έργο, και άρα η δυναμική ενέργεια του συστήματος, είναι

U = \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_1 q_2}{r}

Γενίκευση: δυναμική ενέργεια συστήματος τριών φορτίων

Έστω ένα σύστημα τριών σημειακών φορτίων $q_1$ , $q_2$ και $q_3$ στις θέσεις $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\mathrm{\Gamma}$ αντίστοιχα, με αμοιβαίες αποστάσεις:

$\gamma$ : η απόσταση μεταξύ $q_1$ και $q_2$ ,
$\beta$ : η απόσταση μεταξύ $q_1$ και $q_3$ ,
$\alpha$ : η απόσταση μεταξύ $q_2$ και $q_3$ .

Η ενέργεια του συστήματος ισούται με το συνολικό έργο που απαιτείται για να μεταφερθούν τα φορτία από πολύ μακριά στις θέσεις τους. Συγκεντρώνουμε τα φορτία ένα προς ένα.

Βήμα 1: Τοποθέτηση του $q_1$

Το $q_1$ μεταφέρεται στο σημείο $\mathrm{A}$ χωρίς παραγωγή ή δαπάνη έργου.

Βήμα 2: Τοποθέτηση του $q_2$

Μεταφέρουμε το $q_2$ στο σημείο $\mathrm{B}$ . Κινείται μέσα στο πεδίο του $q_1$ , οπότε το απαιτούμενο έργο είναι

-W_{\infty \to \mathrm{B}} = W_{\mathrm{B} \to \infty} = V_{\mathrm{B}}\, q_2 = \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_1 q_2}{\gamma}

Βήμα 3: Τοποθέτηση του $q_3$

Μεταφέρουμε το $q_3$ στο σημείο $\mathrm{\Gamma}$ . Το έργο που απαιτείται είναι αντίθετο του έργου της δύναμης του πεδίου που δημιουργούν μαζί τα $q_1$ και $q_2$ :

-W_{\infty \to \mathrm{\Gamma}} = W_{\mathrm{\Gamma} \to \infty} = V_{\mathrm{\Gamma}}\, q_3

Επειδή το δυναμικό στο σημείο $\mathrm{\Gamma}$ οφείλεται στα φορτία $q_1$ και $q_2$ :

V_{\mathrm{\Gamma}} = \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_1}{\beta} + \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_2}{\alpha}

η σχέση γίνεται

-W_{\infty \to \mathrm{\Gamma}} = \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_1 q_3}{\beta} + \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_2 q_3}{\alpha}

Συνολικό έργο και δυναμική ενέργεια

Το συνολικό έργο που απαιτείται για να συγκεντρώσουμε τα τρία φορτία προκύπτει από το άθροισμα των έργων των βημάτων 2 και 3:

W = \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_1 q_2}{\gamma} + \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_1 q_3}{\beta} + \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_2 q_3}{\alpha}

Τόση είναι και η δυναμική ενέργεια του συστήματος:

U = \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_1 q_2}{\gamma} + \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_1 q_3}{\beta} + \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_2 q_3}{\alpha}

Άθροισμα ζευγών ✅

Η δυναμική ενέργεια ενός συστήματος φορτίων ισούται με το άθροισμα των δυναμικών ενεργειών όλων των δυνατών ζευγών φορτίων. Για κάθε ζεύγος γράφουμε έναν όρο $\mathrm{K_c}\,\dfrac{q_i q_j}{r_{ij}}$ , όπου $r_{ij}$ η απόστασή τους. Κάθε ζεύγος προσμετράται μία μόνο φορά.

Γενίκευση για πολλά σημειακά φορτία

Για ένα σύστημα $N$ σημειακών φορτίων η συνολική δυναμική ενέργεια είναι το άθροισμα των όρων όλων των δυνατών ζευγών:

U = \mathrm{K_c} \sum_{i<j} \dfrac{q_i q_j}{r_{ij}}

Η συνθήκη $i<j$ εξασφαλίζει ότι κάθε ζεύγος υπολογίζεται ακριβώς μία φορά. Για παράδειγμα, με τέσσερα φορτία υπάρχουν $\dfrac{4\cdot 3}{2}=6$ ζεύγη, άρα έξι όροι.

Πλήθος ζευγών 🔢

Σε σύστημα $N$ φορτίων το πλήθος των διαφορετικών ζευγών (και άρα των όρων του αθροίσματος) είναι

\dfrac{N(N-1)}{2}

Πρόσημο της δυναμικής ενέργειας

Από τη σχέση $U = \mathrm{K_c}\,\dfrac{q_1 q_2}{r}$ προκύπτει το πρόσημο της δυναμικής ενέργειας ανάλογα με το είδος των φορτίων:

Ομώνυμα φορτία ( $q_1 q_2 > 0$ ): η δυναμική ενέργεια είναι θετική ( $U>0$ ). Αυτό είναι συνέπεια των απωστικών δυνάμεων που αναπτύσσονται μεταξύ τους. Για να μεταφερθούν τα φορτία από πολύ μακριά και να πλησιάσουν σε απόσταση $r$ , πρέπει να προσφερθεί έργο στο σύστημα.
Ετερώνυμα φορτία ( $q_1 q_2 < 0$ ): η δυναμική ενέργεια είναι αρνητική ( $U<0$ ). Τα φορτία έλκονται και απαιτείται αρνητικό έργο για να τοποθετηθούν σε απόσταση $r$ μεταξύ τους.

Προσοχή στα πρόσημα ⚠️

Στις σχέσεις της δυναμικής ενέργειας τα φορτία αντικαθίστανται μαζί με το πρόσημό τους (αλγεβρικά). Το πρόσημο του γινομένου $q_i q_j$ καθορίζει το πρόσημο κάθε όρου. Σε σύστημα πολλών φορτίων η συνολική $U$ μπορεί να είναι θετική, αρνητική ή μηδέν, ανάλογα με το αλγεβρικό άθροισμα όλων των όρων.

Παρατηρήσεις και Προτάσεις

Παρατήρηση: η ενέργεια ανήκει στο σύστημα 🔗

Η δυναμική ενέργεια που υπολογίσαμε ανήκει στο σύστημα των φορτίων ως σύνολο. Δεν υπάρχει κανένας λογικός τρόπος να αποδώσουμε μέρος αυτής της ενέργειας σε κάποιο μεμονωμένο φορτίο.

Παρατήρηση: επίπεδο μηδενικής ενέργειας 📏

Ως επίπεδο αναφοράς (μηδενικής δυναμικής ενέργειας) λαμβάνεται η κατάσταση όπου τα φορτία απέχουν άπειρη απόσταση μεταξύ τους ( $r\to\infty \Rightarrow U\to 0$ ). Όλες οι τιμές της $U$ μετρώνται ως προς αυτό το επίπεδο.

Πρόταση: σχέση δυναμικής ενέργειας και δυναμικού 🧮

Η δυναμική ενέργεια ενός φορτίου $q$ που βρίσκεται σε σημείο όπου το δυναμικό (λόγω των υπολοίπων φορτίων) είναι $V$ δίνεται από $U = V q$ . Η σχέση αυτή χρησιμοποιείται στην απόδειξη: το έργο μεταφοράς κάθε φορτίου ισούται με το γινόμενο του φορτίου επί το δυναμικό της θέσης του.

Πρόταση: εφαρμογή σε προβλήματα ενέργειας ⚙️

Σε προβλήματα όπου φορτισμένα σώματα κινούνται, εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας, λαμβάνοντας υπόψη τόσο την κινητική ενέργεια όσο και τη δυναμική ενέργεια του συστήματος των φορτίων:

\mathrm{K}_{\alpha\rho\chi.} + U_{\alpha\rho\chi.} = \mathrm{K}_{\tau\varepsilon\lambda.} + U_{\tau\varepsilon\lambda.}

Όταν δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις στο σύστημα, διατηρείται επίσης και η ορμή του.

Λεπτομέρεια: ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία 📡

Αυστηρά, η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας είναι προσέγγιση: το πεδίο που δημιουργείται από κινούμενα φορτία είναι ηλεκτρομαγνητικό και, όταν τα φορτία επιταχύνονται, ένα μέρος της ενέργειάς τους μεταφέρεται με τη μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας στο περιβάλλον. Στα προβλήματα του σχολικού επιπέδου η ακτινοβολία αυτή θεωρείται αμελητέα.