Ο νόμος του Gauss

Ο νόμος του Gauss συνδέει την ηλεκτρική ροή που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια με το ηλεκτρικό φορτίο που περικλείει αυτή η επιφάνεια. Είναι ένας από τους θεμελιώδεις νόμους της ηλεκτροστατικής.

Ροή από σφαίρα γύρω από σημειακό φορτίο

Ας ξεκινήσουμε από την απλούστερη περίπτωση, για να φτάσουμε στη γενική διατύπωση του νόμου.

Δεδομένα. Θεωρούμε ένα σημειακό θετικό φορτίο $q$ . Φανταζόμαστε μια σφαίρα ακτίνας $r$ που έχει κέντρο το σημείο στο οποίο βρίσκεται το φορτίο (Σχ. 5.7 του βιβλίου). Θα υπολογίσουμε την ηλεκτρική ροή που διέρχεται από τη σφαιρική αυτή επιφάνεια.

Βήμα 1ο — Η ένταση στην επιφάνεια της σφαίρας. Γνωρίζουμε ότι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε κάθε σημείο της σφαιρικής επιφάνειας έχει μέτρο:

E = k_c\,\frac{q}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}

με διεύθυνση ακτινική και φορά προς τα έξω.

Βήμα 2ο — Στοιχειώδη τμήματα. Χωρίζουμε την επιφάνεια της σφαίρας σε στοιχειώδη τμήματα $\Delta Α$ , τόσο μικρά ώστε το καθένα να μπορεί να θεωρηθεί επίπεδο. Οι δυναμικές γραμμές του πεδίου που δημιουργεί το $q$ τέμνουν κάθετα κάθε στοιχειώδη επιφάνεια $\Delta Α$ , δηλαδή το κάθετο διάνυσμα κάθε στοιχειώδους επιφάνειας είναι παράλληλο με τις δυναμικές γραμμές (και με την ένταση).

Βήμα 3ο — Η ολική ροή. Επειδή η ένταση $Ε$ είναι κάθετη σε κάθε τμήμα και έχει το ίδιο μέτρο σε όλη τη σφαίρα, η ολική ροή είναι:

Φ_Ε = \sum Ε\,\Delta Α = Ε \sum \Delta Α = Ε\cdot (4\pi r^2)

όπου ο όρος $\sum \Delta Α = 4\pi r^2$ είναι το εμβαδόν της σφαιρικής επιφάνειας.

Βήμα 4ο — Αντικατάσταση της έντασης. Αντικαθιστώντας το $Ε$ προκύπτει:

Φ_Ε = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}

Σημαντικό συμπέρασμα 🔑

Η ηλεκτρική ροή $Φ_Ε$ είναι ανεξάρτητη της ακτίνας $r$ της σφαίρας που επιλέξαμε:

Φ_Ε = \frac{q}{\varepsilon_0}

Αυτό είναι λογικό, γιατί το πλήθος των δυναμικών γραμμών που περνά από οποιαδήποτε σφαιρική επιφάνεια με κέντρο το φορτίο είναι το ίδιο, ανεξάρτητα από την ακτίνα της.

Γενίκευση σε οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια

Στην πραγματικότητα η επιφάνεια δεν χρειάζεται να είναι σφαιρική. Από οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια που περικλείει το φορτίο $q$ (Σχ. 5.8 του βιβλίου) θα περνάει ο ίδιος αριθμός δυναμικών γραμμών. Επομένως, η ηλεκτρική ροή για κάθε κλειστή επιφάνεια που περικλείει το φορτίο $q$ είναι ίση με αυτή που βρήκαμε για τη σφαίρα:

Φ_Ε = \frac{q}{\varepsilon_0}

Το συμπέρασμα γενικεύεται και στην περίπτωση που έχουμε πολλά σημειακά φορτία ή φορτισμένα σώματα. Με την αρχή της επαλληλίας αποδεικνύεται ότι η ηλεκτρική ροή που διέρχεται από μια οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια είναι ίση με $Q_{εγκ}/\varepsilon_0$ , όπου $Q_{εγκ}$ το συνολικό φορτίο που περικλείεται από την κλειστή επιφάνεια.

Διατύπωση του νόμου του Gauss

Νόμος του Gauss ⭐

Η ηλεκτρική ροή που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια ισούται με το πηλίκο του ολικού φορτίου που περικλείει η επιφάνεια, προς τη σταθερά $\varepsilon_0$ .

Φ_Ε = \frac{Q_{εγκ}}{\varepsilon_0}

όπου $Q_{εγκ}$ το ολικό (εγκλειόμενο) φορτίο στο εσωτερικό της κλειστής επιφάνειας και $\varepsilon_0$ η ηλεκτρική σταθερά (διηλεκτρική σταθερά του κενού).

Επιφάνεια Gauss 📦

Την κλειστή επιφάνεια που επιλέγουμε για να εφαρμόσουμε τον νόμο του Gauss την ονομάζουμε επιφάνεια Gauss (ή γκαουσιανή επιφάνεια). Είναι μια νοητή (φανταστική) επιφάνεια, που την επιλέγουμε εμείς ώστε να εκμεταλλευτούμε τη συμμετρία του προβλήματος.

Προσοχή — τι είναι το Q και τι το E ⚠️

Κατά την εφαρμογή του νόμου του Gauss πρέπει να είμαστε προσεκτικοί:

Το φορτίο $Q_{εγκ}$ είναι μόνο το φορτίο που βρίσκεται μέσα στην επιφάνεια Gauss.
Αντίθετα, η ένταση $Ε$ είναι το ολικό ηλεκτρικό πεδίο, που οφείλεται τόσο σε φορτία μέσα όσο και σε φορτία έξω από την επιφάνεια.

Παρατηρήσεις - Προτάσεις 📝

1. Φορτίο εκτός της επιφάνειας. Αν ένα φορτίο $q$ βρίσκεται έξω από την κλειστή επιφάνεια (Σχ. 5.9 του βιβλίου), όσες δυναμικές γραμμές εισέρχονται σε αυτή εξέρχονται από κάποιο άλλο σημείο της. Έτσι η συνολική ροή είναι μηδέν ( $Q_{εγκ}=0$ ).

2. Πρόσημο της ροής. Επειδή $Φ_Ε = Q_{εγκ}/\varepsilon_0$ , η ροή είναι θετική όταν η επιφάνεια περικλείει συνολικά θετικό φορτίο και αρνητική όταν περικλείει αρνητικό.

3. Σχέση με τον νόμο του Coulomb. Ο νόμος του Gauss είναι θεμελιώδους σημασίας, ανάλογης με αυτήν του νόμου του Coulomb. Στην πραγματικότητα δεν είναι δύο ανεξάρτητοι φυσικοί νόμοι, αλλά ο ίδιος νόμος εκφρασμένος με δύο διαφορετικούς τρόπους.

4. Χρησιμότητα. Ο νόμος του Gauss δίνει εύκολα την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε περιπτώσεις όπου έχουμε συμμετρική κατανομή φορτίου.

Εφαρμογές του νόμου του Gauss

Με τον νόμο του Gauss μπορούμε να υπολογίσουμε εύκολα την ένταση όταν το φορτίο κατανέμεται συμμετρικά. Σε αυτές τις περιπτώσεις επιλέγουμε επιφάνεια Gauss που έχει την ίδια συμμετρία με την κατανομή του φορτίου.

Εφαρμογή 1η — Φορτισμένο σφαιρικό κέλυφος

Πρόβλημα (Παράδειγμα 5-1). Ένα σφαιρικό κέλυφος αμελητέου πάχους έχει ακτίνα $α$ και φέρει φορτίο $Q$ , ομοιόμορφα κατανεμημένο στην επιφάνειά του. Ζητείται η ένταση στο εξωτερικό και στο εσωτερικό του.

Επειδή το φορτίο είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο, το πεδίο έχει ακτινική διεύθυνση και η ένταση έχει την ίδια τιμή σε όλα τα σημεία που ισαπέχουν από το κέντρο. Γι' αυτό επιλέγουμε ως επιφάνεια Gauss μια σφαιρική επιφάνεια ομόκεντρη με το κέλυφος.

Α) Εξωτερικός χώρος $(r \ge α)$ 🧮

Χωρίζουμε την επιφάνεια Gauss σε μικρά τμήματα $\Delta Α$ . Η κάθετη σε κάθε τμήμα και η ένταση έχουν την ίδια κατεύθυνση, οπότε η ροή κάθε τμήματος είναι:

\Delta Φ_Ε = Ε\,\Delta Α\,\text{συν} 0^\circ = Ε\,\Delta Α

Αθροίζοντας για όλα τα τμήματα, η ολική ροή είναι:

Φ_Ε = Ε\cdot 4\pi r^2

Όμως από τον νόμο του Gauss (το κέλυφος περικλείεται εξ ολοκλήρου, άρα $Q_{εγκ}=Q$ ):

Φ_Ε = \frac{Q_{εγκ}}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0}

Εξισώνοντας τις δύο εκφράσεις της ροής:

Ε\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \;\;\Rightarrow\;\; \boxed{\;Ε = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\;}

Πόρισμα — εξωτερικός χώρος 🎯

Αυτή είναι ακριβώς η σχέση που δίνει την ένταση σημειακού φορτίου $Q$ σε απόσταση $r$ . Επομένως, ο σφαιρικός φλοιός συμπεριφέρεται στον εξωτερικό του χώρο σαν να ήταν ένα σημειακό φορτίο $Q$ συγκεντρωμένο στο κέντρο του.

Β) Εσωτερικός χώρος $(r < α)$ 🧮

Επιλέγουμε πάλι σφαιρική επιφάνεια Gauss ομόκεντρη με το κέλυφος, αλλά τώρα με ακτίνα $r < α$ (Σχ. 5.12 του βιβλίου). Με τον ίδιο συλλογισμό καταλήγουμε στη σχέση:

Φ_Ε = Ε\cdot 4\pi r^2

Όμως τώρα η επιφάνεια Gauss δεν περικλείει καθόλου φορτίο (όλο το φορτίο βρίσκεται στο κέλυφος, ακτίνας $α > r$ ), άρα $Q_{εγκ}=0$ και:

Φ_Ε = \frac{Q_{εγκ}}{\varepsilon_0} = 0

Συνδυάζοντας:

Ε\cdot 4\pi r^2 = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \boxed{\;Ε = 0\;}

Πόρισμα — εσωτερικός χώρος 🎯

Στο εσωτερικό του φορτισμένου σφαιρικού κελύφους δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο ( $Ε = 0$ ).

Παρατήρηση — φορτισμένος αγωγός 📝

Σε κάθε σώμα υπάρχει θετικό και αρνητικό φορτίο. Σε έναν φορτισμένο αγωγό, οι απωστικές δυνάμεις μεταξύ των πλεοναζόντων ομώνυμων φορτίων τα ωθούν να απομακρυνθούν όσο γίνεται. Έτσι τα φορτία συγκεντρώνονται στην επιφάνεια του αγωγού. (Στην πραγματικότητα τα φορτία που μετακινούνται είναι τα ελεύθερα ηλεκτρόνια.)

Αν ο αγωγός είναι σφαιρικός, το πλεονάζον φορτίο κατανέμεται ομοιόμορφα στην επιφάνειά του. Επομένως:

Εξωτερικά, ο σφαιρικός αγωγός συμπεριφέρεται σαν σημειακό φορτίο στο κέντρο του.
Στο εσωτερικό του αγωγού το πεδίο είναι μηδέν.

Δηλαδή το πεδίο ενός στατικά φορτισμένου σφαιρικού αγωγού είναι όμοιο με αυτό ενός φορτισμένου σφαιρικού κελύφους.

Εφαρμογή 2η — Άπειρο φορτισμένο σύρμα

Πρόβλημα (Παράδειγμα 5-2). Ένα πολύ μεγάλο (απείρου μήκους) σύρμα είναι ομοιόμορφα φορτισμένο, με γραμμική πυκνότητα φορτίου $λ$ . Ζητείται η ένταση του πεδίου που δημιουργεί.

Για λόγους συμμετρίας, το πεδίο είναι ακτινικό και η ένταση έχει την ίδια τιμή σε όλα τα σημεία που ισαπέχουν από το σύρμα. Τα σημεία αυτά σχηματίζουν μια κυλινδρική επιφάνεια. Γι' αυτό επιλέγουμε ως επιφάνεια Gauss την επιφάνεια κυλίνδρου με άξονα το σύρμα, μήκος $L$ και ακτίνα βάσεων $r$ (Σχ. 5.14 του βιβλίου).

Ανάλυση της ροής 🧮. Η ένταση είναι κάθετη στην κυρτή (πλευρική) επιφάνεια και παράλληλη στις βάσεις. Επομένως:

Η ροή από τις βάσεις είναι μηδέν (η ένταση είναι παράλληλη σε αυτές, δηλαδή κάθετη στο κάθετο διάνυσμα).
Η ροή προέρχεται μόνο από την κυρτή επιφάνεια, όπου η κάθετη κάθε στοιχειώδους τμήματος είναι παράλληλη με την ένταση.

Φ_Ε = Φ_{βάσεις} + Φ_{κυρτής} = Φ_{κυρτής} = Ε\cdot (2\pi r L)

αφού το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας του κυλίνδρου είναι $2\pi r L$ .

Εφαρμογή του νόμου του Gauss. Το ολικό φορτίο που περικλείει ο κύλινδρος (τμήμα σύρματος μήκους $L$ ) είναι $Q_{εγκ}=λL$ , οπότε:

Φ_Ε = \frac{Q_{εγκ}}{\varepsilon_0} = \frac{λL}{\varepsilon_0}

Εξισώνοντας τις δύο εκφράσεις:

Ε\cdot 2\pi r L = \frac{λL}{\varepsilon_0} \;\;\Rightarrow\;\; \boxed{\;Ε = \frac{1}{2\pi\varepsilon_0}\,\frac{λ}{r}\;}

Πόρισμα — άπειρο σύρμα 🎯

Η ένταση του πεδίου που δημιουργεί φορτισμένο σύρμα απείρου μήκους είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης $r$ από αυτό ( $Ε \propto 1/r$ ), σε αντίθεση με το σημειακό φορτίο όπου $Ε \propto 1/r^2$ .

Εφαρμογή 3η — Άπειρο φορτισμένο επίπεδο

Πρόβλημα (Παράδειγμα 5-3). Ένα επίπεδο φύλλο άπειρων διαστάσεων είναι ομοιόμορφα φορτισμένο, με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου $σ$ . Ζητείται η ένταση του πεδίου που δημιουργεί.

Για λόγους συμμετρίας, η ένταση είναι κάθετη στο επίπεδο του φύλλου και έχει το ίδιο μέτρο σε δύο σημεία που ισαπέχουν από το φύλλο και βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές. Επιλέγουμε ως επιφάνεια Gauss την επιφάνεια κυλίνδρου με άξονα κάθετο στο φύλλο και τις δύο βάσεις του (εμβαδού $Α$ η καθεμία) να ισαπέχουν από το επίπεδο (Σχ. 5.15 του βιβλίου).

Ανάλυση της ροής 🧮. Εδώ ο προσανατολισμός είναι αντίστροφος από το σύρμα:

Η ροή από την κυρτή επιφάνεια είναι μηδέν, αφού κάθε τμήμα της είναι παράλληλο με τις δυναμικές γραμμές.
Η ένταση είναι κάθετη στις δύο βάσεις και ίδιου μέτρου σε αυτές. Η ροή από κάθε βάση είναι $Ε Α$ .

Φ_Ε = Φ_{κυρτής} + Φ_{βάσεις} = Φ_{βάσεις} = 2 Ε Α

Εφαρμογή του νόμου του Gauss. Το ολικό φορτίο που περικλείεται είναι $Q_{εγκ}=σΑ$ (το κομμάτι του φύλλου που αποκόπτει ο κύλινδρος), οπότε:

Φ_Ε = \frac{Q_{εγκ}}{\varepsilon_0} = \frac{σΑ}{\varepsilon_0}

Εξισώνοντας:

2 Ε Α = \frac{σΑ}{\varepsilon_0} \;\;\Rightarrow\;\; \boxed{\;Ε = \frac{σ}{2\varepsilon_0}\;}

Πόρισμα — άπειρο επίπεδο 🎯

Η ένταση είναι ανεξάρτητη της απόστασης από το φορτισμένο φύλλο. Δηλαδή το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργεί φορτισμένο φύλλο απείρων διαστάσεων είναι ομογενές σε κάθε περιοχή του χώρου που ορίζεται από αυτό (σταθερό μέτρο, σταθερή διεύθυνση και φορά).

Σύνοψη μεθοδολογίας 📌

Για να εφαρμόσουμε τον νόμο του Gauss σε συμμετρικές κατανομές:

Εντοπίζουμε τη συμμετρία του πεδίου (ακτινική σφαιρική, ακτινική κυλινδρική, ομογενής).
Επιλέγουμε επιφάνεια Gauss ίδιας συμμετρίας (σφαίρα, κύλινδρος), ώστε η $Ε$ να είναι είτε κάθετη και σταθερή είτε παράλληλη σε κάθε τμήμα.
Υπολογίζουμε τη ροή $Φ_Ε$ γεωμετρικά (μένουν μόνο τα τμήματα όπου η $Ε$ είναι κάθετη στην επιφάνεια).
Εξισώνουμε με $Q_{εγκ}/\varepsilon_0$ και λύνουμε ως προς $Ε$ .