Κάθε στροφή και κάθε φρενάρισμα κρύβουν νόμους της φυσικής που καθορίζουν το αποτέλεσμα. Ανακάλυψε πώς η ορμή επηρεάζει την κίνηση και τι συμβαίνει στις συγκρούσεις. Άνοιξε το καπό και δες πώς τα αέρια μετατρέπουν τη θερμότητα σε ισχύ. Μπες στη θέση του οδηγού και ετοιμάσου για τον μεγάλο αγώνα μαζί μας 🏎️🏁

Φυσική Προσανατολισμού Β' Λυκείου

13. Ένθετο: Η ενεργός ταχύτητα των μορίων αερίου είναι μεγαλύτερη της μέσης

# Η ενεργός ταχύτητα των μορίων αερίου είναι μεγαλύτερη της μέσης (απόδειξη)

Σε ένα αέριο τα μόρια κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες, οπότε χρειαζόμαστε ένα «αντιπροσωπευτικό» μέγεθος για να τις περιγράψουμε. Δύο τέτοια μεγέθη είναι η **μέση ταχύτητα** και η **ενεργός ταχύτητα**, και είναι κρίσιμο να μη συγχέονται. Έστω ότι οι ταχύτητες των μορίων είναι \(υ_i\), όπου \(i=1,2,\dots,N\). Η μέση ταχύτητα ορίζεται ως ο απλός αριθμητικός μέσος όρος των μέτρων των ταχυτήτων, ενώ η ενεργός ταχύτητα ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του μέσου όρου των τετραγώνων των ταχυτήτων (root mean square):

\[
\overline{υ}=\frac{υ_1+υ_2+\cdots+υ_N}{N}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}υ_i
\]

\[
υ_{εν}=\sqrt{\overline{υ^2}}=\sqrt{\frac{υ_1^2+υ_2^2+\cdots+υ_N^2}{N}}
\]

<fact>

🎯 Η ενεργός ταχύτητα \(υ_{εν}=\sqrt{\overline{υ^2}}\) είναι το μέγεθος που συνδέεται φυσικά με την κινητική ενέργεια των μορίων (αφού η κινητική ενέργεια εξαρτάται από το \(υ^2\)), γι' αυτό και εμφανίζεται στις σχέσεις της κινητικής θεωρίας — όχι η απλή μέση ταχύτητα <span data-tooltip="Στην πίεση και στη μέση κινητική ενέργεια εμφανίζεται το \overline{υ^2}, δηλαδή το τετράγωνο της ενεργού ταχύτητας.">⚙️</span>.

</fact>

Σχηματίζοντας την κατάλληλη παράσταση (που στηρίζεται στην ανισότητα μεταξύ του τετραγωνικού μέσου και του αριθμητικού μέσου) αποδεικνύεται γενικά ότι η ενεργός ταχύτητα είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση της μέσης:

\[
υ_{εν}=\sqrt{\overline{υ^2}}\ \ge\ \overline{υ}
\]

Η **ισότητα ισχύει μόνο** στην περίπτωση που όλα τα μόρια έχουν την ίδια κατά μέτρο ταχύτητα. Κάτι τέτοιο όμως, για τους τεράστιους πληθυσμούς μορίων ενός αερίου, είναι απολύτως αδύνατο: πάντα υπάρχει διασπορά τιμών στις ταχύτητες των μορίων.

<alert>

⚠️ Επειδή στην πράξη τα μόρια ποτέ δεν έχουν όλα το ίδιο μέτρο ταχύτητας, για κάθε πραγματικό αέριο ισχύει **αυστηρά** η ανισότητα \(υ_{εν}>\overline{υ}\). Δηλαδή η ενεργός ταχύτητα είναι πάντα γνησίως μεγαλύτερη της μέσης.

</alert>

Η ποσοτική σχέση μεταξύ των δύο ταχυτήτων προκύπτει από τη μαθηματική επεξεργασία της συνάρτησης κατανομής \(\dfrac{dN}{dυ}=f(υ)\) (κατανομή **Maxwell–Boltzmann**) των μοριακών ταχυτήτων. Για ένα αέριο γραμμομοριακής μάζας \(M\) σε θερμοκρασία \(T\) προκύπτει:

\[
υ_{εν}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\qquad\text{και}\qquad \overline{υ}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}
\]

<fact>

🔬 Από τις παραπάνω σχέσεις ο λόγος των δύο ταχυτήτων είναι σταθερός και ανεξάρτητος της θερμοκρασίας και του είδους του αερίου: \(\dfrac{υ_{εν}}{\overline{υ}}=\sqrt{\dfrac{3\pi}{8}}\approx 1{,}085\). Επιβεβαιώνεται έτσι ποσοτικά ότι \(υ_{εν}>\overline{υ}\), με την ενεργό ταχύτητα να υπερτερεί κατά περίπου 8,5%.

</fact>
