Κατανομή μοριακών ταχυτήτων

Σε ένα αέριο τα μόρια δεν κινούνται όλα με την ίδια ταχύτητα. Ο αριθμός των μορίων, όσο μικρή και αν είναι η ποσότητα του αερίου, είναι τεράστιος και κάθε μόριο συγκρούεται αλλάζοντας ταχύτητα περίπου ένα δισεκατομμύριο φορές το δευτερόλεπτο. Γι' αυτό η ερώτηση «πόσα μόρια έχουν κάποια στιγμή μια συγκεκριμένη ταχύτητα $υ$ ;» δεν έχει νόημα. Έχει όμως νόημα να βρούμε τον αριθμό $dN$ των μορίων που έχουν ταχύτητες μέσα σε μια στενή περιοχή, από $υ$ μέχρι $υ+dυ$ . 🎯

💡 Η βασική ιδέα της κατανομής

Δεν αναζητούμε πόσα μόρια έχουν μία ακριβή ταχύτητα (που είναι πρακτικά μηδέν), αλλά πόσα μόρια $dN$ έχουν ταχύτητες μέσα σε ένα μικρό εύρος $dυ$ γύρω από μια τιμή $υ$ . Αυτή είναι η κατανομή των μοριακών ταχυτήτων.

Το πείραμα του Zartman

Το 1920 έγινε το πρώτο πείραμα για τη μέτρηση των μοριακών ταχυτήτων. Ο Zartman (Ζάρτμαν) προσδιόρισε πειραματικά τις ταχύτητες των μορίων ενός αερίου με την εξής διάταξη (σχ. 3.10 του βιβλίου):

Μέσα σε έναν φούρνο εξαερώνεται μια ουσία. Τα μόρια του ατμού διαφεύγουν από ένα άνοιγμα προς έναν θάλαμο κενού.
Στον θάλαμο περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ένας κύλινδρος, ο οποίος φέρει λεπτή σχισμή παράλληλη στον άξονά του και στο εσωτερικό της κυρτής του επιφάνειας ένα ευαίσθητο φιλμ.
Τα μόρια που εισέρχονται από τη σχισμή κινούνται ευθύγραμμα μέχρι να συναντήσουν το φιλμ, όπου προσκολλώνται αφήνοντας ίχνη σε απόσταση $d$ από το σημείο που βρίσκεται ακριβώς απέναντι από τη σχισμή.

Καθώς το μόριο διασχίζει τον κύλινδρο, το φιλμ έχει μετατοπιστεί. Αν $u$ η γραμμική ταχύτητα του φιλμ και $t$ ο χρόνος που χρειάζεται το μόριο για να διατρέξει τη διάμετρο του κυλίνδρου, η απόσταση $d$ ισούται με:

d = u\,t

όπου, αν $υ$ είναι η ταχύτητα των μορίων και $r$ η ακτίνα του κυλίνδρου:

t = \dfrac{2r}{υ}, \qquad u = ω\,r

Επομένως:

d = u\,t = ω r \cdot \dfrac{2r}{υ} = \dfrac{2 ω r^{2}}{υ}

Λύνοντας ως προς την ταχύτητα των μορίων:

υ = \dfrac{2 ω r^{2}}{d}

🔬 Τι μετράμε στο πείραμα

Η μέτρηση της ταχύτητας $υ$ ανάγεται στη μέτρηση της απόστασης $d$ . Μετρώντας πόσα μόρια πέφτουν σε κάθε σημείο του φιλμ, υπολογίζουμε την κατανομή των μορίων στις διάφορες ταχύτητες. Σήμερα η μέτρηση των μοριακών ταχυτήτων γίνεται με μεγάλη ακρίβεια.

Πειραματικά δεδομένα και διάγραμμα κατανομής

Από ένα πείραμα ανάλογο με του Zartman προκύπτουν μετρήσεις όπως οι παρακάτω (παράδειγμα 3-5 του βιβλίου). Οι ποσότητες που εμφανίζονται είναι:

$υ$ : οι ταχύτητες των μορίων.
$Δυ$ : οι περιοχές (εύρη) ταχυτήτων γύρω από κάθε ταχύτητα. Οι περιοχές δεν έχουν όλες το ίδιο εύρος, ώστε σε κάθε μία να υπάρχει ένας ικανοποιητικός, μετρήσιμος αριθμός μορίων.
$ΔN$ : ο αριθμός των μορίων που έχουν ταχύτητες μέσα στα όρια κάθε περιοχής. Για παράδειγμα, στην πρώτη στήλη $200$ μόρια έχουν ταχύτητες από $99{,}8 \ \text{m/s}$ έως $100{,}2 \ \text{m/s}$ .
$ΔN/Δυ$ : ο αριθμός των μορίων ανά μοναδιαία περιοχή ταχύτητας.

📊 Γιατί σχεδιάζουμε το ΔN/Δυ και όχι το ΔN

Επειδή οι περιοχές $Δυ$ δεν έχουν όλες το ίδιο εύρος, ο «γυμνός» αριθμός $ΔN$ δεν είναι δίκαιο μέτρο σύγκρισης. Διαιρώντας με το εύρος, το πηλίκο $ΔN/Δυ$ (μόρια ανά μονάδα ταχύτητας) γίνεται συγκρίσιμο από περιοχή σε περιοχή. Γι' αυτό στον κατακόρυφο άξονα τοποθετούμε το $ΔN/Δυ$ .

Με βάση τα δεδομένα κατασκευάζεται το διάγραμμα $ΔN/Δυ = f(υ)$ (σχ. 3.11 του βιβλίου), που αποτελεί την κατανομή των ταχυτήτων των μορίων του αερίου.

Η κατανομή κατά Maxwell – Boltzmann

Οι Maxwell και Boltzmann (Μάξγουελ – Μπόλτζμαν), γύρω στο 1860 και πολύ πριν γίνει εφικτή η πειραματική μέτρηση των ταχυτήτων, υπολόγισαν θεωρητικά πώς κατανέμονται τα μόρια ενός αερίου στις διάφορες ταχύτητες. Η θεωρητική συνάρτηση κατανομής συμβολίζεται $dN/dυ = f(υ)$ και η γραφική της παράσταση δίνεται στο σχ. 3.12 του βιβλίου (για $N = 10^{5}$ μόρια αζώτου, στις θερμοκρασίες $300 \ \text{K}$ και $900 \ \text{K}$ ).

📈 Περιγραφή της καμπύλης Maxwell – Boltzmann

Δείτε το διάγραμμα στο σχ. 3.12 του βιβλίου. Με λόγια, η καμπύλη $dN/dυ = f(υ)$ έχει τα εξής χαρακτηριστικά:

Οι ταχύτητες των μορίων καλύπτουν ευρεία περιοχή τιμών.
Η συνάρτηση ξεκινά από το μηδέν: $dN/dυ \to 0$ όταν $υ \to 0$ (πολύ λίγα μόρια έχουν σχεδόν μηδενική ταχύτητα).
Ανεβαίνει, φτάνει σε ένα μέγιστο (κορυφή) και στη συνέχεια κατεβαίνει.
Η συνάρτηση τείνει ξανά στο μηδέν: $dN/dυ \to 0$ όταν $υ \to \infty$ (πολύ λίγα μόρια έχουν πάρα πολύ μεγάλες ταχύτητες).
Η καμπύλη είναι ασύμμετρη: η «ουρά» προς τα δεξιά (μεγάλες ταχύτητες) απλώνεται περισσότερο, καθώς δεν υπάρχει άνω όριο στις ταχύτητες των μορίων.

Φυσική σημασία του εμβαδού κάτω από την καμπύλη

Αν πάρουμε μια λεπτή λωρίδα πλάτους $dυ$ κάτω από την καμπύλη και το $dυ$ είναι απειροστά μικρό, η λωρίδα μπορεί να θεωρηθεί παραλληλόγραμμο με εμβαδόν:

dυ \times \dfrac{dN}{dυ} = dN

Δηλαδή το εμβαδόν της λωρίδας δίνει τον αριθμό $dN$ των μορίων που έχουν ταχύτητες από $υ$ έως $υ + dυ$ .

🟨 Το ολικό εμβαδόν δίνει τον συνολικό αριθμό μορίων

Το συνολικό εμβαδόν που περικλείεται ανάμεσα στην καμπύλη και στον άξονα των $υ$ ισούται με τον συνολικό αριθμό $N$ των μορίων του αερίου. Αυτό το εμβαδόν είναι σταθερό όσο δεν αλλάζει το πλήθος των μορίων, ανεξάρτητα από τη θερμοκρασία.

Πιθανότερη, μέση και ενεργός ταχύτητα

Στην κατανομή ξεχωρίζουν τρεις χαρακτηριστικές ταχύτητες:

🏆 Πιθανότερη ταχύτητα (υπ)

Η ταχύτητα που αντιστοιχεί στο μέγιστο της καμπύλης ονομάζεται πιθανότερη ταχύτητα και συμβολίζεται $υ_{π}$ . Είναι η ταχύτητα γύρω από την οποία βρίσκονται τα περισσότερα μόρια, δηλαδή η πιο «συχνή» ταχύτητα.

📐 Μέση ταχύτητα

Η μέση ταχύτητα είναι η μέση τιμή των ταχυτήτων των μορίων. Αν οι ταχύτητες των $N$ μορίων είναι $υ_{1}, υ_{2}, \ldots, υ_{N}$ , τότε:

\bar{υ} = \dfrac{υ_{1} + υ_{2} + \cdots + υ_{N}}{N}

⚡ Ενεργός ταχύτητα (υεν)

Η ενεργός ταχύτητα $υ_{εν}$ είναι η τετραγωνική ρίζα της μέσης τιμής των τετραγώνων των ταχυτήτων:

υ_{εν} = \sqrt{\overline{υ^{2}}} = \sqrt{\dfrac{υ_{1}^{2} + υ_{2}^{2} + \cdots + υ_{N}^{2}}{N}}

Είναι η ταχύτητα που συνδέεται με τη μέση κινητική ενέργεια των μορίων.

Σύγκριση των τριών ταχυτήτων

Σε πολλές κατανομές η μέση τιμή ενός μεγέθους ταυτίζεται με την πιθανότερη τιμή του. Στην κατανομή Maxwell – Boltzmann όμως αυτό δεν ισχύει, εξαιτίας της ασυμμετρίας της καμπύλης.

🔑 Η διάταξη των ταχυτήτων

Στην κατανομή Maxwell – Boltzmann ισχύει πάντα:

υ_{π} < \bar{υ} < υ_{εν}

Η $\bar{υ}$ είναι μεγαλύτερη της $υ_{π}$ , γιατί προβλέπονται μόρια (έστω και λίγα) με πολύ μεγάλες ταχύτητες — δεν υπάρχει άνω όριο — και αυτά «τραβούν» τη μέση τιμή προς τα δεξιά.
Η $υ_{εν}$ είναι μεγαλύτερη της $\bar{υ}$ · αποδεικνύεται μαθηματικά (βλέπε το ένθετο «Η ενεργός ταχύτητα των μορίων αερίου είναι μεγαλύτερη της μέσης» στη σελίδα 32 του βιβλίου).

⚠️ Προσοχή στη σύγχυση

Μην ταυτίζετε την πιθανότερη ταχύτητα με τη μέση. Η κορυφή της καμπύλης δίνει την $υ_{π}$ (την πιο συχνή), όχι τον μέσο όρο. Λόγω της ασύμμετρης δεξιάς ουράς, ο μέσος όρος μετατοπίζεται πάντα δεξιότερα από την κορυφή.

Επίδραση της θερμοκρασίας στην κατανομή

Στο σχ. 3.12 του βιβλίου η κατανομή δίνεται για δύο θερμοκρασίες ( $300 \ \text{K}$ και $900 \ \text{K}$ ). Συγκρίνοντάς τες παρατηρούμε:

🌡️ Τι αλλάζει όταν αυξάνεται η θερμοκρασία

Όταν αυξάνεται η θερμοκρασία του αερίου, η καμπύλη της κατανομής:

μετατοπίζεται προς τα δεξιά (προς μεγαλύτερες ταχύτητες), και
η κορυφή της χαμηλώνει (γίνεται πιο πλατιά και χαμηλή).

Η εξήγηση είναι η εξής. Όσο αυξάνεται η θερμοκρασία, ο αριθμός των μορίων που έχουν ταχύτητα μεγαλύτερη από μια δεδομένη τιμή αυξάνεται· γι' αυτό η καμπύλη μετατοπίζεται δεξιότερα. Η μετατόπιση όμως αυτή διευρύνει τη βάση της καμπύλης. Επειδή το εμβαδόν που περικλείει η καμπύλη παραμένει αμετάβλητο (αντιστοιχεί στον σταθερό συνολικό αριθμό μορίων), η αύξηση του πλάτους αναγκάζει την κορυφή να χαμηλώσει.

🧠 Κλειδί κατανόησης

Το ολικό εμβαδόν κάτω από την καμπύλη παραμένει σταθερό σε κάθε θερμοκρασία (ίσο με $N$ ). Άρα κάθε φορά που η καμπύλη «απλώνεται» πλατύτερα προς τα δεξιά, οφείλει αναγκαστικά να γίνεται και πιο χαμηλή — αλλιώς το εμβαδόν θα άλλαζε. Πλάτος και ύψος αντισταθμίζονται.

Παρατηρήσεις – Προτάσεις

📝 Παρατήρηση 1 — Όλες οι ταχύτητες αυξάνονται με τη θερμοκρασία

Καθώς η καμπύλη μετατοπίζεται δεξιά με την αύξηση της θερμοκρασίας, αυξάνονται ταυτόχρονα και οι τρεις χαρακτηριστικές ταχύτητες $υ_{π}$ , $\bar{υ}$ και $υ_{εν}$ . Η διάταξη $υ_{π} < \bar{υ} < υ_{εν}$ διατηρείται σε κάθε θερμοκρασία.

📝 Παρατήρηση 2 — Η ενεργός ταχύτητα και η θεωρία των αερίων

Η ενεργός ταχύτητα $υ_{εν}$ είναι αυτή που εμφανίζεται στα συμπεράσματα της κινητικής θεωρίας, γιατί συνδέεται με τη μέση τιμή των τετραγώνων των ταχυτήτων $\overline{υ^{2}}$ , δηλαδή με τη μέση κινητική ενέργεια των μορίων και τελικά με τη θερμοκρασία του αερίου.

📝 Παρατήρηση 3 — Καμία ταχύτητα δεν είναι «η ταχύτητα» του αερίου

Δεν υπάρχει μία ενιαία ταχύτητα για όλα τα μόρια. Το αέριο περιγράφεται από ολόκληρη την κατανομή· οι τρεις χαρακτηριστικές ταχύτητες είναι απλώς βολικοί «αντιπρόσωποι» αυτής της κατανομής.

✅ Πρόταση μελέτης

Για να θυμάστε τη διάταξη, σκεφτείτε την ασύμμετρη δεξιά ουρά: τα λίγα γρήγορα μόρια τραβούν τον μέσο όρο δεξιά από την κορυφή ( $\bar{υ} > υ_{π}$ ), ενώ το τετράγωνο δίνει ακόμη μεγαλύτερο βάρος στις μεγάλες ταχύτητες, οπότε $υ_{εν} > \bar{υ}$ . Συνολικά: $υ_{π} < \bar{υ} < υ_{εν}$ .