Τα πρώτα σημαντικά αποτελέσματα

Με βάση τις παραδοχές της κινητικής θεωρίας καταφέρνουμε να συνδέσουμε τα μακροσκοπικά μεγέθη (πίεση, θερμοκρασία), που μέχρι τώρα προσδιορίζαμε μόνο πειραματικά, με τις μέσες τιμές των ταχυτήτων των μορίων του αερίου. Έτσι το μικρόκοσμος των μορίων εξηγεί τη συμπεριφορά του αερίου σε μεγάλη κλίμακα.

Η έννοια της πίεσης σε ένα αέριο

Ορισμός της πίεσης 📐

Πίεση είναι το μονόμετρο μέγεθος που ορίζεται ως το πηλίκο του μέτρου της δύναμης που ασκείται κάθετα σε μια επιφάνεια προς το εμβαδόν της επιφάνειας:

p = \frac{\Delta F}{\Delta A}

Όταν ένα αέριο είναι κλεισμένο σε ένα δοχείο, η πίεση που ασκείται στα τοιχώματα οφείλεται στις δυνάμεις που ασκούν τα μόρια κατά τις κρούσεις τους πάνω σε αυτά. Κάθε φορά που ένα μόριο προσκρούει στο τοίχωμα και αναπηδά, του ασκεί μια στιγμιαία δύναμη. Το άθροισμα των δυνάμεων από τα τεράστια πλήθη μορίων δίνει μια σταθερή, ομαλή πίεση.

Θεμελιώδης εξίσωση της κινητικής θεωρίας

Θεμελιώδης εξίσωση (σχέση 3.4) ⭐

Η πρώτη σχέση που προκύπτει από την εφαρμογή των νόμων της μηχανικής και των παραδοχών της κινητικής θεωρίας συνδέει την πίεση του αερίου με τις ταχύτητες των μορίων του:

p = \frac{1}{3}\,\frac{N}{V}\,m\,\overline{υ^2}

όπου:

$N$ → ο αριθμός των μορίων του αερίου,

$m$ → η μάζα κάθε μορίου,

$V$ → ο όγκος του δοχείου,

$\overline{υ^2}$ → η μέση τιμή των τετραγώνων των ταχυτήτων των μορίων.

Μορφή με την πυκνότητα 🧪

Επειδή το γινόμενο $N\,m$ είναι η ολική μάζα του αερίου και το πηλίκο της ολικής μάζας προς τον όγκο $V$ είναι η πυκνότητα $ρ$ του αερίου, η θεμελιώδης εξίσωση παίρνει την κομψότερη μορφή:

p = \frac{1}{3}\,ρ\,\overline{υ^2}

αφού $\dfrac{N\,m}{V} = ρ$ .

Σχέση πίεσης – μέσης κινητικής ενέργειας

Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας το δεύτερο μέλος της θεμελιώδους εξίσωσης με τον αριθμό $2$ , εμφανίζεται η μέση κινητική ενέργεια κάθε μορίου.

Πίεση και μέση κινητική ενέργεια (σχέση 3.5) ⭐

p = \frac{2}{3}\,\frac{N}{V}\left(\frac{1}{2}m\,\overline{υ^2}\right)

Ο όρος $\dfrac{1}{2}m\,\overline{υ^2} = \overline{E_κ}$ είναι η μέση μεταφορική κινητική ενέργεια ενός μορίου. Έτσι:

p = \frac{2}{3}\,\frac{N}{V}\,\overline{E_κ}

Η πίεση δηλαδή είναι ανάλογη της μέσης κινητικής ενέργειας των μορίων: όσο πιο γρήγορα κινούνται τα μόρια, τόσο πιο ισχυρά "χτυπούν" τα τοιχώματα και τόσο μεγαλύτερη είναι η πίεση.

Από την παραπάνω σχέση προκύπτει αμέσως (σχέση 3.6):

pV = \frac{2}{3}\,N\,\overline{E_κ}

Ερμηνεία της θερμοκρασίας

Για να ερμηνεύσουμε τη θερμοκρασία σε μικροσκοπικό επίπεδο, συνδυάζουμε την κινητική θεωρία με την καταστατική εξίσωση.

Η σταθερά του Boltzmann 🔬

Από την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων:

pV = nRT = \frac{N}{N_A}\,R\,T

όπου $N_A$ ο αριθμός Avogadro (αριθμός μορίων ανά mol). Το πηλίκο $\dfrac{R}{N_A}$ εμφανίζεται συχνά στην κινητική θεωρία, ονομάζεται σταθερά του Boltzmann και συμβολίζεται με $k$ :

k = \frac{R}{N_A} = 1{,}381 \times 10^{-23}\ \text{J/(μόριο⋅K)}

Έτσι η καταστατική εξίσωση γράφεται και ως (σχέση 3.7):

pV = N\,k\,T

Εξισώνουμε τώρα τα δεύτερα μέλη των σχέσεων $pV = \dfrac{2}{3}N\,\overline{E_κ}$ και $pV = N\,k\,T$ :

\frac{2}{3}\,N\,\overline{E_κ} = N\,k\,T

Απλοποιώντας το $N$ και λύνοντας ως προς $T$ προκύπτει η θεμελιώδης ερμηνεία της θερμοκρασίας:

T = \frac{2}{3}\,\frac{\overline{E_κ}}{k}

Θερμοκρασία και μέση κινητική ενέργεια (σχέση 3.8) ⭐

Η θερμοκρασία ενός αερίου είναι ανάλογη της μέσης μεταφορικής κινητικής ενέργειας των μορίων του:

\overline{E_κ} = \frac{1}{2}m\,\overline{υ^2} = \frac{3}{2}\,k\,T

Δηλαδή η θερμοκρασία είναι μέτρο της μέσης κινητικής ενέργειας των μορίων: όσο μεγαλύτερη η θερμοκρασία, τόσο μεγαλύτερη η μέση ενέργεια (και ταχύτητα) των μορίων.

Προσοχή στην ερμηνεία της θερμοκρασίας ⚠️

Η θερμοκρασία δεν εξαρτάται από το πλήθος των μορίων, ούτε από το είδος του αερίου, παρά μόνο από τη μέση κινητική ενέργεια ανά μόριο. Δύο διαφορετικά αέρια στην ίδια θερμοκρασία έχουν μόρια με την ίδια μέση μεταφορική κινητική ενέργεια $\overline{E_κ}$ (αλλά διαφορετικές ταχύτητες, αν διαφέρουν οι μάζες τους).

Ενεργός ταχύτητα

Ορισμός – ενεργός ταχύτητα (σχέση 3.9) 🚀

Η τετραγωνική ρίζα της μέσης τιμής των τετραγώνων των ταχυτήτων ονομάζεται ενεργός ταχύτητα και συμβολίζεται $υ_{εν}$ :

υ_{εν} = \sqrt{\overline{υ^2}}

Από τη σχέση $\dfrac{1}{2}m\,\overline{υ^2} = \dfrac{3}{2}kT$ λύνοντας ως προς $\overline{υ^2}$ και παίρνοντας ρίζα προκύπτει:

υ_{εν} = \sqrt{\overline{υ^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}

Ενεργός ταχύτητα με τη γραμμομοριακή μάζα 🧮

Πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή του υπόρριζου με τον αριθμό Avogadro $N_A$ και αξιοποιώντας ότι $k\,N_A = R$ και $N_A\,m = M$ (όπου $M$ η γραμμομοριακή μάζα), παίρνουμε την πρακτική μορφή:

υ_{εν} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}

Απόδειξη της θεμελιώδους εξίσωσης 🧮

Θα αποδείξουμε τη σχέση $p = \dfrac{1}{3}\dfrac{N}{V}m\,\overline{υ^2}$ εφαρμόζοντας τους νόμους της μηχανικής στις κρούσεις των μορίων με τα τοιχώματα.

Δεδομένα. Θεωρούμε κυβικό δοχείο ακμής $d$ , οπότε όγκος $V = d^3$ και εμβαδόν κάθε έδρας $A = d^2$ . Στο δοχείο περιέχεται πολύ μεγάλος αριθμός $N$ πανομοιότυπων μορίων, μάζας $m$ το καθένα. Τα τοιχώματα είναι τελείως άκαμπτα, έχουν πολύ μεγάλη μάζα και δεν μετακινούνται.

Στρατηγική. Από τον 2ο νόμο του Νεύτωνα $F = \dfrac{\Delta P}{\Delta t}$ (κεφαλαίο $P$ για την ορμή, μικρό $p$ για την πίεση). Αν υπολογίσουμε τον ρυθμό μεταβολής της ορμής όλων των μορίων πάνω σε μία έδρα, βρίσκουμε τη δύναμη που ασκείται σε αυτήν. Διαιρώντας με το εμβαδόν $A$ βρίσκουμε την πίεση.

Βήμα 1ο — Μεταβολή ορμής σε μία κρούση. Έστω μόριο που κινείται με ταχύτητα $\vec{υ}_1$ . Αναλύουμε την ταχύτητά του σε τρεις συνιστώσες $(υ_{1x}, υ_{1y}, υ_{1z})$ και εξετάζουμε το τοίχωμα που είναι κάθετο στη $υ_{1x}$ . Επειδή η κρούση είναι απολύτως ελαστική, το μόριο ανακλάται με ίδιο μέτρο ταχύτητας: οι $υ_{1y}, υ_{1z}$ δεν μεταβάλλονται, ενώ η $υ_{1x}$ αλλάζει μόνο φορά. Η μεταβολή της ορμής κατά μήκος του άξονα $x$ είναι:

\Delta P_{1x} = -m\,υ_{1x} - m\,υ_{1x} = -2m\,υ_{1x}

Βήμα 2ο — Χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικές κρούσεις. Για να ξαναχτυπήσει το ίδιο μόριο την ίδια έδρα, πρέπει να διανύσει την απόσταση $2d$ (πάει στην απέναντι έδρα και επιστρέφει) με συνιστώσα $υ_{1x}$ :

\Delta t = \frac{2d}{υ_{1x}}

άρα ο αριθμός των κρούσεων στη μονάδα του χρόνου σε αυτή την έδρα είναι $\dfrac{υ_{1x}}{2d}$ .

Βήμα 3ο — Ρυθμός μεταβολής της ορμής του μορίου. Πολλαπλασιάζοντας τη μεταβολή ορμής ανά κρούση επί τον αριθμό κρούσεων ανά μονάδα χρόνου:

\frac{\Delta P_{1x}}{\Delta t} = (-2m\,υ_{1x})\cdot\frac{υ_{1x}}{2d} = -\frac{m\,υ_{1x}^2}{d}

Βήμα 4ο — Δύναμη στο τοίχωμα. Η δύναμη που δέχεται το μόριο από το τοίχωμα είναι $F_{1x} = \dfrac{\Delta P_{1x}}{\Delta t} = -\dfrac{m\,υ_{1x}^2}{d}$ . Από την αρχή δράσης – αντίδρασης, η δύναμη που δέχεται το τοίχωμα από το μόριο είναι αντίθετη:

-F_{1x} = \frac{m\,υ_{1x}^2}{d}

Βήμα 5ο — Άθροισμα για όλα τα μόρια. Η συνολική δύναμη στο τοίχωμα είναι το άθροισμα των όρων όλων των $N$ μορίων:

\Sigma F_x = \frac{m}{d}\left(υ_{1x}^2 + υ_{2x}^2 + \dots + υ_{Nx}^2\right)

Η πίεση στην έδρα (με $A = d^2$ ) είναι:

p = \frac{\Sigma F_x}{A} = \frac{m}{d^3}\left(υ_{1x}^2 + υ_{2x}^2 + \dots + υ_{Nx}^2\right)

Βήμα 6ο — Εισαγωγή της μέσης τιμής (σχέση 3.10). Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με το πλήθος $N$ . Ο όρος $\dfrac{υ_{1x}^2 + \dots + υ_{Nx}^2}{N} = \overline{υ_x^2}$ είναι η μέση τιμή των τετραγώνων των $x$ -συνιστωσών:

p = \frac{N}{d^3}\,m\,\overline{υ_x^2}

Βήμα 7ο — Ισοκατανομή των διευθύνσεων. Τα μόρια κινούνται άτακτα, χωρίς προτίμηση κατεύθυνσης, επομένως:

\overline{υ_x^2} = \overline{υ_y^2} = \overline{υ_z^2}

Γενικά ισχύει $\overline{υ^2} = \overline{υ_x^2} + \overline{υ_y^2} + \overline{υ_z^2}$ , οπότε:

\overline{υ^2} = 3\,\overline{υ_x^2} \quad\Rightarrow\quad \overline{υ_x^2} = \frac{1}{3}\,\overline{υ^2}

Βήμα 8ο — Τελικό αποτέλεσμα. Αντικαθιστώντας στη σχέση του 6ου βήματος και θέτοντας $d^3 = V$ :

\boxed{\;p = \frac{1}{3}\,\frac{N}{V}\,m\,\overline{υ^2}\;}

Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. ✅

Η ουσία της απόδειξης 🔑

Ο παράγοντας $\dfrac{1}{3}$ δεν είναι αυθαίρετος: προκύπτει επειδή ο τρισδιάστατος χώρος έχει τρεις ισοδύναμες διευθύνσεις $(x, y, z)$ και, λόγω της άτακτης κίνησης, η ενέργεια μοιράζεται εξίσου στις τρεις. Μόνο η συνιστώσα κάθετα στην έδρα συνεισφέρει στην πίεση σε αυτήν.

Παρατηρήσεις

Παρατηρήσεις 📝

1. Μικροσκοπικό ↔ μακροσκοπικό. Η θεμελιώδης εξίσωση είναι η "γέφυρα" που συνδέει το αόρατο μικροσκοπικό μοντέλο (μόρια, ταχύτητες) με τα μετρήσιμα μακροσκοπικά μεγέθη (πίεση, θερμοκρασία).

2. Η μέση τιμή των τετραγώνων. Στις σχέσεις εμφανίζεται η $\overline{υ^2}$ (μέση τιμή των τετραγώνων) και όχι το τετράγωνο της μέσης ταχύτητας. Τα δύο μεγέθη είναι διαφορετικά⋅ γι' αυτό ορίζουμε την ενεργό ταχύτητα $υ_{εν} = \sqrt{\overline{υ^2}}$ .

3. Ίδια $\overline{E_κ}$ , διαφορετική $υ_{εν}$ . Σε δεδομένη θερμοκρασία όλα τα αέρια έχουν την ίδια μέση κινητική ενέργεια $\overline{E_κ} = \frac{3}{2}kT$ . Όμως, επειδή $υ_{εν} = \sqrt{3kT/m}$ , τα ελαφρύτερα μόρια (μικρό $m$ ) κινούνται γρηγορότερα.

4. Απόλυτο μηδέν. Από τη $\overline{E_κ} = \frac{3}{2}kT$ προκύπτει ότι για $T = 0\ \text{K}$ η μέση κινητική ενέργεια μηδενίζεται. Το απόλυτο μηδέν αντιστοιχεί στη θεωρητική παύση της μεταφορικής κίνησης των μορίων.

Προτάσεις – Πορίσματα 🎯

Πόρισμα 1 (αναλογία πίεσης – θερμοκρασίας). Συνδυάζοντας $p = \frac{2}{3}\frac{N}{V}\overline{E_κ}$ και $\overline{E_κ}=\frac{3}{2}kT$ προκύπτει ξανά η $pV = NkT$ : σε σταθερό όγκο, η πίεση είναι ανάλογη της απόλυτης θερμοκρασίας.

Πρόταση 2 (εξάρτηση της $υ_{εν}$ ). Η ενεργός ταχύτητα είναι ανάλογη της $\sqrt{T}$ και αντιστρόφως ανάλογη της $\sqrt{M}$ . Διπλασιασμός της θερμοκρασίας (σε K) αυξάνει την $υ_{εν}$ κατά παράγοντα $\sqrt{2}$ .

Πόρισμα 3 (ενέργεια αερίου). Η συνολική μεταφορική κινητική ενέργεια $N$ μορίων ιδανικού αερίου είναι $E = N\,\overline{E_κ} = \frac{3}{2}NkT = \frac{3}{2}nRT$ , δηλαδή εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία και την ποσότητα του αερίου.

Παράδειγμα – ενεργός ταχύτητα υδρογόνου 🧊

Για το υδρογόνο σε $θ = 27\ ^\circ\text{C}$ (δηλαδή $T = 300\ \text{K}$ ) με γραμμομοριακή μάζα $M = 2 \times 10^{-3}\ \text{kg/mol}$ :

υ_{εν} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \approx 1{,}93 \times 10^{3}\ \text{m/s}

Η ταχύτητα αυτή είναι πάρα πολύ μεγάλη — περίπου $6900\ \text{km/h}$ ! Δείχνει πόσο γρήγορα κινούνται τα μόρια ενός αερίου ακόμη και σε συνηθισμένη θερμοκρασία.