Καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων

Στο προηγούμενο κεφάλαιο μελετήσαμε τους τρεις νόμους των αερίων (Boyle, Charles, Gay-Lussac), καθένας από τους οποίους περιγράφει τη συμπεριφορά ενός αερίου όταν ένα από τα μεγέθη $P$ , $V$ , $T$ διατηρείται σταθερό. Από τον συνδυασμό αυτών των νόμων προκύπτει μια ενιαία σχέση που συνδέει ταυτόχρονα και τα τρία μεγέθη της κατάστασης ενός αερίου: η καταστατική εξίσωση.

Η καταστατική εξίσωση

Από τον συνδυασμό των νόμων των αερίων προκύπτει η εξίσωση:

PV = nRT

📐 Καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων

PV = nRT

όπου:
: $P$ : η πίεση του αερίου
: $V$ : ο όγκος του αερίου
: $n$ : ο αριθμός των mol (γραμμομορίων)
: $T$ : η απόλυτη θερμοκρασία (σε Kelvin)
: $R$ : η σταθερά των ιδανικών αερίων

Η εξίσωση αυτή ονομάζεται καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων, γιατί συνδέει τα μεγέθη που καθορίζουν την κατάσταση μιας ορισμένης ποσότητας αερίου. Γνωρίζοντας τρία από τα μεγέθη $P$ , $V$ , $T$ (και τον αριθμό των mol), μπορούμε πάντα να υπολογίσουμε το τέταρτο.

⚠️ Προσοχή στη θερμοκρασία

Στην καταστατική εξίσωση η θερμοκρασία $T$ πρέπει πάντα να εκφράζεται σε Kelvin (K), δηλαδή σε απόλυτη θερμοκρασία, ποτέ σε βαθμούς Κελσίου. Η μετατροπή γίνεται από τη σχέση $T(\mathrm{K}) = \theta({}^{\circ}\mathrm{C}) + 273$ .

Η σταθερά R των ιδανικών αερίων

Το $R$ ονομάζεται σταθερά των ιδανικών αερίων. Η τιμή της εξαρτάται από τις μονάδες των $P$ , $V$ , $T$ που χρησιμοποιούμε.

🔢 Τιμές της σταθεράς R

Στο σύστημα SI, όπου μονάδα πίεσης είναι το $\mathrm{N/m^2}$ και μονάδα όγκου το $\mathrm{m^3}$ :

R = 8{,}314 \ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol \cdot K}}

Όταν η πίεση μετριέται σε ατμόσφαιρες (atm) και ο όγκος σε λίτρα (L):

R = 0{,}082 \ \dfrac{\mathrm{L \cdot atm}}{\mathrm{mol \cdot K}}

⚠️ Συμβατότητα μονάδων

Πρέπει η τιμή της $R$ που επιλέγουμε να είναι συμβατή με τις μονάδες των υπόλοιπων μεγεθών. Αν δουλεύουμε σε atm και L, χρησιμοποιούμε $R = 0{,}082 \ \mathrm{L \cdot atm/(mol \cdot K)}$ . Αν δουλεύουμε σε SI ( $\mathrm{N/m^2}$ και $\mathrm{m^3}$ ), χρησιμοποιούμε $R = 8{,}314 \ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ .

Ο αριθμός των mol

Ο αριθμός των mol $n$ ενός αερίου εκφράζει την ποσότητα της ύλης που περιέχει. Βρίσκεται από το πηλίκο της ολικής μάζας $m_{\text{ολ}}$ του αερίου προς τη γραμμομοριακή του μάζα $M$ (μοριακή μάζα).

⚖️ Αριθμός mol

n = \dfrac{m_{\text{ολ}}}{M}

όπου:
: $m_{\text{ολ}}$ : η συνολική (ολική) μάζα του αερίου
: $M$ : η γραμμομοριακή (μοριακή) μάζα, δηλαδή η μάζα ενός mol

Ισοδύναμα, ο αριθμός των mol συνδέεται με το πλήθος $N$ των μορίων του αερίου και τον αριθμό Avogadro $N_A$ :

n = \dfrac{N}{N_A}

όπου $N_A = 6{,}022 \times 10^{23} \ \mathrm{mol^{-1}}$ είναι ο αριθμός των μορίων που περιέχει ένα mol οποιασδήποτε ουσίας.

Άλλες μορφές της καταστατικής εξίσωσης

Η βασική σχέση $PV = nRT$ μπορεί, με κατάλληλες αντικαταστάσεις, να γραφεί σε χρήσιμες ισοδύναμες μορφές.

Μορφή με τη μάζα

Αντικαθιστώντας το $n = \dfrac{m_{\text{ολ}}}{M}$ στην καταστατική εξίσωση, παίρνουμε:

PV = \dfrac{m_{\text{ολ}}}{M} \, RT

Μορφή με την πυκνότητα

Το πηλίκο της συνολικής μάζας του αερίου προς τον όγκο του δίνει την πυκνότητά του:

\rho = \dfrac{m_{\text{ολ}}}{V}

Έτσι, η καταστατική εξίσωση μπορεί να πάρει τη μορφή:

P = \dfrac{\rho}{M} \, RT

🌫️ Πυκνότητα ιδανικού αερίου

P = \dfrac{\rho \, R T}{M} \qquad \Leftrightarrow \qquad \rho = \dfrac{P M}{R T}

Η σχέση αυτή δείχνει ότι η πυκνότητα ενός ιδανικού αερίου είναι ανάλογη της πίεσης και της γραμμομοριακής μάζας, και αντιστρόφως ανάλογη της απόλυτης θερμοκρασίας.

Μακροσκοπικός ορισμός του ιδανικού αερίου

Η καταστατική εξίσωση μάς δίνει έναν απλό μακροσκοπικό ορισμό του ιδανικού αερίου.

💡 Ορισμός του ιδανικού αερίου

Ιδανικό αέριο είναι το αέριο για το οποίο ισχύει η καταστατική εξίσωση $PV = nRT$ ακριβώς, σε όλες τις πιέσεις και θερμοκρασίες.

Στη συνέχεια, όπου αναφερόμαστε σε αέρια, θα θεωρούμε ότι οι συνθήκες είναι τέτοιες ώστε η καταστατική εξίσωση να ισχύει χωρίς αποκλίσεις.

🔍 Πραγματικά αέρια

Κανένα πραγματικό αέριο δεν είναι απολύτως ιδανικό. Όμως τα πραγματικά αέρια συμπεριφέρονται με πολύ καλή προσέγγιση ως ιδανικά όταν βρίσκονται σε χαμηλές πιέσεις και σε θερμοκρασίες αρκετά υψηλότερες από τη θερμοκρασία υγροποίησής τους.

Γραμμομοριακός όγκος και συνθήκες STP

Από την καταστατική εξίσωση προκύπτει ότι ίσοι αριθμοί mol οποιουδήποτε ιδανικού αερίου, στην ίδια πίεση και θερμοκρασία, καταλαμβάνουν τον ίδιο όγκο (νόμος του Avogadro). Ο όγκος που καταλαμβάνει ένα mol αερίου ονομάζεται γραμμομοριακός όγκος.

Ιδιαίτερη σημασία έχουν οι κανονικές συνθήκες (συνθήκες STP — Standard Temperature and Pressure):

🌡️ Κανονικές συνθήκες (STP)

: Πίεση: $P = 1 \ \mathrm{atm} = 1{,}013 \times 10^{5} \ \mathrm{N/m^2}$
: Θερμοκρασία: $T = 273 \ \mathrm{K}$ (δηλαδή $0 \ {}^{\circ}\mathrm{C}$ )

Εφαρμόζοντας την καταστατική εξίσωση για $n = 1 \ \mathrm{mol}$ στις συνθήκες αυτές, ο γραμμομοριακός όγκος προκύπτει:

V = \dfrac{nRT}{P} = \dfrac{1 \ \mathrm{mol} \cdot 0{,}082 \ \frac{\mathrm{L \cdot atm}}{\mathrm{mol \cdot K}} \cdot 273 \ \mathrm{K}}{1 \ \mathrm{atm}} \approx 22{,}4 \ \mathrm{L}

📦 Γραμμομοριακός όγκος σε STP

Σε κανονικές συνθήκες (STP), ένα mol οποιουδήποτε ιδανικού αερίου καταλαμβάνει όγκο:

V_m \approx 22{,}4 \ \mathrm{L} = 22{,}4 \times 10^{-3} \ \mathrm{m^3}

Παρατηρήσεις και Προτάσεις

📝 Παρατήρηση 1 — Σταθερή ποσότητα αερίου

Όταν η ποσότητα του αερίου παραμένει σταθερή ( $n =$ σταθ.), τότε το $nR$ είναι σταθερό και η καταστατική εξίσωση δίνει:

\dfrac{PV}{T} = nR = \text{σταθ.} \qquad \Rightarrow \qquad \dfrac{P_1 V_1}{T_1} = \dfrac{P_2 V_2}{T_2}

Αυτή είναι η γενική εξίσωση που συνδέει δύο καταστάσεις της ίδιας μάζας αερίου, και από αυτήν προκύπτουν ως ειδικές περιπτώσεις οι τρεις νόμοι των αερίων.

📝 Παρατήρηση 2 — Αναγωγή στους τρεις νόμους

Από τη σχέση $\dfrac{P_1 V_1}{T_1} = \dfrac{P_2 V_2}{T_2}$ :
: Αν $T =$ σταθ. $\Rightarrow$ $P_1 V_1 = P_2 V_2$ (νόμος Boyle — ισόθερμη)
: Αν $P =$ σταθ. $\Rightarrow$ $\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$ (νόμος Charles — ισοβαρής)
: Αν $V =$ σταθ. $\Rightarrow$ $\dfrac{P_1}{T_1} = \dfrac{P_2}{T_2}$ (νόμος Gay-Lussac — ισόχωρη)

📝 Παρατήρηση 3 — Ανεξαρτησία από το είδος του αερίου

Η καταστατική εξίσωση $PV = nRT$ έχει την ίδια ακριβώς μορφή για όλα τα ιδανικά αέρια. Η σταθερά $R$ είναι παγκόσμια (universal) — δεν εξαρτάται από το είδος του αερίου. Ο,τιδήποτε διαφοροποιεί τα αέρια (π.χ. η μάζα των μορίων τους) υπεισέρχεται μόνο μέσω της γραμμομοριακής μάζας $M$ στις σχέσεις με τη μάζα ή την πυκνότητα.

🎯 Πρόταση — Μεθοδολογία επίλυσης

Για την επίλυση προβλημάτων:
: Αν δίνεται μία κατάσταση του αερίου (γνωστά τα $P$ , $V$ , $T$ ή $n$ ), εφαρμόζουμε απευθείας την $PV = nRT$ .
: Αν το αέριο μεταβαίνει από μια κατάσταση σε άλλη με σταθερή ποσότητα, χρησιμοποιούμε τη $\dfrac{P_1 V_1}{T_1} = \dfrac{P_2 V_2}{T_2}$ ή τον αντίστοιχο ειδικό νόμο.
: Πάντα μετατρέπουμε τη θερμοκρασία σε Kelvin και ελέγχουμε ότι οι μονάδες είναι συμβατές με την τιμή της $R$ .