Ομαλή κυκλική κίνηση

Ένα κινητό κάνει κυκλική κίνηση όταν η τροχιά που διαγράφει είναι περιφέρεια κύκλου. Η πιο απλή από τις κυκλικές κινήσεις είναι η ομαλή κυκλική κίνηση.

📐 Ορισμός — Ομαλή κυκλική κίνηση

Ομαλή χαρακτηρίζεται η κυκλική κίνηση ενός κινητού, όταν η τιμή (το μέτρο) της ταχύτητάς του παραμένει σταθερή.

⚠️ Προσοχή: σταθερό μέτρο, όχι σταθερή ταχύτητα

Στην ομαλή κυκλική κίνηση σταθερό παραμένει μόνο το μέτρο της ταχύτητας. Η κατεύθυνση της ταχύτητας μεταβάλλεται συνεχώς, αφού κάθε στιγμή η ταχύτητα είναι εφαπτόμενη στην τροχιά. Επομένως το διάνυσμα της ταχύτητας μεταβάλλεται, και γι' αυτό η κίνηση δεν είναι ομαλή με την έννοια της ευθύγραμμης ομαλής, αλλά εμφανίζει επιτάχυνση (βλ. κεντρομόλος επιτάχυνση).

Περίοδος και συχνότητα

🕒 Ορισμός — Περίοδος Τ

Ο χρόνος που χρειάζεται το κινητό για να κάνει μία πλήρη περιφορά λέγεται περίοδος της κυκλικής κίνησης και συμβολίζεται με $Τ$ .

Μονάδα: $1\,s$ (δευτερόλεπτο).

🔁 Ορισμός — Συχνότητα f

Ο αριθμός των περιφορών που εκτελεί το κινητό στη μονάδα του χρόνου λέγεται συχνότητα της κυκλικής κίνησης και συμβολίζεται με $f$ .

Από τον ορισμό της συχνότητας προκύπτει ότι η περίοδος και η συχνότητα συνδέονται με τη σχέση:

f = \dfrac{1}{Τ}

📏 Μονάδα συχνότητας

Μονάδα της συχνότητας είναι ο κύκλος ανά δευτερόλεπτο $(c/s)$ που λέγεται $1\,Hz$ (Χερτζ).

Πολλαπλάσια της μονάδας:

1\,kHz = 10^{3}\,Hz,\quad 1\,MHz = 10^{6}\,Hz,\quad 1\,GHz = 10^{9}\,Hz

🔄 Παρατήρηση — Περιοδική κίνηση

Η ομαλή κυκλική κίνηση εντάσσεται στην κατηγορία των περιοδικών κινήσεων. Χαρακτηριστικό μιας τέτοιας κίνησης είναι ότι επαναλαμβάνεται η ίδια στον ίδιο πάντα χρόνο, που λέγεται περίοδος $Τ$ . Τέτοια κίνηση κάνει το άκρο του λεπτοδείκτη ενός ρολογιού, ένα σημείο ενός περιστρεφόμενου δίσκου κ.ά.

Γραμμική ταχύτητα $υ$

Σύμφωνα με τον ορισμό της ομαλής κυκλικής κίνησης, η τιμή της ταχύτητας του κινητού παραμένει σταθερή, ενώ η κατεύθυνσή της μεταβάλλεται συνεχώς (κάθε στιγμή είναι εφαπτόμενη στην τροχιά). Άρα τα διανυόμενα τόξα είναι ανάλογα των χρόνων στους οποίους διανύονται:

s = υ \cdot t

Επομένως το μέτρο της ταχύτητάς του, που ονομάζεται γραμμική ταχύτητα, είναι:

υ = \dfrac{s}{t}

🚗 Ορισμός — Γραμμική ταχύτητα

Γραμμική ταχύτητα είναι το μέτρο της ταχύτητας με την οποία το κινητό διανύει το τόξο της τροχιάς του. Είναι κάθε στιγμή εφαπτόμενη στην κυκλική τροχιά.

Αν στον τύπο $υ = \dfrac{s}{t}$ θέσουμε $t = Τ$ (μία πλήρης περιφορά), τότε το τόξο που διανύει το κινητό έχει μήκος $s = 2 \cdot π \cdot R$ (το μήκος της περιφέρειας της κυκλικής τροχιάς), οπότε:

υ = \dfrac{2 \cdot π \cdot R}{Τ}

🧭 Παρατήρηση — Προσδιορισμός της θέσης

Η θέση του κινητού πάνω στην τροχιά μπορεί να προσδιοριστεί με δύο ισοδύναμους τρόπους:

Με τη μέτρηση του μήκους του τόξου $Δs$ που διανύει $\big(Δs = υ \cdot Δt\big)$ .
Με τη μέτρηση της επίκεντρης γωνίας $Δθ$ που διαγράφει η επιβατική ακτίνα.

Όταν το κινητό διανύσει τόξο μήκους $Δs$ , η επιβατική ακτίνα διαγράφει γωνία $Δθ$ . Δείτε το σχήμα της Εικόνας 1-6 στο βιβλίο.

Γωνιακή ταχύτητα $ω$

Θεωρούμε έναν δίσκο που περιστρέφεται, με τα σημεία του να κάνουν ομαλή κυκλική κίνηση. Έστω τρία σημεία $Α$ , $Β$ , $Γ$ πάνω στην ίδια ακτίνα. Σε ένα μικρό χρονικό διάστημα τα τρία σημεία διαγράφουν την ίδια γωνία $θ$ , όμως τα μήκη των αντίστοιχων τόξων $ΑΑ'$ , $ΒΒ'$ , $ΓΓ'$ είναι διαφορετικά μεταξύ τους — άρα οι γραμμικές τους ταχύτητες διαφέρουν (Εικόνα 1-7 στο βιβλίο).

Επομένως, εκτός από τη γραμμική ταχύτητα (ρυθμός διάνυσης διαστημάτων), χρειαζόμαστε ένα μέγεθος που δείχνει με τι ρυθμό η επιβατική ακτίνα διαγράφει γωνίες: τη γωνιακή ταχύτητα $ω$ .

🌀 Ορισμός — Γωνιακή ταχύτητα

Γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση ονομάζουμε ένα διανυσματικό μέγεθος του οποίου:

Η τιμή είναι ίση με το σταθερό πηλίκο της γωνίας $θ$ που διαγράφηκε από την επιβατική ακτίνα προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα $t$ :

ω = \dfrac{θ}{t}

Η διεύθυνση είναι κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς.
Η φορά καθορίζεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού: το διάνυσμα $\vec{ω}$ έχει τη φορά του αντίχειρα του δεξιού χεριού, όταν η φορά περιστροφής του κινητού συμπίπτει με τη φορά των υπόλοιπων δακτύλων.

Σε χρόνο μίας περιόδου $Τ$ η επιβατική ακτίνα διαγράφει γωνία $2 \cdot π\ \text{rad}$ . Άρα η σχέση $ω = \dfrac{θ}{t}$ γράφεται:

ω = \dfrac{2 \cdot π}{Τ}

Επειδή $\dfrac{1}{Τ} = f$ , προκύπτει επίσης:

ω = 2 \cdot π \cdot f

📏 Μονάδα γωνιακής ταχύτητας

Σύμφωνα με τη σχέση $ω = \dfrac{θ}{t}$ , μονάδα της γωνιακής ταχύτητας είναι το ακτίνιο ανά δευτερόλεπτο $(1\,rad/s)$ .

Σχέση γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας

🧮 Απόδειξη — υ = ω · R

Στη σχέση $υ = \dfrac{2 \cdot π \cdot R}{Τ}$ αντικαθιστούμε το πηλίκο $\dfrac{2 \cdot π}{Τ}$ με το $ω$ , αφού $ω = \dfrac{2 \cdot π}{Τ}$ . Προκύπτει:

υ = ω \cdot R

Η σχέση αυτή συνδέει τη γραμμική ταχύτητα με τη γωνιακή ταχύτητα και την ακτίνα της τροχιάς.

💡 Πρόταση — Σημεία περιστρεφόμενου δίσκου

Όλα τα σημεία ενός περιστρεφόμενου δίσκου έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα $ω$ , αλλά διαφορετικές γραμμικές ταχύτητες $υ$ . Η τιμή της γραμμικής ταχύτητας κάθε σημείου είναι ανάλογη με την απόστασή του $R$ από τον άξονα (κέντρο) περιστροφής. Όσο μεγαλύτερη η απόσταση από το κέντρο, τόσο μεγαλύτερη η γραμμική ταχύτητα.

Κεντρομόλος επιτάχυνση $α_κ$

Στην ομαλή κυκλική κίνηση η τιμή της ταχύτητας είναι σταθερή, όμως η διεύθυνση και η φορά της αλλάζουν συνεχώς. Άρα το διάνυσμα της ταχύτητας μεταβάλλεται, με αποτέλεσμα να εμφανίζεται επιτάχυνση που έχει κατεύθυνση προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. Η επιτάχυνση αυτή λέγεται κεντρομόλος επιτάχυνση $α_κ$ .

🎯 Ορισμός — Κεντρομόλος επιτάχυνση

Αποδεικνύεται ότι το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης δίνεται από τη σχέση:

α_κ = \dfrac{υ^{2}}{R}

Η κατεύθυνσή της είναι πάντα προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς (κάθετη στην ταχύτητα).

⚠️ Γιατί υπάρχει επιτάχυνση παρότι το μέτρο της υ είναι σταθερό;

Η επιτάχυνση οφείλεται στη συνεχή αλλαγή της κατεύθυνσης της ταχύτητας, όχι στην αλλαγή του μέτρου της. Επειδή η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος, η αλλαγή της κατεύθυνσής της σημαίνει μεταβολή του διανύσματος, άρα ύπαρξη επιτάχυνσης.

🧮 Πόρισμα — Εναλλακτικές εκφράσεις της α_κ

Ξεκινώντας από τη σχέση $α_κ = \dfrac{υ^{2}}{R}$ και χρησιμοποιώντας τη σχέση $υ = ω \cdot R$ , μπορούμε να εκφράσουμε την κεντρομόλο επιτάχυνση συναρτήσει της γωνιακής ταχύτητας:

α_κ = \dfrac{υ^{2}}{R} = \dfrac{(ω \cdot R)^{2}}{R} = ω^{2} \cdot R

Συνδυάζοντας και με $ω = \dfrac{2 \cdot π}{Τ} = 2 \cdot π \cdot f$ , προκύπτουν ακόμη:

α_κ = \dfrac{4 \cdot π^{2}}{Τ^{2}} \cdot R = 4 \cdot π^{2} \cdot f^{2} \cdot R

Συγκεντρωτικός πίνακας τύπων

Μέγεθος	Σχέση	Μονάδα (S.I.)
Συχνότητα – Περίοδος	$f = \dfrac{1}{Τ}$	$Hz$
Γραμμική ταχύτητα	$υ = \dfrac{s}{t} = \dfrac{2 \cdot π \cdot R}{Τ}$	$m/s$
Γωνιακή ταχύτητα	$ω = \dfrac{θ}{t} = \dfrac{2 \cdot π}{Τ} = 2 \cdot π \cdot f$	$rad/s$
Σχέση $υ$ – $ω$	$υ = ω \cdot R$	—
Κεντρομόλος επιτάχυνση	$α_κ = \dfrac{υ^{2}}{R} = ω^{2} \cdot R$	$m/s^{2}$

✅ Παράδειγμα εφαρμογής

Το άκρο $Α$ πτερυγίου ανεμιστήρα στρέφεται με $υ = 15\,m/s$ και ακτίνα $R = 60\,cm = 0{,}6\,m$ .

Περίοδος: από $υ = \dfrac{2 \cdot π \cdot R}{Τ}$ λύνουμε ως προς $Τ$ :

Τ = \dfrac{2 \cdot π \cdot R}{υ} = 0{,}25\,s

Συχνότητα: $f = \dfrac{1}{Τ} = \dfrac{1}{0{,}25\,s} = 4\,Hz$ .
Γωνιακή ταχύτητα: $ω = 2 \cdot π \cdot f = 6{,}28 \cdot 4 = 25{,}12\,rad/s$ .
Μήκος τόξου σε $t = 0{,}01\,s$ : $s = υ \cdot t = 15 \cdot 0{,}01 = 0{,}15\,m$ .