Οριζόντια βολή 🎯

Η οριζόντια βολή είναι μία από τις πιο χαρακτηριστικές καμπυλόγραμμες κινήσεις. Συναντάμε τέτοιες κινήσεις παντού: σε μία μπάλα που κυλάει και πέφτει από ένα τραπέζι, σε μία πέτρα που εκτοξεύεται οριζόντια από έναν γκρεμό, ακόμα και σε μία βόμβα που απελευθερώνεται από ένα αεροπλάνο. Σε αυτή την ενότητα θα δούμε πώς μπορούμε να μελετήσουμε αυτή τη φαινομενικά πολύπλοκη κίνηση αναλύοντάς την σε δύο απλές, γνώριμες κινήσεις.

Πειραματική παρατήρηση: η αφετηρία της μελέτης 🔬

Ας ξεκινήσουμε από ένα απλό πείραμα. Από ένα ύψος αφήνουμε να πέσει ελεύθερα, ξεκινώντας από την ηρεμία, ένα αντικείμενο Α. Από το ίδιο ύψος και την ίδια στιγμή, ένα δεύτερο αντικείμενο Β δέχεται μία ώθηση προς τα δεξιά, που του προσδίδει μία οριζόντια ταχύτητα. Φωτογραφίζοντας την κίνηση των δύο αντικειμένων, παρατηρούμε δύο εξαιρετικά σημαντικά πράγματα:

Τι δείχνει το πείραμα 📸

Κατακόρυφη διεύθυνση: Τις ίδιες χρονικές στιγμές, τα αντικείμενα Α και Β βρίσκονται στο ίδιο ύψος, δηλαδή έχουν διανύσει την ίδια κατακόρυφη απόσταση. Άρα η κατακόρυφη κίνηση του Β είναι ακριβώς ίδια με την ελεύθερη πτώση του Α.
Οριζόντια διεύθυνση: Το αντικείμενο Β διανύει ίσα οριζόντια διαστήματα σε ίσους χρόνους. Άρα η οριζόντια κίνηση του Β είναι ευθύγραμμη ομαλή.

Η κίνηση που εκτελεί το αντικείμενο Β ονομάζεται οριζόντια βολή.

Ορισμός: Οριζόντια βολή 📌

Οριζόντια βολή ονομάζεται η κίνηση ενός σώματος που βάλλεται με οριζόντια αρχική ταχύτητα και κινείται μόνο υπό την επίδραση του βάρους του (αγνοώντας την αντίσταση του αέρα).

Είναι σύνθετη κίνηση που αποτελείται από δύο απλές κινήσεις:

μία κατακόρυφη, που είναι ελεύθερη πτώση, και
μία οριζόντια, που είναι ευθύγραμμη ομαλή.

Οι δύο κινήσεις εξελίσσονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο, το οποίο ορίζεται από την αρχική ταχύτητα του σώματος.

📖 Για τις χρονοφωτογραφίες της ελεύθερης πτώσης (α) και της οριζόντιας βολής (β), καθώς και για το σύστημα αξόνων που χρησιμοποιούμε, ανατρέξτε στις εικόνες 1-1 και 1-2 του σχολικού βιβλίου.

Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων ⚖️

Το κλειδί για να μελετήσουμε κάθε σύνθετη κίνηση —και άρα και την οριζόντια βολή— είναι μία θεμελιώδης αρχή. Όπως φάνηκε από το πείραμα, η οριζόντια κίνηση του Β δεν επηρεάζει καθόλου την κατακόρυφη πτώση του: τα δύο αντικείμενα Α και Β φτάνουν ταυτόχρονα στο έδαφος. Αυτό σημαίνει ότι η κάθε επιμέρους κίνηση εξελίσσεται σαν να μην υπάρχει η άλλη.

Αρχή ανεξαρτησίας (ή αρχή της επαλληλίας) των κινήσεων 🧩

«Όταν ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες κινήσεις, κάθε μία απ' αυτές εκτελείται εντελώς ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες και η θέση στην οποία φτάνει το κινητό μετά από χρόνο $t$ , είναι η ίδια είτε οι κινήσεις εκτελούνται ταυτόχρονα, είτε εκτελούνται διαδοχικά, σε χρόνο $t$ κάθε μία.»

Πρακτικά, αυτό σημαίνει ότι για να βρούμε την ταχύτητα και τη μετατόπιση του σώματος μετά από χρόνο $t$ , γράφουμε το διανυσματικό άθροισμα των ταχυτήτων ή των μετατοπίσεων αντίστοιχα, που θα είχε το κινητό αν εκτελούσε κάθε μία κίνηση ανεξάρτητα και επί χρόνο $t$ . Δηλαδή:

\vec{υ} = \vec{υ}_1 + \vec{υ}_2 \qquad \text{και} \qquad \vec{x} = \vec{x}_1 + \vec{x}_2

Γιατί η αρχή αυτή είναι τόσο χρήσιμη; 💡

Μας επιτρέπει να «σπάσουμε» μία δύσκολη, καμπυλόγραμμη κίνηση σε δύο απλές κινήσεις που ήδη γνωρίζουμε καλά. Αρκεί να μελετήσουμε ξεχωριστά την κίνηση σε κάθε άξονα και στο τέλος να συνθέσουμε (διανυσματικά) τα αποτελέσματα.

Μελέτη της οριζόντιας βολής με ανάλυση σε άξονες 📐

Ας επανέλθουμε στο αρχικό παράδειγμα. Έστω ότι το αντικείμενο Β βάλλεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα $υ_0$ από ύψος $h$ πάνω από το έδαφος. Επιλέγουμε ένα σύστημα αξόνων $Ox$ (οριζόντιος) και $Oy$ (κατακόρυφος, με θετική φορά προς τα κάτω), με αρχή $O$ το σημείο εκτόξευσης, και εφαρμόζουμε την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων.

Άξονας $Ox$ : ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ➡️

Στον οριζόντιο άξονα δεν ασκείται καμία δύναμη (αγνοούμε την αντίσταση του αέρα), οπότε η ταχύτητα παραμένει σταθερή και ίση με την αρχική $υ_0$ . Η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή:

υ_x = υ_0

x = υ_0 \cdot t

Άξονας $Oy$ : ελεύθερη πτώση ⬇️

Στον κατακόρυφο άξονα δρα μόνο το βάρος, άρα η κίνηση είναι ελεύθερη πτώση: ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη, χωρίς αρχική ταχύτητα, με επιτάχυνση $\vec{g}$ . Οι εξισώσεις είναι:

υ_y = g \cdot t

y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2

Προσοχή! ⚠️

Η αρχική κατακόρυφη ταχύτητα στην οριζόντια βολή είναι μηδέν ( $υ_{0y} = 0$ ). Όλη η αρχική ταχύτητα $υ_0$ είναι οριζόντια. Γι' αυτό η κατακόρυφη κίνηση είναι ελεύθερη πτώση και όχι απλώς επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα.

Η συνολική (στιγμιαία) ταχύτητα 🧭

Κάθε στιγμή, η πραγματική ταχύτητα του σώματος είναι το διανυσματικό άθροισμα των δύο συνιστωσών:

\vec{υ} = \vec{υ}_x + \vec{υ}_y

Επειδή οι δύο συνιστώσες είναι κάθετες μεταξύ τους, το μέτρο της ταχύτητας προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα:

υ = \sqrt{υ_x^2 + υ_y^2} = \sqrt{υ_0^2 + (g\,t)^2}

Παρατήρηση: η διεύθυνση της ταχύτητας 🔎

Η ταχύτητα $\vec{υ}$ είναι κάθε στιγμή εφαπτόμενη στην τροχιά του σώματος. Αν $θ$ είναι η γωνία που σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα, τότε:

εφθ = \frac{υ_y}{υ_x} = \frac{g\,t}{υ_0}

Καθώς ο χρόνος αυξάνεται, το $υ_y$ μεγαλώνει ενώ το $υ_x$ μένει σταθερό, άρα η ταχύτητα γίνεται όλο και πιο απότομη (κατακόρυφη). Η τροχιά του σώματος είναι τμήμα παραβολής.

Χρόνος πτώσης ⏱️

Το σώμα φτάνει στο έδαφος όταν η κατακόρυφη απόσταση που έχει διανύσει γίνει ίση με το ύψος, δηλαδή όταν $y = h$ . Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της κατακόρυφης κίνησης:

h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2

Λύνοντας ως προς τον χρόνο, βρίσκουμε τον χρόνο πτώσης (ή χρόνο κίνησης) του σώματος:

t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}

Πόρισμα: ο χρόνος πτώσης δεν εξαρτάται από την αρχική ταχύτητα! 🤯

Παρατηρήστε ότι στον τύπο $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ δεν εμφανίζεται καθόλου η αρχική ταχύτητα $υ_0$ . Ο χρόνος πτώσης εξαρτάται μόνο από το ύψος $h$ και την επιτάχυνση της βαρύτητας $g$ .

Αυτό εξηγεί ακριβώς το πειραματικό αποτέλεσμα: το αντικείμενο Α (ελεύθερη πτώση) και το αντικείμενο Β (οριζόντια βολή) φτάνουν ταυτόχρονα στο έδαφος, αφού ξεκίνησαν από το ίδιο ύψος — όσο μεγάλη κι αν είναι η οριζόντια ταχύτητα του Β.

Βεληνεκές (οριζόντια απόσταση) 🏹

Στον χρόνο πτώσης $t$ , το σώμα διανύει στον οριζόντιο άξονα μία απόσταση που ονομάζεται βεληνεκές της βολής. Αφού η οριζόντια κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή:

x = υ_0 \cdot t

Αντικαθιστώντας τον χρόνο πτώσης $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ , παίρνουμε το βεληνεκές απευθείας συναρτήσει των δεδομένων $υ_0$ , $h$ και $g$ :

x = υ_0 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}

Παρατήρηση: από τι εξαρτάται το βεληνεκές; 📏

Σε αντίθεση με τον χρόνο πτώσης, το βεληνεκές εξαρτάται από την αρχική ταχύτητα: όσο μεγαλύτερη είναι η $υ_0$ , τόσο πιο μακριά φτάνει το σώμα. Εξαρτάται επίσης από το ύψος $h$ (μεγαλύτερο ύψος → περισσότερος χρόνος στον αέρα → μεγαλύτερο βεληνεκές).

Μια χρήσιμη οπτική: ταυτόχρονα ή διαδοχικά; 🔄

Χάρη στην αρχή της ανεξαρτησίας, μπορούμε να φανταστούμε ότι οι δύο κινήσεις του σώματος εκτελούνται είτε ταυτόχρονα είτε διαδοχικά — το τελικό σημείο είναι το ίδιο. Κάθε μία κίνηση διαρκεί τον ίδιο χρόνο:

t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}

Δηλαδή, η οριζόντια ευθύγραμμη ομαλή κίνηση διαρκεί όσο ακριβώς διαρκεί και η ελεύθερη πτώση.

Συγκεντρωτικός πίνακας εξισώσεων 🗂️

Μέγεθος	Άξονας $Ox$ (ευθ. ομαλή)	Άξονας $Oy$ (ελεύθ. πτώση)
Ταχύτητα	$υ_x = υ_0$	$υ_y = g \cdot t$
Θέση / μετατόπιση	$x = υ_0 \cdot t$	$y = \dfrac{1}{2} g t^2$
Επιτάχυνση	$α_x = 0$	$α_y = g$

Μέγεθος	Τύπος
Μέτρο ταχύτητας	$υ = \sqrt{υ_0^2 + (g t)^2}$
Χρόνος πτώσης	$t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$
Βεληνεκές	$x = υ_0 \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$

Εφαρμογή: το βομβαρδιστικό αεροπλάνο ✈️💣

Ας θεωρήσουμε ένα βομβαρδιστικό αεροπλάνο που κινείται σε ύψος $h$ από το έδαφος με οριζόντια ταχύτητα $υ_0$ . Μια βόμβα βρίσκεται μέσα στο αεροπλάνο, άρα τη στιγμή που αφήνεται να πέσει έχει την ίδια ταχύτητα με το αεροπλάνο. Ποιους παράγοντες πρέπει να λάβει υπόψη ο πιλότος ώστε η βόμβα να χτυπήσει τον στόχο; (Υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει αντίσταση του αέρα.)

Οι καθοριστικοί παράγοντες είναι: το ύψος $h$ στο οποίο πετά το αεροπλάνο, η ταχύτητά του $υ_0$ και η οριζόντια απόστασή του από τον στόχο τη στιγμή που απελευθερώνει τη βόμβα.

Κατακόρυφος άξονας: Η κίνηση της βόμβας είναι ελεύθερη πτώση, οπότε:

h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \quad\Rightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2h}{g}}

Σε αυτή την εξίσωση ο μοναδικός άγνωστος είναι ο χρόνος $t$ κίνησης της βόμβας, άρα μπορεί να προσδιοριστεί.

Οριζόντιος άξονας: Η βόμβα κινείται ευθύγραμμα ομαλά επί χρόνο $t$ (όσο διαρκεί η πτώση της), οπότε η οριζόντια απόσταση που διανύει είναι:

s = υ_0 \cdot t

όπου $υ_0$ είναι η οριζόντια ταχύτητα της βόμβας, ίση με την ταχύτητα του αεροπλάνου τη στιγμή της απελευθέρωσης.

Συμπέρασμα του παραδείγματος ✅

Για να χτυπήσει η βόμβα τον στόχο, το αεροπλάνο πρέπει να την απελευθερώσει όταν απέχει οριζόντια από αυτόν απόσταση:

s = υ_0 \cdot t = υ_0 \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}

Παρατήρηση: πού βρίσκεται το αεροπλάνο τη στιγμή της πρόσκρουσης; 🛩️

Τη χρονική στιγμή που η βόμβα βρίσκει τον στόχο, το αεροπλάνο βρίσκεται ακριβώς στην ίδια κατακόρυφη με τη βόμβα! Αυτό συμβαίνει επειδή αεροπλάνο και βόμβα έχουν την ίδια οριζόντια ταχύτητα $υ_0$ , άρα μετατοπίζονται το ίδιο στην οριζόντια διεύθυνση στον ίδιο χρόνο. Είναι ένα ακόμα όμορφο αποτέλεσμα της αρχής της ανεξαρτησίας των κινήσεων.