Δυναμικό - Διαφορά δυναμικού ⚡

Στην προηγούμενη ενότητα γνωρίσαμε τη δυναμική ενέργεια ενός φορτίου μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο. Όμως η δυναμική ενέργεια εξαρτάται από το ποιο φορτίο τοποθετούμε σε κάθε σημείο. Σε αυτή την ενότητα θα εισαγάγουμε ένα νέο μέγεθος, το δυναμικό, το οποίο χαρακτηρίζει το ίδιο το πεδίο σε κάθε σημείο, ανεξάρτητα από το φορτίο που τοποθετούμε εκεί.

Δυναμικό 🎯

Όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο, η δυναμική ενέργεια δοκιμαστικού φορτίου $q$ , στη θέση (Γ) που απέχει απόσταση $r$ από το φορτίο «πηγή» του πεδίου $Q$ , είναι:

U_1 = k\dfrac{Q}{r}\,q

Ας κάνουμε ένα νοητικό πείραμα. Αν στην ίδια θέση (Γ) τοποθετήσουμε ένα άλλο δοκιμαστικό φορτίο $q' = 2q$ , η δυναμική του ενέργεια γίνεται:

U_2 = k\dfrac{Q}{r}\cdot 2q

Διαπιστώνουμε ότι:

U_2 = 2U_1

δηλαδή η δυναμική ενέργεια είναι ανάλογη του φορτίου $q$ .

Επομένως, το πηλίκο της δυναμικής ενέργειας του φορτίου $q$ προς το φορτίο αυτό είναι μία φυσική ποσότητα που έχει σταθερή τιμή, ανεξάρτητη του φορτίου $q$ , στη συγκεκριμένη θέση (Γ) του πεδίου. Τη φυσική αυτή ποσότητα ονομάζουμε δυναμικό του πεδίου στη θέση (Γ) και τη συμβολίζουμε $V_\Gamma$ .

Το ήξερες;

Το ότι το πηλίκο $\dfrac{U}{q}$ βγαίνει πάντα ίδιο, όποιο φορτίο και αν βάλουμε, είναι ακριβώς αυτό που μας επιτρέπει να μιλάμε για ιδιότητα του πεδίου και όχι του φορτίου. Έτσι το δυναμικό «κατοικεί» στον χώρο γύρω από το φορτίο-πηγή, ακόμη και όταν εκεί δεν υπάρχει κανένα δοκιμαστικό φορτίο! 🌐

Ορισμός του δυναμικού

Ορισμός — Δυναμικό

Δυναμικό σε μία θέση (Γ) ηλεκτρικού πεδίου ονομάζεται το μονόμετρο φυσικό μέγεθος, που είναι ίσο με το πηλίκο της δυναμικής ενέργειας φορτίου $q$ στη θέση (Γ) προς το φορτίο αυτό.

Το δυναμικό δίνεται από τη σχέση:

V_\Gamma = \dfrac{U_\Gamma}{q} \qquad (8)

Μονάδα μέτρησης

Μονάδα μέτρησης του δυναμικού στο S.I. είναι το 1 Volt (1 V):

1\,\text{V} = 1\,\dfrac{\text{J}}{\text{C}}

δηλαδή:

1\,\text{Volt} = 1\,\dfrac{\text{Joule}}{\text{Coulomb}}

Το δυναμικό είναι 1 Volt σε ένα σημείο, όταν φορτίο 1 Coulomb που τοποθετείται εκεί έχει δυναμική ενέργεια 1 Joule.

Δυναμικό και έργο

Από την προηγούμενη ενότητα γνωρίζουμε ότι η δυναμική ενέργεια ισούται με το έργο της δύναμης του πεδίου κατά τη μεταφορά του φορτίου από τη θέση (Γ) στο άπειρο:

U_\Gamma = W_{\Gamma \to \infty}

Επομένως, η σχέση (8) γράφεται ισοδύναμα:

V_{(\Gamma)} = \dfrac{W_{\Gamma \to \infty}}{q} \qquad (9)

Φυσική σημασία — Τι σημαίνει $V_\Gamma = +10\,\text{V}$;

Σημαίνει ότι αν βρεθεί στη θέση (Γ) δοκιμαστικό φορτίο $+1\,\text{C}$ , αυτό θα έχει ηλεκτρική δυναμική ενέργεια $+10\,\text{J}$ .

Ισοδύναμα, αν στη θέση (Γ) βρεθεί δοκιμαστικό φορτίο $-1\,\text{C}$ , αυτό θα έχει ηλεκτρική δυναμική ενέργεια $-10\,\text{J}$ .

Προσοχή!

Το δυναμικό $V$ και η δυναμική ενέργεια $U$ είναι διαφορετικά μεγέθη και δεν πρέπει να τα συγχέουμε:

Το δυναμικό $V$ χαρακτηρίζει το πεδίο σε κάθε σημείο και μετριέται σε Volt. Δεν εξαρτάται από το φορτίο που τοποθετούμε.
Η δυναμική ενέργεια $U$ χαρακτηρίζει το σύστημα φορτίου–πεδίου και μετριέται σε Joule. Εξαρτάται από το φορτίο $q$ μέσω της σχέσης $U = V \cdot q$ .

Και τα δύο είναι μονόμετρα μεγέθη και μπορούν να είναι θετικά ή αρνητικά. ⚠️

Δυναμικό ηλεκτροστατικού πεδίου Coulomb 🔵

Με βάση τη σχέση ορισμού του δυναμικού:

V_\Gamma = \dfrac{U_\Gamma}{q}

και αντικαθιστώντας τη δυναμική ενέργεια φορτίου $q$ στη θέση (Γ) με τη σχέση:

U_\Gamma = k\dfrac{Q \cdot q}{r}

έχουμε:

V_\Gamma = k\dfrac{Q}{r} \qquad (10)

όπου $Q$ το φορτίο που δημιουργεί το πεδίο και $r$ η απόσταση μεταξύ του σημείου (Γ) και του φορτίου $Q$ .

Πρόσημο του δυναμικού

Παρατηρήστε ότι στη σχέση (10) το πρόσημο του δυναμικού εξαρτάται μόνο από το πρόσημο του φορτίου-πηγής $Q$ :

Γύρω από θετικό φορτίο ( $Q > 0$ ) το δυναμικό είναι παντού θετικό ( $V > 0$ ). ➕
Γύρω από αρνητικό φορτίο ( $Q < 0$ ) το δυναμικό είναι παντού αρνητικό ( $V < 0$ ). ➖

Όσο αυξάνεται η απόσταση $r$ , η τιμή του δυναμικού πλησιάζει το μηδέν. Στο άπειρο ( $r \to \infty$ ) το δυναμικό μηδενίζεται. Αυτό φαίνεται και στο σχήμα του δυναμικού $V$ ως συνάρτηση της απόστασης $r$ (Εικ. 1.4-33 του σχολικού βιβλίου), όπου η μία καμπύλη βρίσκεται πάνω από τον άξονα (θετικό φορτίο) και η άλλη κάτω από αυτόν (αρνητικό φορτίο).

📝 Παράδειγμα 6

Να βρεθεί το δυναμικό σε απόσταση
(α) $30\,\text{cm}$ και
(β) $60\,\text{cm}$
από ένα φορτίο-πηγή $Q = -4\,\mu\text{C}$ .

(2) Πόση δυναμική ενέργεια έχει φορτίο $q' = 2\,\mu\text{C}$ αν βρεθεί σε απόσταση $30\,\text{cm}$ ;

Δίνεται ότι $1\,\mu\text{C} = 10^{-6}\,\text{C}$ και $k = 9 \cdot 10^{9}\ \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2}$ .

Λύση

1. Το δυναμικό δίνεται από τη σχέση:

V_\Gamma = k\dfrac{Q}{r}

(α) Στην απόσταση των $30\,\text{cm} = 3 \cdot 10^{-1}\,\text{m}$ το δυναμικό είναι:

V_1 = 9 \cdot 10^{9}\ \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot \dfrac{-4 \cdot 10^{-6}\,\text{C}}{3 \cdot 10^{-1}\,\text{m}} \quad \Rightarrow \quad V_1 = -12 \cdot 10^{4}\,\text{V}

(β) Στην απόσταση των $60\,\text{cm} = 6 \cdot 10^{-1}\,\text{m}$ το δυναμικό είναι:

V_2 = 9 \cdot 10^{9}\ \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot \dfrac{-4 \cdot 10^{-6}\,\text{C}}{6 \cdot 10^{-1}\,\text{m}} \quad \Rightarrow \quad V_2 = -6 \cdot 10^{4}\,\text{V}

Παρατηρούμε ότι όταν διπλασιάσαμε την απόσταση, το δυναμικό υποδιπλασιάστηκε. Αυτό συμφωνεί με τη σχέση (10), αφού το δυναμικό είναι αντιστρόφως ανάλογο της απόστασης $r$ . Επίσης, επειδή το φορτίο-πηγή είναι αρνητικό, και τα δύο δυναμικά βγήκαν αρνητικά.

2. Η δυναμική ενέργεια του φορτίου $q'$ υπολογίζεται από τη σχέση του δυναμικού:

V = \dfrac{U}{q'}

Από τη σχέση αυτή έχουμε:

U = V \cdot q' \quad \Rightarrow \quad U = (-12 \cdot 10^{4}\,\text{V}) \cdot (2 \cdot 10^{-6}\,\text{C}) = -0{,}24\,\text{J}

Χρησιμοποιήσαμε το δυναμικό $V_1$ , αφού το φορτίο βρίσκεται στα $30\,\text{cm}$ .

Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι κατά τη μετακίνηση του φορτίου $2\,\mu\text{C}$ στο άπειρο, η δύναμη του πεδίου καταναλώνει (απορροφά) έργο ίσο με $0{,}24\,\text{J}$ .

Διαφορά δυναμικού 🔀

Πολλές φορές δεν μας ενδιαφέρει η τιμή του δυναμικού σε ένα μόνο σημείο, αλλά η διαφορά του δυναμικού μεταξύ δύο σημείων, γιατί αυτή σχετίζεται άμεσα με το έργο που παράγεται κατά τη μετακίνηση ενός φορτίου.

Έστω φορτίο-πηγή $Q$ και δοκιμαστικό φορτίο $q$ , το οποίο μετακινείται από μία θέση (Σ) σε μία άλλη θέση (Ρ) του πεδίου (Εικ. 1.4-34 του σχολικού βιβλίου). Στις θέσεις (Σ) και (Ρ) το φορτίο $q$ έχει δυναμική ενέργεια $U_\Sigma$ και $U_P$ αντίστοιχα, ενώ τα δυναμικά στις θέσεις αυτές είναι $V_\Sigma$ και $V_P$ αντίστοιχα.

Ορισμός της διαφοράς δυναμικού

Η διαφορά $V_\Sigma - V_P$ ονομάζεται διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων (Σ) και (Ρ), συμβολίζεται $V_{\Sigma P}$ και είναι:

V_{\Sigma P} = V_\Sigma - V_P \quad \Rightarrow \quad V_{\Sigma P} = \dfrac{U_\Sigma}{q} - \dfrac{U_P}{q} \quad \Rightarrow \quad V_{\Sigma P} = \dfrac{U_\Sigma - U_P}{q} \qquad (11)

Όπως έχουμε αναφέρει, για το ηλεκτροστατικό πεδίο ισχύει ότι το έργο της δύναμης του πεδίου ισούται με τη μείωση της δυναμικής ενέργειας:

W_{\Sigma \to P} = -\Delta U_{\Sigma P} = U_\Sigma - U_P

Επομένως, η σχέση (11) γίνεται ισοδύναμα:

V_{\Sigma P} = \dfrac{W_{\Sigma \to P}}{q}

Ορισμός — Διαφορά δυναμικού (τάση)

Η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων (Σ) και (Ρ) ηλεκτρικού πεδίου ισούται με το πηλίκο του έργου της δύναμης του πεδίου κατά τη μεταφορά δοκιμαστικού φορτίου $q$ από τη θέση (Σ) στη θέση (Ρ), προς το φορτίο αυτό:

V_{\Sigma P} = \dfrac{W_{\Sigma \to P}}{q} \qquad (12)

Η διαφορά δυναμικού, επομένως, μας δίνει το έργο της δύναμης του ηλεκτρικού πεδίου ανά μονάδα φορτίου για τη μετακίνηση του φορτίου από τη θέση (Σ) στη θέση (Ρ).

Το ήξερες; — «Τάση»

Η διαφορά δυναμικού ονομάζεται και τάση μεταξύ δύο σημείων. Είναι το μέγεθος που αναγράφεται πάνω στις μπαταρίες (π.χ. $1{,}5\,\text{V}$ ) και χαρακτηρίζει το οικιακό ηλεκτρικό δίκτυο (π.χ. $230\,\text{V}$ ). 🔋

Φυσική σημασία — ένα αριθμητικό παράδειγμα

Έστω ότι δύο σημεία (Σ) και (Ρ) (Εικ. 1.4-35 του σχολικού βιβλίου) του ηλεκτροστατικού πεδίου έχουν δυναμικά $V_\Sigma = +14\,\text{V}$ και $V_P = +10\,\text{V}$ . Η διαφορά δυναμικού μεταξύ των δύο σημείων είναι:

V_{\Sigma P} = V_\Sigma - V_P = 14\,\text{V} - 10\,\text{V} = 4\,\text{V}

Αυτό σημαίνει ότι, κατά τη μετακίνηση θετικού δοκιμαστικού φορτίου ενός Coulomb από τη θέση (Σ) στη θέση (Ρ):

το έργο της δύναμης του πεδίου είναι $+4\,\text{J}$ , και
η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια του δοκιμαστικού φορτίου ελαττώθηκε κατά $4\,\text{J}$ .

Παρατηρήσεις 🔎

Παρατήρηση 1 — Διαφορά δυναμικού στο πεδίο Coulomb

Στην περίπτωση του πεδίου Coulomb, η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων (Σ) και (Ρ) υπολογίζεται από τη σχέση:

V_{\Sigma P} = V_\Sigma - V_P = k\dfrac{Q}{r_1} - k\dfrac{Q}{r_2} \quad \Rightarrow \quad V_{\Sigma P} = k Q\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right) \qquad (13)

όπου $r_1$ , $r_2$ οι αποστάσεις των σημείων (Σ) και (Ρ) αντίστοιχα, από το φορτίο $Q$ .

Παρατήρηση 2 — Υπολογισμός του έργου

Από τη σχέση (12) έχουμε ότι:

W_{\Sigma \to P} = q \cdot V_{\Sigma P} \qquad (14)

Η σχέση αυτή μάς δίνει τη δυνατότητα να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης του πεδίου κατά τη μετακίνηση ηλεκτρικού φορτίου $q$ από το σημείο (Σ) σε σημείο (Ρ), των οποίων η διαφορά δυναμικού είναι $V_{\Sigma P}$ .

Προσοχή στη σειρά των δεικτών!

Η σειρά των δεικτών έχει σημασία:

V_{\Sigma P} = V_\Sigma - V_P \neq V_{P\Sigma} = V_P - V_\Sigma

δηλαδή $V_{\Sigma P} = -V_{P\Sigma}$ . Ο πρώτος δείκτης δηλώνει το αρχικό σημείο και ο δεύτερος το τελικό σημείο της μετακίνησης. Αν τα μπερδέψουμε, το έργο που υπολογίζουμε με τη σχέση (14) θα βγει με λάθος πρόσημο. ⚠️

📝 Παράδειγμα 7

Δίνεται σημειακό ηλεκτρικό φορτίο $Q = +10^{-8}\,\text{C}$ και δύο σημεία (Ρ) και (Σ) τα οποία απέχουν αποστάσεις $r_1 = 0{,}4\,\text{m}$ και $r_2 = 0{,}8\,\text{m}$ αντίστοιχα από το φορτίο $Q$ (Εικ. 1.4-36 του σχολικού βιβλίου). Να βρεθούν:

(α) Η διαφορά δυναμικού $V_{P\Sigma}$ μεταξύ των σημείων (Ρ) και (Σ).
(β) Το έργο της δύναμης του πεδίου, όταν φορτίο $q = +4\,\mu\text{C}$ μετακινηθεί από τη θέση (Ρ) στη θέση (Σ).
(γ) Ποια είναι η φυσική σημασία του $W_{P\Sigma}$ ;

Δίνεται: $k = 9 \cdot 10^{9}\ \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2}$ .

Λύση

(α) Η διαφορά δυναμικού $V_{P\Sigma}$ υπολογίζεται από τη σχέση:

V_{P\Sigma} = V_P - V_\Sigma \qquad (1)

Από τη σχέση (10) έχουμε:

V_P = k\dfrac{Q}{r_1} \qquad (2)

και:

V_\Sigma = k\dfrac{Q}{r_2} \qquad (3)

Η σχέση (1), λόγω των (2) και (3), γίνεται:

V_{P\Sigma} = V_P - V_\Sigma = k\dfrac{Q}{r_1} - k\dfrac{Q}{r_2} = k Q\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)

Αντικαθιστώντας τις τιμές:

V_{P\Sigma} = 9 \cdot 10^{9}\ \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot 10^{-8}\,\text{C} \cdot \left(\dfrac{1}{0{,}4\,\text{m}} - \dfrac{1}{0{,}8\,\text{m}}\right) = 112{,}5\,\text{V}

(β) Το έργο της δύναμης υπολογίζεται από τη σχέση (14):

W_{P \to \Sigma} = q \cdot V_{P\Sigma} \quad \Rightarrow \quad W_{P \to \Sigma} = 4 \cdot 10^{-6}\,\text{C} \cdot 112{,}5\,\text{V} = 450 \cdot 10^{-6}\,\text{J}

δηλαδή:

W_{P \to \Sigma} = 4{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{J}

(γ) Το θετικό πρόσημο του έργου σημαίνει ότι, κατά τη μετακίνηση του φορτίου $q$ από τη θέση (Ρ) στη θέση (Σ), η δύναμη του πεδίου παράγει έργο. Ισοδύναμα, η δυναμική ενέργεια του φορτίου μειώνεται κατά το ποσό αυτό κατά τη μετακίνηση από το (Ρ) στο (Σ).

Σύνοψη βασικών σχέσεων 📌

Μέγεθος	Σχέση	Μονάδα
Δυναμικό (ορισμός)	$V = \dfrac{U}{q}$	V
Δυναμικό πεδίου Coulomb	$V = k\dfrac{Q}{r}$	V
Διαφορά δυναμικού	$V_{\Sigma P} = V_\Sigma - V_P = \dfrac{W_{\Sigma \to P}}{q}$	V
Διαφορά δυναμικού (Coulomb)	$V_{\Sigma P} = kQ\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$	V
Έργο πεδίου	$W_{\Sigma \to P} = q \cdot V_{\Sigma P}$	J

Ολοκλήρωση ✅

Σε αυτή την ενότητα μάθαμε:

Το δυναμικό $V$ ως το πηλίκο της δυναμικής ενέργειας προς το φορτίο, $V = \dfrac{U}{q}$ , ένα μονόμετρο μέγεθος που χαρακτηρίζει το πεδίο σε κάθε σημείο και μετριέται σε Volt.
Τον τύπο του δυναμικού του πεδίου Coulomb, $V = k\dfrac{Q}{r}$ , και τη σύνδεση του προσήμου του με το πρόσημο του φορτίου-πηγής.
Τη διαφορά δυναμικού (τάση) $V_{\Sigma P} = V_\Sigma - V_P = \dfrac{W_{\Sigma \to P}}{q}$ και τον τρόπο υπολογισμού του έργου $W_{\Sigma \to P} = q \cdot V_{\Sigma P}$ .
Τη φυσική σημασία αυτών των μεγεθών μέσα από δύο πλήρως λυμένα παραδείγματα.