Ηλεκτρική Δυναμική Ενέργεια ⚡

Σε αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε πώς ένα σύστημα ηλεκτρικών φορτίων αποθηκεύει ενέργεια λόγω της θέσης των φορτίων του, με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που ένα σύστημα Γης–σώματος αποθηκεύει βαρυτική δυναμική ενέργεια. Η αναλογία ανάμεσα στο βαρυτικό και στο ηλεκτρικό πεδίο θα μας οδηγήσει σε έναν απλό και κομψό τύπο για την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια.

Υπενθύμιση: Βαρυτικό πεδίο και βαρυτική δυναμική ενέργεια 🌍

Πριν περάσουμε στο ηλεκτρικό πεδίο, ας θυμηθούμε τι ξέρουμε για τη βαρύτητα, ώστε να αξιοποιήσουμε την αναλογία.

Η βαρυτική δυναμική ενέργεια Γης–σώματος είναι ιδιότητα του συστήματος των δύο σωμάτων και όχι του ενός μόνο. Η ιδιότητα αυτή οφείλεται στην ύπαρξη δυνάμεων αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωμάτων (το βάρος).

Το ήξερες;

Η δυναμική ενέργεια δεν «ανήκει» ποτέ σε ένα μεμονωμένο σώμα· ανήκει στο σύστημα των αλληλεπιδρώντων σωμάτων. Μιλάμε για ενέργεια Γης–σώματος, όχι απλώς για ενέργεια του σώματος.

Αν τα δύο σώματα βρεθούν σε άπειρη απόσταση το ένα ως προς το άλλο, τότε πρακτικά δεν ασκούνται δυνάμεις αλληλεπίδρασης και η δυναμική ενέργεια του συστήματος θεωρούμε ότι μηδενίζεται. Το άπειρο επιλέγεται δηλαδή ως το επίπεδο αναφοράς (η θέση «μηδέν») της δυναμικής ενέργειας.

Η σχέση έργου – δυναμικής ενέργειας

Η σχέση που συνδέει τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας ενός συστήματος σωμάτων με το έργο των συντηρητικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης (όπως π.χ. το βάρος) είναι:

\Delta U = -W \quad \text{ή} \quad U_{\text{ΤΕΛ}} - U_{\text{ΑΡΧ}} = -W \quad \text{ή} \quad W = -\left(U_{\text{ΤΕΛ}} - U_{\text{ΑΡΧ}}\right) \tag{5}

Δηλαδή το έργο της συντηρητικής δύναμης ισούται με τη μείωση της δυναμικής ενέργειας του συστήματος.

Από το έργο στη δυναμική ενέργεια

Ας μετακινήσουμε μια μάζα $m$ από μια θέση (Α) μέχρι το άπειρο (πρακτικά σε απόσταση όπου η δύναμη αλληλεπίδρασης μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα). Το έργο της δύναμης του πεδίου $W_{A \to \infty}$ , σύμφωνα με τη σχέση (5), είναι:

W_{A \to \infty} = -\left(U_\infty - U_A\right) \quad \text{ή} \quad W_{A \to \infty} = U_A - U_\infty

Επειδή όμως σε άπειρη απόσταση η δυναμική ενέργεια του σώματος είναι $U_\infty = 0$ , έχουμε:

U_A = W_{A \to \infty} \tag{6}

Το ήξερες;

Από τη σχέση (6) προκύπτει ένας πολύ χρήσιμος ορισμός: η δυναμική ενέργεια του συστήματος στην αρχική θέση είναι ίση με το έργο της δύναμης του πεδίου κατά τη μετακίνηση της μάζας από τη θέση (Α) μέχρι το άπειρο. Αυτή η ιδέα μεταφέρεται αυτούσια στο ηλεκτρικό πεδίο.

Ηλεκτρικό πεδίο και δυναμική ενέργεια 🔋

Ας περάσουμε τώρα στα ηλεκτρικά φορτία. Έστω ακλόνητο φορτίο πηγή $Q$ που δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο. Στη θέση (Γ) του πεδίου, σε απόσταση $r$ από το $Q$ , βρίσκεται θετικό δοκιμαστικό φορτίο $q$ .

Επειδή οι ηλεκτροστατικές δυνάμεις (δυνάμεις Coulomb) είναι συντηρητικές, κατ' αναλογία με το βαρυτικό πεδίο, η δυναμική ενέργεια του συστήματος των δύο φορτίων δίνεται από την ίδια σχέση (6):

U_{(\Gamma)} = W_{\Gamma \to \infty}

Προσοχή!

Η σημασία του «άπειρου» είναι πρακτική. Όταν αναφέρουμε άπειρη απόσταση, αυτή μπορεί να αντιστοιχεί σε απόσταση που για συνήθη φορτία είναι μόλις λίγα εκατοστά. Δηλαδή ως άπειρη απόσταση θεωρούμε την απόσταση στην οποία η δύναμη που δέχεται το δοκιμαστικό φορτίο δεν είναι πρακτικά ανιχνεύσιμη.

Γιατί χρειάζεται προσοχή ο υπολογισμός του έργου

Ο υπολογισμός του έργου $W_{\Gamma \to \infty}$ δε γίνεται με απλά μαθηματικά, διότι υπάρχουν δύο δυσκολίες:

Η δύναμη μεταβάλλεται με την απόσταση. Σύμφωνα με τον νόμο του Coulomb:

F = k \cdot \dfrac{|Q \cdot q|}{r^2}

καθώς το φορτίο απομακρύνεται, η απόσταση $r$ μεγαλώνει και η δύναμη μικραίνει διαρκώς (δεν είναι σταθερή, οπότε δεν ισχύει το απλό $W = F \cdot x$ ).

Η μετατόπιση είναι απείρου μήκους, αφού το φορτίο μετακινείται «έως το άπειρο».

Με τη χρήση όμως ανώτερων μαθηματικών (ολοκληρωτικός λογισμός) αποδεικνύεται ότι το έργο είναι:

W_{\Gamma \to \infty} = k \cdot \dfrac{Q \cdot q}{r}

Ο τύπος της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας

Λόγω της σχέσης (6), η δυναμική ενέργεια του συστήματος των φορτίων στην αρχική θέση (Γ) είναι:

U_{(\Gamma)} = k \cdot \dfrac{Q \cdot q}{r} \tag{7}

όπου:

$k$ είναι η ηλεκτρική σταθερά,
$r$ η απόσταση μεταξύ των ηλεκτρικών φορτίων στην αρχική θέση,
$Q, q$ τα δύο φορτία (με τα πρόσημά τους).

Προσοχή!

Στον τύπο (7) τα φορτία $Q$ και $q$ μπαίνουν μαζί με τα πρόσημά τους (όχι σε απόλυτες τιμές). Αυτό είναι κρίσιμο, γιατί το πρόσημο του γινομένου $Q \cdot q$ καθορίζει αν η δυναμική ενέργεια είναι θετική ή αρνητική. Προσοχή στη διαφορά με τον τύπο της δύναμης Coulomb, όπου χρησιμοποιούμε τις απόλυτες τιμές $|Q \cdot q|$ .

Σε ποιον «ανήκει» η ενέργεια;

Επειδή το φορτίο πηγή $Q$ είναι ακλόνητο (ακίνητο), θεωρούμε καταχρηστικά ότι η δυναμική ενέργεια του συστήματος ανήκει στο φορτίο $q$ . Δηλαδή θα λέμε ότι:

«Η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια του φορτίου $q$ στη θέση (Γ) του πεδίου είναι η $U_{(\Gamma)}$ .»

Το ήξερες;

Η έκφραση «δυναμική ενέργεια του φορτίου $q$ » είναι μια απλούστευση. Στην πραγματικότητα η ενέργεια ανήκει στο σύστημα $Q$ – $q$ , όπως και η βαρυτική ενέργεια ανήκει στο σύστημα Γης–σώματος. Επειδή όμως το $Q$ είναι ακίνητο, αποδίδουμε «καταχρηστικά» όλη την ενέργεια στο κινούμενο φορτίο $q$ .

Το πρόσημο της δυναμικής ενέργειας ➕➖

Όπως προκύπτει από τη σχέση (7), το πρόσημο της δυναμικής ενέργειας του φορτίου $q$ στη θέση (Γ) μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό, ανάλογα με το αν τα φορτία $Q, q$ είναι ομώνυμα ή ετερώνυμα αντίστοιχα. Ποιο όμως είναι το φυσικό περιεχόμενο της θετικής ή αρνητικής δυναμικής ενέργειας;

Ομώνυμα φορτία: θετική δυναμική ενέργεια

Όταν έχουμε ομώνυμα ηλεκτρικά φορτία (και τα δύο θετικά ή και τα δύο αρνητικά), οι δυνάμεις που ασκούνται είναι απωθητικές.

🖼️ Σχήμα (Εικ. 1.3-28 του σχολικού βιβλίου): Δύο ομώνυμα φορτία $Q$ και $q$ . Η δύναμη του πεδίου σπρώχνει το $q$ μακριά από το $Q$ , προς το άπειρο. Η δυναμική ενέργεια $U_\Gamma$ είναι θετική.

Επομένως, κατά τη μετακίνηση του φορτίου $q$ από τη θέση (Γ) στο άπειρο, το έργο της δύναμης του πεδίου είναι παραγόμενο (θετικό) και η δυναμική ενέργεια του $q$ στη θέση (Γ) είναι θετική.

Αυτό σημαίνει ότι το φορτίο $q$ μπορεί να μετακινείται αυθόρμητα προς το άπειρο και η δυναμική του ενέργεια να ελαττώνεται (από θετική τιμή προς το μηδέν).

Ετερώνυμα φορτία: αρνητική δυναμική ενέργεια

Όταν έχουμε ετερώνυμα ηλεκτρικά φορτία (το ένα θετικό, το άλλο αρνητικό), οι δυνάμεις που ασκούνται είναι ελκτικές.

🖼️ Σχήμα (Εικ. 1.3-29 του σχολικού βιβλίου): Δύο ετερώνυμα φορτία $Q$ και $q$ . Η δύναμη του πεδίου τραβάει το $q$ προς το $Q$ , αντίθετα δηλαδή από την κατεύθυνση προς το άπειρο. Η δυναμική ενέργεια $U_\Gamma$ είναι αρνητική.

Επομένως, κατά τη μετακίνηση του φορτίου $q$ από τη θέση (Γ) στο άπειρο, το έργο της δύναμης του πεδίου είναι καταναλισκόμενο (αρνητικό) και η δυναμική ενέργεια του $q$ στη θέση (Γ) είναι αρνητική.

Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να προσφερθεί ενέργεια στο φορτίο $q$ για να μετακινηθεί προς το άπειρο, με αποτέλεσμα η δυναμική του ενέργεια να αυξάνεται (από αρνητική τιμή προς το μηδέν).

Το ήξερες;

Η αρνητική δυναμική ενέργεια στα ετερώνυμα φορτία είναι ο λόγος που τα φορτία αυτά παραμένουν «δεμένα» μεταξύ τους: για να τα χωρίσουμε χρειάζεται ενέργεια. Ακριβώς το ίδιο συμβαίνει με το ηλεκτρόνιο που είναι «δεμένο» στον πυρήνα του ατόμου, όπως θα δούμε στο παράδειγμα που ακολουθεί.

Σύνοψη προσήμων

Είδος φορτίων	Δύναμη	Γινόμενο $Q \cdot q$	Πρόσημο $U_\Gamma$	Φυσική σημασία
Ομώνυμα	Απωθητική	Θετικό	Θετική $(+)$	Το $q$ απομακρύνεται αυθόρμητα· $U$ ελαττώνεται
Ετερώνυμα	Ελκτική	Αρνητικό	Αρνητική $(-)$	Απαιτείται ενέργεια για απομάκρυνση· $U$ αυξάνεται

Λυμένο Παράδειγμα 📝

Παράδειγμα 5: Ενέργειες του ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου

Εκφώνηση: Να υπολογισθούν η δυναμική, η κινητική και η μηχανική ενέργεια του ηλεκτρονίου που περιστρέφεται στη στοιβάδα Κ του ατόμου του υδρογόνου.

Δίδονται:

Το φορτίο του ηλεκτρονίου $q_e = -1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$
Το φορτίο του πρωτονίου $q_p = +1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$
Η ηλεκτρική σταθερά $k = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$
Η ακτίνα της τροχιάς του ηλεκτρονίου $r = 5{,}3 \cdot 10^{-11}\ \text{m}$

Λύση

Βήμα 1 — Δυναμική ενέργεια.

Η δυναμική ενέργεια του ηλεκτρονίου δίνεται από τη σχέση (7), με φορτίο πηγή το πρωτόνιο $q_p$ και «δοκιμαστικό» το ηλεκτρόνιο $q_e$ :

U_e = k \cdot \dfrac{q_p \cdot q_e}{r} \tag{1}

Αντικαθιστώντας (προσοχή: τα φορτία μπαίνουν με τα πρόσημά τους):

U_e = 9 \cdot 10^{9}\ \frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot \dfrac{\left(1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\right) \cdot \left(-1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\right)}{5{,}3 \cdot 10^{-11}\ \text{m}}

U_e \approx -4{,}350 \cdot 10^{-18}\ \text{J} \tag{2}

Το αρνητικό πρόσημο είναι αναμενόμενο: πρωτόνιο και ηλεκτρόνιο είναι ετερώνυμα φορτία.

Βήμα 2 — Κινητική ενέργεια.

Η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου δίνεται από τη σχέση:

K_e = \dfrac{1}{2} \cdot m_e \cdot \upsilon^2 \tag{3}

Από την κυκλική κίνηση γνωρίζουμε ότι τον ρόλο της αναγκαίας κεντρομόλου δύναμης τον αναλαμβάνει η δύναμη Coulomb. Άρα:

F_C = \dfrac{m \cdot \upsilon^2}{r} = k \cdot \dfrac{|q_p \cdot q_e|}{r^2} \quad \text{ή} \quad \upsilon = \sqrt{\dfrac{k \cdot |q_p \cdot q_e|}{m_e \cdot r}} \tag{4}

Αντικαθιστώντας τη σχέση (4) στη σχέση (3), το $m_e$ απαλείφεται και προκύπτει:

K_e = \dfrac{k \cdot |q_p \cdot q_e|}{2r}

K_e = 9 \cdot 10^{9}\ \frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot \dfrac{\left(1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\right)^2}{2 \cdot 5{,}3 \cdot 10^{-11}\ \text{m}}

K_e = 2{,}175 \cdot 10^{-18}\ \text{J} \tag{5}

Προσοχή!

Στον υπολογισμό της κινητικής ενέργειας χρησιμοποιούμε την απόλυτη τιμή $|q_p \cdot q_e|$ , επειδή η κινητική ενέργεια είναι πάντα θετικό μέγεθος (προκύπτει από το μέτρο της δύναμης Coulomb). Αντίθετα, στη δυναμική ενέργεια κρατάμε τα πρόσημα των φορτίων.

Βήμα 3 — Μηχανική ενέργεια.

Η μηχανική ενέργεια είναι το άθροισμα κινητικής και δυναμικής:

E_M = K + U \tag{6}

Επομένως:

E_M = K_e + U_e = +2{,}175 \cdot 10^{-18}\ \text{J} - 4{,}350 \cdot 10^{-18}\ \text{J} = -2{,}175 \cdot 10^{-18}\ \text{J}

Παρατήρηση: χρήσιμες σχέσεις

Οι σχέσεις με τις οποίες συνδέονται οι παραπάνω ενέργειες είναι:

K = \dfrac{1}{2}\,|U| \quad \text{και} \quad E_M = -K

Δηλαδή για ένα «δεμένο» ηλεκτρόνιο, η κινητική ενέργεια ισούται με το μισό του μέτρου της δυναμικής, και η μηχανική ενέργεια είναι αρνητική (ίση με το αντίθετο της κινητικής). Η αρνητική μηχανική ενέργεια εκφράζει ακριβώς το γεγονός ότι το ηλεκτρόνιο είναι δέσμιο στο άτομο.

Το ήξερες;

Επειδή η ενέργεια σε επίπεδο ατόμου είναι πολύ μικρής τιμής, στη φυσική στοιχειωδών σωματιδίων χρησιμοποιούμε ως μονάδα μέτρησης το ηλεκτρονιοβόλτ (eV, electron volt):

1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{Joule}

Με αυτή τη μονάδα, οι ενέργειες του ατόμου εκφράζονται σε «βολικά» μεγέθη της τάξης μερικών eV.

Συνοπτική ανακεφαλαίωση 🎯

Η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια είναι ιδιότητα του συστήματος δύο φορτίων και ορίζεται με αναφορά στο άπειρο, όπου $U_\infty = 0$ .
Ισχύει η θεμελιώδης σχέση έργου–ενέργειας: $\Delta U = -W$ .
Η δυναμική ενέργεια στη θέση (Γ) ισούται με το έργο του πεδίου από τη (Γ) στο άπειρο: $U_{(\Gamma)} = W_{\Gamma \to \infty}$ .
Ο βασικός τύπος είναι:

U = k \cdot \dfrac{Q \cdot q}{r}

με τα φορτία να μπαίνουν με τα πρόσημά τους.

Ομώνυμα φορτία → $U > 0$ (απώθηση), ετερώνυμα φορτία → $U < 0$ (έλξη).
Για δέσμιο ηλεκτρόνιο σε άτομο: $K = \dfrac{1}{2}|U|$ και $E_M = -K < 0$ .

✅ Ολοκλήρωση ενότητας. Καλύψαμε την αναλογία με το βαρυτικό πεδίο, τον ορισμό και τον τύπο της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας, το φυσικό νόημα του προσήμου της και ένα πλήρως λυμένο παράδειγμα με το άτομο του υδρογόνου.