Ο Νόμος του Coulomb

Ιστορική Εισαγωγή ⚡

Η μελέτη των αλληλεπιδράσεων μεταξύ φορτισμένων σωμάτων ξεκινά από τον Έλληνα Θαλή τον Μιλήσιο (περίπου 600 π.Χ.). Ο Θαλής, τρίβοντας το ήλεκτρο (κεχριμπάρι) με ξηρό ύφασμα, παρατήρησε ότι αυτό αποκτά την ικανότητα να έλκει μικρά αντικείμενα, όπως μικρά κομμάτια χαρτιού. Από αυτή ακριβώς την ελληνική λέξη (ήλεκτρο) ονομάστηκε το φαινόμενο ηλεκτρισμός.

Παράλληλα, παρατηρήθηκε η ιδιότητα που έχουν κάποια πετρώματα (η λεγόμενη «Μαγνησία γη») να έλκουν τα σιδερένια αντικείμενα. Το φαινόμενο αυτό ονομάστηκε αντίστοιχα Μαγνητισμός.

Τα δύο αυτά φαινόμενα θεωρούνταν ανεξάρτητα και μελετήθηκαν χωριστά μέχρι το 1820. Τότε ο Δανός Hans Christian Oersted (1777-1851) διαπίστωσε πειραματικά ότι υπάρχει σχέση μεταξύ των δύο φαινομένων. Ακολούθησε πλήθος ερευνητών που μελέτησαν αυτή τη σχέση.

Κυριότεροι από τους ερευνητές ήταν ο Michael Faraday (1791-1867), ο André-Marie Ampère (1775-1836) και ο James Clerk Maxwell (1831-1879). Ο Maxwell, μετά από εκτεταμένες μελέτες, έφτασε στο συμπέρασμα ότι και το φως είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Με τέσσερις θεμελιώδεις εξισώσεις του (1864), ολοκλήρωσε τη θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού. Η ενοποίηση ηλεκτρισμού-μαγνητισμού (θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού) αποτέλεσε ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της ανθρώπινης διανόησης.

Το ήξερες;

Ο Γερμανός φυσικός Ludwig Boltzmann, αναφερόμενος στις εξισώσεις του Maxwell, παρέθεσε μια γραμμή από το έργο του Goethe:

«Τις γραμμές αυτές τις έγραψε ένας θεός…»

Τόσο μεγάλο ήταν το δέος των επιστημόνων μπροστά στην κομψότητα και την πληρότητα του ηλεκτρομαγνητισμού. 🌟

Ποιος ήταν ο Maxwell;

Ο James Clerk Maxwell (1831-1879) ήταν Σκωτσέζος Φυσικός. Υπήρξε Καθηγητής στο King's College και αργότερα στο Cambridge. Διετύπωσε ένα πλήρες σύνολο νόμων για τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα και πέτυχε την ενοποίηση ηλεκτρισμού-μαγνητισμού. Τη θεωρία του δημοσίευσε το 1873 στο ονομαστό βιβλίο του με τίτλο «Treatise on Electricity and Magnetism».

Ο Νόμος του Coulomb 📐

Ο Charles Augustin de Coulomb, το 1784, μετά από μία σειρά προσεκτικών πειραμάτων, κατάφερε να μετρήσει τις δυνάμεις που αναπτύσσονται μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων. Τα συμπεράσματά του τα διατύπωσε με τον νόμο που φέρει σήμερα το όνομά του.

Ορισμός — Ο Νόμος του Coulomb

Κάθε σημειακό ηλεκτρικό φορτίο ασκεί δύναμη σε κάθε άλλο σημειακό ηλεκτρικό φορτίο. Το μέτρο της δύναμης είναι ανάλογο του γινομένου των φορτίων που αλληλεπιδρούν και αντίστροφα ανάλογο με το τετράγωνο της μεταξύ τους απόστασης.

Το μέτρο αυτής της ηλεκτρικής δύναμης (που ονομάζεται και δύναμη Coulomb) δίνεται από τη σχέση:

F_C = k \cdot \dfrac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \qquad (1)

όπου:

$F_C$ είναι το μέτρο της ηλεκτρικής δύναμης (σε Newton, $N$ ),
$q_1, q_2$ είναι τα δύο σημειακά ηλεκτρικά φορτία (σε Coulomb, $C$ ),
$r$ είναι η απόσταση μεταξύ των δύο φορτίων (σε μέτρα, $m$ ),
$k$ είναι η ηλεκτρική σταθερά.

Προσοχή στις απόλυτες τιμές!

Στη σχέση $(1)$ χρησιμοποιούμε τις απόλυτες τιμές των φορτίων $|q_1 \cdot q_2|$ . Αυτό γίνεται επειδή ο τύπος μάς δίνει το μέτρο της δύναμης, το οποίο είναι πάντα θετικός αριθμός. Το πρόσημο των φορτίων δεν μπαίνει στον τύπο, αλλά καθορίζει αν η δύναμη είναι ελκτική ή απωστική (δες παρακάτω τη φορά). ⚠️

Τα Χαρακτηριστικά της Δύναμης Coulomb 🧭

Η δύναμη Coulomb, όπως κάθε δύναμη, είναι διανυσματικό μέγεθος. Τα τέσσερα χαρακτηριστικά της είναι:

Μέτρο

Υπολογίζεται από τη σχέση $(1)$ :

F_C = k \cdot \dfrac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2}

Διεύθυνση

Η δύναμη έχει τη διεύθυνση της ευθείας που ενώνει τα δύο σημειακά φορτία. Η ευθεία αυτή είναι ο φορέας της δύναμης.

Φορά

Οι δυνάμεις Coulomb είναι:

ελκτικές για ετερώνυμα φορτία (φορτία με αντίθετο πρόσημο, π.χ. ένα θετικό και ένα αρνητικό),
απωστικές για ομώνυμα φορτία (φορτία με ίδιο πρόσημο, π.χ. δύο θετικά ή δύο αρνητικά).

Σημείο εφαρμογής

Τα σημειακά φορτία $q_1$ και $q_2$ . Σε κάθε φορτίο εφαρμόζεται η δύναμη που του ασκεί το άλλο.

Νόμος δράσης - αντίδρασης

Σύμφωνα με τον 3ο νόμο του Νεύτωνα (δράση - αντίδραση), το φορτίο $q_1$ ασκεί στο $q_2$ δύναμη ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς με τη δύναμη που ασκεί το $q_2$ στο $q_1$ . Οι δύο αυτές δυνάμεις βρίσκονται πάντα πάνω στην ίδια ευθεία (τον φορέα). 🔁

Η Ηλεκτρική Σταθερά $k$

Η μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού φορτίου στο S.I. είναι το 1 C (1 Coulomb).

Η σταθερά $k$ ονομάζεται ηλεκτρική σταθερά και εξαρτάται:

από το σύστημα μονάδων που χρησιμοποιούμε, και
από το μέσο στο οποίο βρίσκονται τα ηλεκτρικά φορτία.

Όταν τα ηλεκτρικά φορτία που αλληλεπιδρούν βρίσκονται στο κενό (και κατά προσέγγιση στον αέρα), η σταθερά $k$ δίνεται από τη σχέση:

k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}

όπου $\varepsilon_0$ είναι μια φυσική σταθερά που ονομάζεται απόλυτη διηλεκτρική σταθερά του κενού και έχει τιμή στο S.I.:

\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12} \ \dfrac{C^2}{N \cdot m^2}

Επομένως, η σταθερά $k$ έχει τιμή στο S.I. κατά προσέγγιση:

k \approx 9 \cdot 10^{9} \ \dfrac{N \cdot m^2}{C^2}

Πόσο μεγάλη είναι η σταθερά k;

Η τιμή $k \approx 9 \cdot 10^{9} \ \frac{N \cdot m^2}{C^2}$ είναι τεράστια! Αυτό σημαίνει ότι ακόμη και μικρά φορτία μπορούν να ασκήσουν πολύ μεγάλες δυνάμεις. Γι' αυτό το 1 Coulomb είναι, στην πραγματικότητα, μια τεράστια ποσότητα φορτίου. 💥

Σύγκριση με τον Νόμο της Παγκόσμιας Έλξης 🌍

Ο νόμος του Coulomb ακολουθεί τον νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου, ακριβώς όπως και ο νόμος της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα. Δηλαδή και στις δύο περιπτώσεις η δύναμη είναι αντίστροφα ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης:

F = \text{σταθ.} \cdot \dfrac{1}{r^2}

Αυτό σημαίνει ότι αν διπλασιάσουμε την απόσταση $r$ , η δύναμη γίνεται τέσσερις φορές μικρότερη· αν τριπλασιάσουμε την απόσταση, η δύναμη γίνεται εννέα φορές μικρότερη, κ.ο.κ.

Ο ζυγός στρέψης του Coulomb

Ο Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) ήταν Γάλλος Φυσικός και μηχανικός του γαλλικού στρατού. Με τον ζυγό στρέψης που εφεύρε, απέδειξε το 1785 ότι η ηλεκτρική δύναμη μεταξύ δύο μικρών φορτισμένων σφαιρών είναι αντίστροφα ανάλογη του τετραγώνου της απόστασής τους (νόμος αντιστρόφου τετραγώνου). 🔬

Λυμένα Παραδείγματα ✏️

Παράδειγμα 1

Εκφώνηση: Δύο μικρά σώματα έχουν φορτία $q_1 = +2 \ C$ και $q_2 = -2 \ C$ . Τα σώματα απέχουν $2 \ m$ . Να υπολογισθεί το μέτρο της ελκτικής δύναμης που ασκεί το ένα φορτίο στο άλλο.

Λύση:

Εφαρμόζουμε απευθείας τον νόμο του Coulomb. Το μέτρο της δύναμης είναι:

F_C = k \cdot \dfrac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} = 9 \cdot 10^{9} \ \dfrac{N \cdot m^2}{C^2} \cdot \dfrac{2 \ C \cdot 2 \ C}{(2 \ m)^2} = 9 \cdot 10^{9} \ N

Η δύναμη είναι ελκτική, αφού τα φορτία είναι ετερώνυμα ( $+2 \ C$ και $-2 \ C$ ).

Παρατήρηση

Η δύναμη που βρήκαμε, $9 \cdot 10^{9} \ N$ (δηλαδή 9 δισεκατομμύρια Newton!), είναι τεράστια. Αυτό δείχνει ξανά ότι το φορτίο του $1 \ C$ είναι στην πράξη πάρα πολύ μεγάλο και δεν συναντάται εύκολα σε καθημερινές καταστάσεις. ⚠️

Παράδειγμα 2

Εκφώνηση: Να υπολογισθεί η δύναμη Coulomb που ασκείται μεταξύ πρωτονίου - ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου και να συγκριθεί με τη δύναμη παγκόσμιας έλξης που ασκείται μεταξύ τους. Πόση θα έπρεπε να είναι η μάζα του πυρήνα, ώστε οι δύο δυνάμεις να είναι ίσου μέτρου;

Δίδονται:

φορτίο πρωτονίου $q_p = +1{,}6 \cdot 10^{-19} \ C$
μάζα πρωτονίου $m_p = 1{,}7 \cdot 10^{-27} \ kg$
φορτίο ηλεκτρονίου $q_e = -1{,}6 \cdot 10^{-19} \ C$
μάζα ηλεκτρονίου $m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31} \ kg$
ηλεκτρική σταθερά $k = 9 \cdot 10^{9} \ \frac{N \cdot m^2}{C^2}$
σταθερά παγκόσμιας έλξης $G = 6{,}7 \cdot 10^{-11} \ \frac{N \cdot m^2}{kg^2}$
ακτίνα τροχιάς του ηλεκτρονίου $r = 5{,}3 \cdot 10^{-11} \ m$

Λύση:

Βήμα 1ο — Υπολογισμός της δύναμης Coulomb.

Η δύναμη Coulomb μεταξύ πρωτονίου - ηλεκτρονίου είναι:

F_C = k \cdot \dfrac{|q_p \cdot q_e|}{r^2} = 9 \cdot 10^{9} \cdot \dfrac{(1{,}6 \cdot 10^{-19} \ C) \cdot (1{,}6 \cdot 10^{-19} \ C)}{(5{,}3 \cdot 10^{-11} \ m)^2} = 8{,}2 \cdot 10^{-8} \ N

Βήμα 2ο — Υπολογισμός της δύναμης παγκόσμιας έλξης.

Η δύναμη παγκόσμιας έλξης μεταξύ των μαζών πρωτονίου - ηλεκτρονίου είναι:

F_N = G \cdot \dfrac{m_p \cdot m_e}{r^2} = 6{,}7 \cdot 10^{-11} \ \dfrac{N \cdot m^2}{kg^2} \cdot \dfrac{1{,}7 \cdot 10^{-27} \ kg \cdot 9{,}1 \cdot 10^{-31} \ kg}{(5{,}3 \cdot 10^{-11} \ m)^2} = 3{,}7 \cdot 10^{-47} \ N

Βήμα 3ο — Σύγκριση των δύο δυνάμεων.

Διαιρώντας τις δύο δυνάμεις βρίσκουμε:

\dfrac{F_C}{F_N} = 2{,}2 \cdot 10^{+39}

Δηλαδή, η δύναμη Coulomb είναι περίπου $10^{39}$ φορές μεγαλύτερη από τη δύναμη παγκόσμιας έλξης!

Γιατί έχει σημασία αυτό;

Επειδή η δύναμη Coulomb είναι τόσο τεράστια σε σχέση με τη βαρύτητα, αυτή είναι που επικρατεί και οικοδομεί τον μικρόκοσμο (άτομα, μόρια). Η βαρύτητα μεταξύ σωματιδίων είναι πρακτικά αμελητέα στην κλίμακα του ατόμου. 🔬

Βήμα 4ο — Υπολογισμός της υποθετικής μάζας του πυρήνα.

Ζητάμε την υποθετική μάζα $m'_p$ του πυρήνα ώστε η βαρυτική δύναμη να εξισωθεί με τη δύναμη Coulomb. Θέτουμε:

F'_N = F_C \quad \Rightarrow \quad G \cdot \dfrac{m'_p \cdot m_e}{r^2} = k \cdot \dfrac{|q_p \cdot q_e|}{r^2}

Παρατηρούμε ότι ο παράγοντας $r^2$ απλοποιείται και από τα δύο μέλη. Λύνοντας ως προς $m'_p$ :

m'_p = \dfrac{k \cdot |q_p \cdot q_e|}{G \cdot m_e}

Αντικαθιστώντας τις τιμές:

m'_p = \dfrac{9 \cdot 10^{9} \ \frac{N \cdot m^2}{C^2} \cdot (1{,}6 \cdot 10^{-19} \ C)^2}{6{,}7 \cdot 10^{-11} \ \frac{N \cdot m^2}{kg^2} \cdot 9{,}1 \cdot 10^{-31} \ kg}

Άρα:

m'_p = 3{,}8 \cdot 10^{12} \ kg

Εντυπωσιακό αποτέλεσμα!

Η μάζα του πυρήνα θα έπρεπε να είναι δέκα χιλιάδες φορές μεγαλύτερη από τη μάζα ενός τάνκερ 380.000 τόνων, για να μπορέσει η βαρύτητα να ισοσταθμίσει την ηλεκτρική δύναμη! Αυτό αναδεικνύει με τον πιο παραστατικό τρόπο πόσο ασθενέστερη είναι η βαρύτητα μπροστά στην ηλεκτρική δύναμη. 🚢💥

Σύνοψη 📝

Μέγεθος	Σύμβολο	Τιμή / Μονάδα (S.I.)
Ηλεκτρικό φορτίο	$q$	Coulomb ( $C$ )
Ηλεκτρική σταθερά (κενό/αέρας)	$k$	$9 \cdot 10^{9} \ \frac{N \cdot m^2}{C^2}$
Διηλεκτρική σταθερά κενού	$\varepsilon_0$	$8{,}85 \cdot 10^{-12} \ \frac{C^2}{N \cdot m^2}$

Κεντρικός τύπος της ενότητας:

F_C = k \cdot \dfrac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2}, \qquad k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}

Δύναμη ανάλογη του γινομένου των φορτίων.
Δύναμη αντίστροφα ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης.
Ελκτική για ετερώνυμα, απωστική για ομώνυμα φορτία.